一元一次方程.docx
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一元一次方程
一元一次方程
一、方程识别题
方程必须满足两个条件
(1)未知数
(2)等式,一元一次方程也有两个条件
(1)只含有一个未知数
(2)未知数的次数是1的方程
式子
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)3/(x-1)+2=1其中方程有,一元一次方程有____________.
二、解一元一次方程
步骤(变形名称)
变形依据
注意事项
1、去分母
1、不要漏乘不含分母的项
2、去分母后,原分子要加括号
2、去括号
1、乘法分配律
2、去括号法则
1、括号前的数不要漏乘括号里面的项
2、不要弄错符号(变则都变,不变则都不变)
3、移项(从等号一边移动到另一边)
1、凡移项要变号
2、含未知数的项一般在方程左边,常数移到方程右边
4、合并同类项
合并同类项法则
1、项数较多时,可以标记
2、系数相加时,注意符号
3、字母及其指数要照写
5、化系数为1
1、系数是整数时,两边同除以这个数
2、系数是分数时,两边同乘以分数的倒数
3、符号要分清
1、
2、
3、
5、
6、
三、利用已学知识,构造一元一次方程
1、根据绝对值或平方数相加等于零(注意:
,
)
已知
,求
和
的值.
2、根据代数式值相等、同类项或相反数的知识
(1)若代数式
与代数式
的值相等,求
的值.
(2)当
、
取什么值时,单项式
与
是同类项?
四、应用题
1、路程=速度×时间
顺(逆)风(水)行驶问题
顺速=V静+风(水)速
逆速=V静-风(水)速
2、销售问题
利润=售价-成本、亏损额=成本-售价、
、
利润=成本×利润率亏损额=成本×亏损率
3、工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
、
1、数字问题
(1)已知三个连续偶数的和是2004,求这三个偶数各是多少?
(2)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小5,若此两位数的两个数字位置交换,得一新两位数,那么新两位数与原两位数大45,求新两位数与原两位数的积是多少?
2、调配问题
(1)有两个工程队,甲工程队有32人,乙工程队有28人,如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍,需从乙工程队抽调多少人到甲工程队?
(2)某班同学利用假期参加夏令营活动,分成几个小组,若每组7人还余1人,若每组8人还缺6人,问该班分成几个小组,共有多少名同学?
3、年龄问题
(1)某同学今年15岁,他爸爸今年39岁,问几年以后,爸爸的年龄是这位同学年龄的2倍?
(2)三位同学甲乙丙,甲比乙大1岁,乙比丙大2岁,三人的年龄之和为41,求乙同学的年龄.
4、销售问题
(1)某产品按原价提高40%后打八折销售,每件商品赚270元,问该商品原标价多少元?
现销售价是多少?
(2)甲乙两件衣服的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将家服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价,在实际销售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售,这样商店共获利157元,求甲乙两件服装成本各是多少元?
5、工程问题
(1)一个水池安有甲乙丙三个水管,甲单独开12h注满水池,乙单独开8h注满,丙单独开24h可排掉满池的水,如果三管同开,多少小时后刚好把水池注满水?
(2)某工程,甲单独完成续20天,乙单独完成续12天,甲乙合干6天后,再由乙继续完成,乙再做几天可以完成全部工程?
6、路程问题
(1)甲乙两个人在400米的环形跑道上同时同点出发,甲的速度是6米/秒,乙的速度是4米/秒,乙跑几圈后,甲可超过乙一圈?
(2)甲乙两站相距300km,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行40km,一列快车从乙站开往甲站,每小时行80km,已知慢车先行1.5h,快车再开出,问快车开出多少小时后与慢车相遇?
二元一次方程组
问题:
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场失1分。
某队在10场比赛中得到14分,那么这个队胜负场数分别是多少?
(先用一元一次方程解)
用二元一次方程组解:
胜的场数+负的场数=总场数
胜场积分—负场失分=总积分
设胜的场数为x,负的场数为y。
则
x+y=10,
2x—y=16
二元一次方程组:
方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组
二元一次方程组的解:
二元一次方程组的两个方程的公共解
如:
x+y=10,①
2x—y=14②
x=8,y=2既满足方程①,又满足方程②,即x=8,y=2是两个方程的公共解,所以x=8,y=2叫做二元一次方程组
解二元一次方程组
(1)代入消元法(简称代入法)
例:
解方程组x—y=3,①
3x—8y=14.②
解:
由①,得x=y+3③
把③代入②,得(y+3)—8y=14
解这个方程,得y=-1
把y=-1代入3,得x=2
所以这个方程组的解是x=2
y=-1
(2)加减消元法(简称加减法)
例:
解方程组x+y=10,①
2x+y=16.②
解:
②—①,得x=6.
把x=6带入①,得y=4
所以这个方程组的解是x=6
y=4
题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题
某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只,贤计划用132米这样布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
题型二、列二元一次方程组解决行程问题
甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇。
相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回,在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机,这时,汽车、拖拉机各行驶了多少千米?
一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时,从乙地到甲地逆流航行需6小时,那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间?
题型三、列二元一次方程解决商品问题
在“五一”期间,某超市打折促销,已知A商品7.5折销售,B商品8折销售,买20件A商品与10件B商品,打折前比打折后多花460元,打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。
求A、B商品打折前的价格。
题型四、列二元一次方程组解决工程问题
某城市为了缓解缺水状况,实施了一项饮水工程,就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来,把这个工程交给甲、乙两个施工队,工期为50天,甲、乙两队合作了30天后,乙队因另外有任务需要离开10天,于是甲队加快速度,每天多修0.6千米,10天后乙队回来后,为了保证工期,甲队保持现在的速度不变,乙队每天比原来多修0.4千米,结果如期完成,问:
甲、乙两队原计划每天各修多少千米?
题型五:
列二元一次方程组解决增长问题
某中学现有学生4200人,计划一年后初中在校学生增加8%,高中在校学生增加11%,这样全校在校生将增加10%,则该校现在有初中生多少人?
在校高中生有多少人?
不等式与不等式组
1、用“>”或“<”或“≠”或“≤”或“≥”号表示大小关系的式子,是不等式。
如:
a+2≠a50/x<2/3
总之,用不等号连接起来的式子叫做不等式。
2、类似于一元一次方程,含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式。
3、能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解.
4、一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集。
如所有大于75的数组成不等式2/3x>50的解集,写作x>75,这个解集可以用数轴来表示。
注意:
如果不等号中带有等号,空心圆就要变成实心圆。
5、求不等式的解集的过程叫做解不等式.
例:
在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x>-1;
(2)x≥-1;(3)x<-1;(4)x≤-1
6、不等式的性质
性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
例:
利用不等式的性质填“>”,“<”:
(1)若a>b,则2a2b;
(2)若-2y<10,则y-5;
(3)若a0,则ac-1bc-1;
(4)若a>b,c<0,则ac+1bc+1。
填空
(1)∵2a>3a∴a是数
(2)∵a/3<a/2∴a是数
(3)∵ax1∴a是数
7、不等式的解法(类似于解一元一次方程,注意乘负数时不等号方向改变即可)
解下列不等式,并在数轴上表示解集:
1/2x-1≤2/3(2x+1)
解:
去分母,得3x-6≤4(2x+1)
去括号,得3x-6≤8x+4
移项,得3x-8x≤4+6
合并,得-5x≤10
系数化为1,得x≥-2
例:
(1)5x-7>26
(2)3x<2x+1
解:
8、三角形中任意两边之差小于第三边。
归纳:
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
9、列不等式解应用题的关键是找出不等关系.找不等关系要抓住像“大于”、“不小于”、“超过”、“不足”、“至少”等等表示不等关系的词语。
例甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品,同时又各自推出不同的优惠措施.甲商场的优惠措施是:
累计购买100元商品后,再买的商品按原价的90%收费;乙商场则是:
累计购买50元商品后,再买的商品按原价的95%收费.顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠?
分析:
由于甲商场优惠措施的起点为购物100元,乙商场优惠措施的起点为购物50元,起点数额不同,因此必须分别考虑.你认为应分哪几种情况考虑?
分三种情况考虑:
①累计购物不超过50元;②累计购物超过50元但不超过100元;③累计购物超过100元。
(1)如果累计购物不超过50元,则在两店购物花费有区别吗?
为什么?
没有区别。
因为两家商店都没有优惠。
(2)如果累计购物超过50元但不超过100元,则在哪家商店购物花费小?
为什么?
在乙商店购物花费小。
因为乙商店有优惠,而甲商店没有优惠。
(3)如果累计购物超过100元,那么在哪家商店购物花费小?
因为两家商店都有优惠,所以要分三种情况考虑:
设累计购物x元(x>100),则在甲商店购物花费多少元?
在乙商店购物花费多少元?
在甲商店购物花费:
100+0.9(x-100)元;在乙商店购物花费:
50+0.95(x-50)。
若在甲商场购物花费小,则
50+0.95(x-50)>100+0.9(x-100)
解之,得x>150
若在乙商场购物花费小,则
50+0.95(x-50)<100+0.9(x-100)
解之,得x<150
③若在两家商场购物花费相同。
50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100)
解之,得x=150
答:
如果累计购物不超过50元,则在两店购物花费一样多。
如果累计购物超过50元但不超过100元,则在乙商店购物花费小。
若累计购物多于150元,在甲商场购物花费小;若累计购物等于150元,在两商场购物花费一样多;若累计购物多于100元少于150元,在乙商场购物花费小。
10、一元一次不等式组的概念和解集
把几个一元一次不等式合起来,组成一个一元一次不等式组。
记作
类比方程组的解,我们把几个不等式组的解集的公共部分,叫做不等式组的解集。
解不等式就是求它的解集。
我们可以利用数轴确定不等式组的解集。
(1)
x>4
(2)
2<x<4
(3)
无解
(4)
x<4
上面的表示可以用口诀来概括:
大大取大,小小取小,大小小大中间找,大大小小不用找。
(建议画数轴)
11、解不等式组
例解下列不等式组:
[投影2]
(1)
(2)
分析:
你认为解不等式组应该分哪些步骤?
①求出各个不等式的解集;②找出各个不等式的解集的公共部分(利用数轴)即解集.
解:
(1)由
(1)得x>2
由
(2)得x>3
∴x>3
(2)
12、实际应用
3个小组计划在10天内生产500件产品(每天产量相同),按原先的生产速度,不能完成任务;如果每个小组每天比原先多生产1件产品,就能提前完成任务。
每个小组原先每天生产多少件产品?
分析:
“不能完成任务”的数量含义是什么?
“提前完成任务”的数量含义是什么?
解:
设每个小组原先每天生产件x产品。
依题意,得
由
(1)得x<
.
由
(2)得x>
.
不等式的解集为
思考:
到此你能知道每个小组原先每天生产多少件产品吗?
为什么?
每个小组原先每天生产16件产品,因为产品的数量是整数,所以
x=16.
答:
每个小组原先每天生产16件产品.
例2将若干只鸡放入若干个笼,若每4个放一笼,则有1只鸡无笼可放;若每5个放一笼,则有1笼无鸡可放,那么至少有多少只鸡,多少个笼?
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