数学分析课件完备性.docx
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数学分析课件完备性
数学分析课件完备性
第七章实数的完备性目的与要求:
使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理,能准确地加以表述,并深刻理解其实质意义;明确六个基本定理是数学分析的理论基础,并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题.了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系.重点与难点:
重点是实数完备性基本定理的证明,难点是实数完备性基本定理的应用.第一节关于实数集完备性的基本定理一区间套定理与柯西收敛准则1区间套定义1区间套:
设nnba,是一闭区间序列.若满足条件
(1)对n,有nnnnbaba,,11,即nnnnbbaa11,亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中;
(2)0nnabn.即当n时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为闭区间套,简称为区间套.区间套还可表达为:
1221bbbaaann,0nnabn.我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列na和nb,其中na递增,nb递减.例如nn1,1和n1,0都是区间套.但nnn21,11、]1,0(n和nn11,1都不是.2区间套定理定理7.1(区间套定理)设nnba,是一闭区间套.则在实数系中存在唯一的点,使对n有nnba,.简言之,区间套必有唯一公共点.证明(用单调有界定理证明区间套定理)由假设
(1)知,序列na单调上升,有上界1b;序列nb单调下降,有下界1a.因而有1limncan,2limncbn.nnbcca21.再由假设
(2)知0limn12ccabnn,记ccc12.从而有cannlimnnblim.若还有*c满足nnbca*,令n,得cc*.故c是一切nnba,的唯一公共点.证毕.注:
这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明:
(1)要求nnba,是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的,则定理不一定成立.如nbann1,0,.显然有nn1,011,0,但n11,0n.如果开区间套是严格包含:
nnnnbbaa11,这时定理的结论还是成立的.
(2)若,2,1,,11nbabannnn,但0limnnnab,此时仍有1limncan,2limncbn,但21cc,于是对任意的c,21ccc,都有n1,nnbac.全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集,则称该全序集是完备的,该定理刻划实数集是完备的.该定理也给出通过逐步缩小搜索范围,找出所求点的一种方法.推论设nnba,为一区间套,,2,1,nbann.则0,0N当Nn时,恒有,,Ubann.用区间套定理证明其他命题时,最后常会用到这个推论.3数列的柯西收敛准则的证明数列的柯西收敛准则:
数列na收敛的充要条件是:
0,0N,当Nnm,时,有nmaa.(后者又称为柯西(Cauchy)条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列.)证明必要性设Aannlim.由数列极限定义,0,0N,当Nnm,时有2Aam,2Aan,因而22AaAaaanmnm.充分性按假设,0,0N,使得对一切Nn有nmaa,即在区间NNaa,内含有na中除有限项外的所有项.据此,令21,则1N,在区间21,2111NNaa内含有na中除有限项外的所有项.记这个区间为11,.再令221,则)(12NN,在区间2221,2122NNaa内含有na中除有限项外的所有项.记22,2221,2122NNaa11,,它也含有na中除有限项外的所有项,且满足11,22,及2122.继续依次令,21,,212n,照以上方法得一闭区间列nn,,其中每一个区间都含有na中除有限项外的所有项,且满足nn,11,nn,,2,1n,nnnn0211即nn,是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数,nn(,2,1n).现在证明数就是数列na的极限.事实上,由区间套定理的推论,0,0N当Nn时,恒有,,Unn.因此在;U内含有na中除有限项外的所有项,这就证得nnlima.二聚点定理与有限覆盖定理1聚点定义2设S是无穷点集.若在点(未必属于S)的任何邻域内有S的无穷多个点,则称点为S的一个聚点.数集nE1有唯一聚点0,但E0;开区间)1,0(的全体聚点之集是闭区间1,0;设Q是1,0中全体有理数所成之集,易见Q的聚点集是闭区间1,0.2聚点概念的另两个等价定义定义2对于点集S,若点的任何邻域内都含有S中异于的点,即SU);(0,则称点为S的一个聚点.定义2若存在各项互异的收敛数列Sxn,则其极限nnlimx称为S的一个聚点.3以上三个定义互相等价的证明:
证:
定义2定义2显然成立.定义2定义2由定义2,取11,SUx);(101;再取12,21minx则SUx);(202,且显然12xx;一般取1,21minnnx则SUxnn);(0,且显然nx与11,,nxx互异;无限地重复以上步骤,得到S中各项互异的数列nx,且由nxnn1,易见nnlimx.定义2定义2nnlimx0,0N,当Nn时,必有);(Uxn,且因nx各项互不相同,故);(U内含有S中无限多个点.[证毕]4聚点定理定理7.2(魏尔斯特拉斯聚点定理Weierstrass)直线上的任一有界无限点集S至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有S中无限多个点(本身可以属于S,也可以不属于S).证因为S为有界无限点集,故存在0M,使得MMS,,记11,baMM,.现将11,ba等分为两个子区间.因为S为有界无限点集,故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点,记此区间为22,ba,则11,ba22,ba,且22abMab)(2111.再将22,ba等分为两个子区间.则两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点,记此区间为33,ba,则22,ba33,ba,且33ab2)(2122Mab.将此等分区间的手续无限地进行下去,得到一个闭区间列nnba,,它满足nnba,11,nnba,,2,1n,nMn2abnn02即nn,是区间套,且每一个闭区间中都含有S中无穷多个点.由区间套定理,存在唯一的一个数nnba,(,2,1n).于是由区间套定理的推论,0,0N当Nn时,恒有,,Ubann.从而,U内含有S中无穷多个点,按定义2,为S的一个聚点.5致密性定理.推论:
任一有界数列必有收敛子列.证设nx为有界数列.若nx中有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的.若nx中不含有无限多个相等的项,则nx在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集nx至少有一个聚点,记为.于是按定义2,存在nx的一个收敛的子列以为极限.作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性证明充分性由已知条件:
0,0N,当Nnm,时,有nmaa.欲证na收敛.首先证na有界.取1,则N,Nmn,有1mnaa特别地,Nn时11Nnaa11Nnaa设1,,,,max121NNaaaaM,则n,Man再由致密性定理知,na有收敛子列Kna,设AaKnklim.对任给0,存在0K,当Kknm,,时,同时有2mnaa,和2Aakn因而当取knmKk时,得到22AaaaAakknnnn故Aannlim.6海涅博雷尔(HeineBorel)有限覆盖定理:
1.定义(覆盖)设S为数轴上的点集,H为开区间的集合(即H的每一个元素都是形如,的开区间).若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内,则称H为S的一个开覆盖,或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限(有限)的,则称H为S的一个无限开覆盖(有限开覆盖).例1,023,2xxxM覆盖了区间1,0,但不能覆盖1,0;22baxxbxxbxH,,覆盖),[ba,但不能覆盖],[ba.2.海涅博雷尔HeineBorel有限复盖定理:
定理7.3(有限覆盖定理)设,H是闭区间ba,的一个无限开覆盖,即ba,中每一点都含于H中至少一个开区间,内.则在H中必存在有限个开区间,它们构成ba,的一个有限开覆盖.证明(用区间套定理证明有限覆盖定理)用反证法设H为闭区间ba,的一个无限开覆盖.假设定理的结论不成立:
即ba,不能用H中有限个开区间来覆盖.对ba,采用逐次二等分法构造区间套nnba,,nnba,的选择法则:
取不能用H中有限个开区间来覆盖的那一半.由区间套定理,nnba,,2,1n.因为ba,,所以H,使,记0,min由推论,当n
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