排列与组合.docx
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排列与组合
排列与组合
1.排列、组合的定义
排列的
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的
定义
合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定
义
从n个不同元素中取出m(m≤n,m,n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n,m,n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公
式
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
C=
=
性
质
A=n!
,0!
=1
C=1,C=C,C+C=C
正确理解组合数的性质
(1)C=C:
从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n-m个元素的方法数.
(2)C+C=C:
从n+1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况:
①不含特殊元素A有C种方法;②含特殊元素A有C种方法.
考点一排列问题
[典例精析]
有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;
(4)全体排成一排,女生必须站在一起;
(5)全体排成一排,男生互不相邻.
[解]
(1)从7人中选5人排列,有A=7×6×5×4×3=2520(种).
(2)分两步完成,先选3人站前排,有A种方法,余下4人站后排,有A种方法,共有AA=5040(种).
(3)法一:
(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有A种排列方法,共有5×A=3600(种).
法二:
(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人,有A种排法,其他有A种排法,共有AA=3600(种).
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A种方法,再将女生全排列,有A种方法,共有A·A=576(种).
(5)(插空法)先排女生,有A种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有A种方法,共有A·A=1440(种).
[解题技法]
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
[题组训练]
1.(优质试题·太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )
A.1800 B.3600
C.4320D.5040
解析:
选B 先排除舞蹈节目以外的5个节目,共A种,再把2个舞蹈节目插在6个空位中,有A种,所以共有AA=3600(种).
2.(优质试题·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数,这样的四位数有( )
A.250个B.249个
C.48个D.24个
解析:
选C ①当千位上的数字为4时,满足条件的四位数有A=24(个);②当千位上的数字为3时,满足条件的四位数有A=24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24+24=48(个),故选C.
3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻,则不同的排法共有( )
A.1108种B.1008种
C.960种D.504种
解析:
选B 将丙、丁两人进行捆绑,看成一人.将6人全排列有AA种排法;将甲排在排头,有AA种排法;乙排在排尾,有AA种排法;甲排在排头,乙排在排尾,有AA种排法.则甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA-AA-AA+AA=1008(种).
考点二组合问题
[典例精析]
某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内,不同取法有多少种?
(2)其中某一种假货不能在内,不同取法有多少种?
(3)恰有2种假货在内,不同取法有多少种?
(4)至少有2种假货在内,不同取法有多少种?
(5)至多有2种假货在内,不同取法有多少种?
[解]
(1)从余下的34种商品中,
选取2种有C=561(种)取法,
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中,选取3种,
有C种或者C-C=C=5984(种)取法.
所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种.
(3)从20种真货中选取1种,
从15种假货中选取2种有CC=2100(种)取法.
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.
(4)选取2种假货有CC种,选取3种假货有C种,
共有选取方式CC+C=2100+455=2555(种).
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.
(5)法一:
(间接法)
选取3种商品的总数为C,因此共有选取方式
C-C=6545-455=6090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
法二:
(直接法)
共有选取方式C+CC+CC=6090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
[解题技法]
组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:
“含”,则先将这些元素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:
解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.
[题组训练]
1.(优质试题·南宁二中、柳州高中第二次联考)从{1,2,3,…,10}中选取三个不同的数,使得其中至少有两个相邻,则不同的选法种数是( )
A.72 B.70
C.66D.64
解析:
选D 从{1,2,3,…,10}中选取三个不同的数,恰好有两个数相邻,共有C·C+C·C=56种选法,三个数相邻共有C=8种选法,故至少有两个数相邻共有56+8=64种选法.
2.(优质试题·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知:
①食物投掷地点有远、近两处;②由于Grace年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处.那么不同的搜寻方案有( )
A.10种B.40种
C.70种D.80种
解析:
选B 若Grace不参与任务,则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同,有C种挑法,再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处,有C种挑法,最后剩下的2位小孩搜寻近处,因此一共有CC=30种搜寻方案;若Grace参与任务,则其只能去近处,需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处,有C种挑法,剩下3位小孩去搜寻远处,因此共有C=10种搜寻方案.综上,一共有30+10=40种搜寻方案.
3.(优质试题·全国卷Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)
解析:
从2位女生,4位男生中选3人,共有C种情况,没有女生参加的情况有C种,故共有C-C=20-4=16(种).
答案:
16
考点三分组、分配问题
考法
(一) 整体均分问题
[例1] 国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有________种不同的分派方法.
[解析] 先把6个毕业生平均分成3组,有=15(种)方法.再将3组毕业生分到3所学校,有A=6(种)方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有·A=90(种)分派方法.
[答案] 90
考法
(二) 部分均分问题
[例2] 有4名优秀学生A,B,C,D全部被保送到甲、乙、丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有________种.
[解析] 先把4名学生分为2,1,1共3组,有=6(种)分法,再将3组对应3个学校,有A=6(种)情况,则共有6×6=36(种)不同的保送方案.
[答案] 36
考法(三) 不等分问题
[例3] 若将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有________种不同的分法.
[解析] 将6名教师分组,分三步完成:
第1步,在6名教师中任取1名作为一组,有C种取法;
第2步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有C种取法;
第3步,余下的3名教师作为一组,有C种取法.
根据分步乘法计数原理,共有CCC=60种取法.
再将这3组教师分配到3所中学,有A=6种分法,
故共有60×6=360种不同的分法.
[答案] 360
[题组训练]
1.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种B.18种
C.24种D.36种
解析:
选D 因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组,即2,1,1,有=6种,再分配给3个人,有A=6种,所以不同的安排方式共有6×6=36(种).
2.冬季供暖就要开始,现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,那么分配的方案共有______种.
解析:
5名水暖工去3个不同的居民小区,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2,则分配的方案共有·A=150(种).
答案:
150
考点四排列、组合的综合问题
[典例精析]
(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A.300 B.216
C.180D.162
(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个.(用数字作答)
[解析]
(1)分两类:
第一类,不取0,即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有C·C·A=72(个)符合要求的四位数;
第二类,取0,此时2和4只能取一个,再取两个奇数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有C·C·(A-A)=108(个)符合要求的四位数.
根据分类加法计数原理可知,满足题意的四位数共有72+108=180(个).
(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时,若选出的三个偶数含有0,则千位上把剩余数字中任意一个放上即可,方法数是CAC=72;若选出的三个偶数不含0,则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上,方法数是AC=18,故这种情况下符合要求的四位数共有72+18=90(个).
当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时,若选出的偶数是0,则再选出两个奇数,千位上只要在剩余数字中选一个放上即可,方法数为CAC=72;若选出的偶数不是0,则再选出两个奇数后,千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上,方
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