人教版高中数学选修4411《平面直角坐标系》教学设计.docx
- 文档编号:832980
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:871.51KB
人教版高中数学选修4411《平面直角坐标系》教学设计.docx
《人教版高中数学选修4411《平面直角坐标系》教学设计.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版高中数学选修4411《平面直角坐标系》教学设计.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
人教版高中数学选修4411《平面直角坐标系》教学设计
1.1平面直角坐标系(谷杨华)
一、教学目标
(一)核心素养
通过这节课学习,能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系,在数学建模过程中体会坐标法的思想.
(二)学习目标
1.根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系.
2.通过实例概括坐标伸缩变换公式.
3.了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想.
(三)学习重点
1.根据几何特征选择坐标系.
2.坐标法思想.
3.平面直角坐标系中的伸缩变换.
(四)学习难点
1.适当直角坐标系的选择.
2.对伸缩变换中点的对应关系的理解.
二、教学设计
(一)课前设计
1.预习任务
(1)读一读:
阅读教材第2页至第7页,填空:
设点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作用下,点对应到点,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.预习自测
(1)如何由正弦曲线y=sinx经伸缩变换得到y=sinx的图象( )
A.将横坐标压缩为原来的,纵坐标也压缩为原来的
B.将横坐标压缩为原来的,纵坐标伸长为原来的2倍
C.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标也伸长为原来的2倍
D.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标压缩为原来的
【知识点】伸缩变换
【解题过程】将正弦曲线y=sinx的横坐标伸长为原来的2倍得到,再由的图像的横坐标不变,纵坐标压缩为原来的即可得y=sinx的图像.
【思路点拨】可根据三角函数的知识求解
【答案】D
(2)在平面直角坐标系中,两点分别在轴、轴上滑动,且|AB|=4,则AB中点P的轨迹方程为________.
【知识点】点轨迹方程
【数学思想】函数与方程的思想
【解题过程】设,则,再设线段中点的坐标为,则,,所以,即得中点的轨迹方程为.
【思路点拨】由两点间距离公式表示出,再利用中点坐标公式建立线段的中点与其两端点的坐标关系,最后代入整理即可.
【答案】.
(3)在平面直角坐标系中,方程对应的图形经过伸缩变换后得到的图形对应的方程是()
A.B.
C.D.
【知识点】伸缩变换
【解题过程】将经过变形得代入到方程,整理得
【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为,在代入原图形对应的方程,从而得到变形后的图形对应的方程.
【答案】B
(4)将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C对应的方程为________.
【知识点】伸缩变换
【数学思想】
【解题思路】设为圆上任意一点,在已知变换下变为曲线C上对应的点为,依题意,得,而,得,所以曲线C的方程为.
【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题,再由伸缩变换公式求解
【答案】
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)平面直角坐标系的作用:
使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合.
(2)坐标法:
根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究他的性质及其他几何图形的关系.
2.问题探究
探究一结合实例,感受坐标法思想★
例1某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:
正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声音传播的速度为340m/s,各观测点均在同一平面上.)
●活动①实际问题抽象转化为数学问题
我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为,爆炸点记为.由于同时听到由点发出的响声,因此,所以点在线段的垂直平分线上,由于点听到的响声比晚,所以,说明点在以点为焦点的双曲线上,所以点在直线与双曲线的交点.
【知识点】平面直角坐标系,双曲线定义
【数学思想】数形结合,转化与化归
【解题过程】
解:
以信息中心为原点,正东、正北方向为轴、轴正向,建立直角坐标系.
设分别是东、西、北观测点,则
于是直线的方程为
设双曲线的方程是
由已知得,
于是双曲线的方程是
将代入上述方程,解得,由已知,响声在双曲线的左半支上,所以,
所以巨响发生在接报中心的西偏北距中心处.
【思路点拨】建立坐标系,把实际问题转化为数学问题.
【答案】巨响发生在接报中心的西偏北距中心处.
同类训练由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日,甲舰在乙舰正东6km处,丙舰在乙舰北偏西30°,相距4km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远,因此4s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1km/s.若甲舰赶赴救援,行进的方位角应是多少?
【知识点】平面直角坐标系的应用
【数学思想】坐标法思想
【解题过程】设A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示,
以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).
∵|PB|=|PC|,
∴点P在线段BC的垂直平分线上.
kBC=-,线段BC的中点D(-4,),
∴直线PD的方程为y-=(x+4).①
又|PB|-|PA|=4,
∴点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,
双曲线方程为-=1(x≥2).②
联立①②,解得P点坐标为(8,5),
∴kPA==.
因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.
【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置,因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰,建立适当坐标系,求出商船与甲舰的坐标,问题可解.
【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.
【设计意图】从生活实例到数学问题,体会坐标法的提炼、抽象过程.
●活动②归纳梳理、理解提升
通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键,如果坐标系建立得合理,可以简化我们的计算,并且使问题的结论清晰明了、具体形象,那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?
坐标法解决几何问题的“三部曲”:
第一步:
建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题;
E
第二步:
通过代数运算,解决代数问题;
第三步:
把代数运算结果“翻译”成几何结论.
●活动③学以致用,理论实践
例2已知△的三边满足,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系.
【知识点】平面直角坐标系,轨迹方程
【数学思想】数形结合
【解题过程】
解:
如图,以△ABC的顶点A为原点O,边AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系.由已知,点A,B,F的坐标分别为
设点的坐标为,点的坐标为.由可得
即,整理得
因为
所以
由此,与相互垂直.
【思路点拨】建立坐标系,把实际问题转化为数学问题.
【答案】与相互垂直.
同类训练已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.
【知识点】平面直角坐标系
【数学思想】数形结合思想
【解题过程】如右图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(0,a),B(-,0),C(,0).
设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2
=x2+(y-a)2+(x+)2+y2+(x-)2+y2
=3x2+3y2-ay+=3x2+3(y-a)2+a2≥a2,
当且仅当x=0,y=a时,等号成立,
∴所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,a),是正三角形ABC的中心.
【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系,把几何问题转化为代数问题,从而简化问题
【答案】所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,a),是正三角形ABC的中心
【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题,认识坐标法思想的优势.
探究二探究平面直角坐标系中的伸缩变换
●活动①温故知新、提炼概念
在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:
你还能分析出由正弦曲线怎样得到曲线吗?
在由正弦曲线上任取一点,保持纵坐标不变,将横坐标缩为原来的,就的到曲线.
从坐标系中的点的对应关系出发,你认为“保持纵坐标不变,将横坐标缩为原来的”的实质是什么?
(讨论)
即,设为平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横坐标缩为原来的,得到点,则①
我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.
【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾,为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫.
●活动②温故知新、提炼概念
那么如何由正弦曲线怎样得到曲线呢?
在由正弦曲线上任取一点,保持横坐标不变,将纵坐标伸长为原来的3倍,就的到曲线.
从坐标系中的点的对应关系出发,你认为“保持横坐标不变,将纵坐标伸长为原来的3倍”的实质是什么?
(讨论)
即,设为平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标不变,将纵坐标伸长为原来的3倍,得到点,则②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾,为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫.
●活动③巩固理解、提炼概念
同理,由正弦曲线怎样得到曲线呢?
这个可以认为是是上述两个的“合成”,即先保持纵坐标不变,将横坐标缩为原来的,再保持横坐标不变,将纵坐标伸长为原来的3倍,就可得曲线.
类比上述情况,即:
设平面直角坐标系中任意一点经过上述变换后为点,那么③
我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.
一般地,设是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
的作用下,点对应点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
【设计意图】通过对前面的总结,发现一般情况,从而得出伸缩变换的概念.
活动④巩固基础,检查反馈
例3在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
⑴;⑵⑶
【知识点】伸缩变换.
【数学思想】转化与化归的思想
【解题过程】.⑴由伸缩变换得代入,得到经过伸缩变换后的图形方程为
同理可得⑵式经过伸缩变换后的图形方程为
⑶式经过伸缩变换后的图形方程为
【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为,在代入原图形对应的方程,从而得到变形后的图形对应的方程.
同类训练在平面直角坐标系中,求方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形对应的方程为.
【知识点】坐标的伸缩变换.
【数学思想】转化与化归思想
【解题过程】由伸缩变换得代入,得到经过伸缩变换后的图形方程为
【思路点拨】伸缩变换公式的应用.
【答案】
●活动⑤强化提升、灵活应用
例4在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线变为曲线,求曲线的方程.
【知识点】伸缩变换逆向应用.
【解题过程】将伸缩变换代入曲线得到曲线对应的方程为
【思路点拨】伸缩变换公式的应用.
【答案】.
同类训练在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线变为曲线,求曲线的方程.
【知识点】伸缩变换逆向应用.
【解题过程】将伸缩变换代入曲线得到曲线对应的方程为
【思路点拨】伸缩变换公式的应用.
【答案】.
3.课堂总结
知识梳理
(1)坐标法解决几何问题的“三部曲”:
第一步:
建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题;
第二步:
通过代数运算,解决代数问题;
第三步:
把代数运算结果“翻译”成几何结论.
(2)建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系:
第一:
如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点;第二:
如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;第三:
使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.
(3)一般地,设是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 平面直角坐标系 人教版 高中数学 选修 4411 平面 直角 坐标系 教学 设计