高中数学《第一章集合与函数概念12函数及其表示习题12》25教案教学设计讲.docx
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高中数学《第一章集合与函数概念12函数及其表示习题12》25教案教学设计讲
3.2.4函数模型的应用实例
(二)
教学目标:
掌握应用指数型,拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征,提升学生解决简单的实际应用问题的能力.
教学重点与难点:
重点:
指数函数模型、拟合函数模型的应用
难点:
依据题设情境,建立函数模型.
教学方法:
师生合作探究解题方法,总结解题规律.老师启发诱导,学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型,似合函数模型解决实际问题的技能.
教学过程:
一、复习引入
例1
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示:
请据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?
解:
根据表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y
元,而在此情况下的日均销售量就为480–40(x–1)=520–40x(桶)
由于x>0且520–40x>0,即0<x<13,于是可得y=(520–40x)x–200
=
–40x2+520x–200,0<x<13
易知,当x=6.5时,y有最大值.所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.
二、应用举例
4.指数型函数模型的应用
例1
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:
y=y0ert,其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料:
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
(2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?
解答:
(1)设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.由55196(1
+
r1)
=
56300,可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.同理可得,r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197,
r6≈0.0223,r7≈0.0276,r8≈0.0222,r9≈0.0184.
于是,1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.
令y0=55196,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为销售单价/元
6
7
8
9
日均销售量/桶
480
440
400
360
销售单价/元
10
11
12
日均销售量/桶
320
280
240
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
61456
62828
64563
65994
67207
y=55196e0.0221t,t∈N.
根据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t
(t∈N)的图象
由图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
(2)将y=130000代入y=55196e0.0221t,由计算器可得t≈38.76.
所以,如果按表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.
例2
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
(1)根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?
试写出这个函数模型的解析式.
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?
解答:
(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.根据点的分布特征,可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
如果取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得:
701607.947.25abab,用计算器算得a≈2,b≈1.02.
这样,我们就得到一个函数模型:
y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175,由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22>1.2,所以,这个男生偏胖.
巩固练习:
练习1、已知1650年世界人口为5亿,当时人口的年增长率为0.3%;1970年世界人口为36亿,当时人口的年增长率为2.1%.
(1)用马尔萨斯人口模型计算,什么时候世界人口是1650年的2倍?
什么时候世界人口是1970年的2倍?
(2)实际上,1850年以前世界人口就超过了10亿;而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法?
解答:
(1)已知人口模型为y
=
y0en,其中y0表示t
=
0时的人口数,r表示人口的年增长率.
若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有y
=
5e0.003t.
当y
=
10时,解得t≈231.所以,1881年世界人口约为1650年的2倍.
同理可知,2003年世界人口数约为1970年的2倍.
(2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.
应用举例:
4.拟合函数模型
例3
某皮鞋厂从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,就月份x,产量y
给出四种函数模型:
y=ax+b,y=ax2+bx+c,
12yaxb,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?
解析:
本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数的变化情况,找出与实际最接近的函数模型.
由题知A(1,1),B(2,1.2),C
(3,1.3),D(4,1.37).
(1)设模拟函数为y=ax+b,将B、C两点的坐标代入函数式,有
31.30.1,21.21abaabb解得所以得y
=
0.1x
+
1.
(2)设y=ax2+bx+c,将A,B,C三点代入,有1421.2,931.30.050.350.7abcabcabcabc解得
所以y=
–0.05x2+0.35x+0.7.
(3)设yaxb,将A,B两点的坐标代入,有10.48,0.5221.2ababab解得
所以0.480.52yx
(4)设y=abx+c,将A,B,C三点的坐标代入,得2310.81.2,0.51.41.3abcaabcbcabc解得
小结:
课后作业:
课后反思:
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