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中考题

2006年锦州市义务教育新课程初中学业考试数学试题

※考试时间120分钟，试卷满分120分。

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，本题共7个小题，每小题3分，共21分）

1.下列一组几何体的俯视图是（　　）

2.下列运算正确的是（　　）

　　A.x2+x3=x5　　　　　B.（2x2）3=2x6　　　C.x6÷x2=x3　　　　D.3x2·2x3=6x5

3.将下列各纸片沿虚线剪开后，能拼成右图的是（　　）

4.不等式组的解集为（　　）

　　A.-1＜x＜2　　　　　B.-1＜x≤2　　　　C.x＜-1　　　　　　D.x≥2

5.“五·一”黄金周过后，八年

（一）班班主任对全班52名学生外出旅游的天数进行了调查统计，结果如下表所示：

旅游天数（天）

0

1

2

3

4

5

6

7

人数（人）

5

6

12

11

10

5

3

0

　　则该班学生外出旅游天数的众数和中位数分别是（　　）

　　A.2,3　　　　　　　B.2,2　　　　　　C.7,3.5　　　　　　D.12,10.5

6.锦州市宝石广场占地面积约为12555米2，它的面积与一个班级教室面积的倍数关系，下列最接近的是（　　）

　　A.40倍　　　　　　　B.80倍　　　　　　C.100倍　　　　　　D.150倍

7.如图是水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），下列图象能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间函数关系的是（　　）

二、填空题（本题共9个小题，每小题3分，共27分）

8.若多项式4a2+M能用平方差公式分解因式，则单项式M=____（写出一个即可）。

9.2005年10月17日新华网报道：

“5天前从酒泉卫星发射中心启航的神舟六号飞船，在平安飞行115小时32分后重返神州。

”用科学记数法表示神舟六号飞船飞行的时间是____秒（保留三个有效数字）。

10.若反比例函

数的图象经过点（-2,3），则这个反比例函数的表达式为____。

11.锦州市住宅电话号码是由7位数字组成，某人到电信公司申请安装一部住宅电话，那么该公司配送给这部电话的号码末尾数字为6的概率是____。

12.已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式____。

13.体育老师对甲、乙两名同学分别进行了5次立定跳远测试，经计算这两名同学成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差是0.03，乙同学的成绩（单位：

m）如下：

2.32.22.52.12.4，那么这两名同学立定跳远成绩比较稳定的是____同学。

14.如图，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为____。

15.点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似.满足这样条件的直线最多有____条。

16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b.若E1、F1分别是AB、DC的中点，

则；若

分别是

的中点，则

；当

分别是

的中点，则

；若

分别是

的

中点，根据上述规律猜想

=____（n≥1，n为整数）。

三、解答题（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

17.计算：

。

18.如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”。

根据图形解答下列问题：

（1）图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？

（写出变换过程）

（2）在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标。

四、解答题（本题共3个小题，每小题6分，共18分）

19.锦州市疏港快速干道（锦州至笔架山）将于2006年8月正式通车。

届时锦州至笔架山的公路运行里程将由目前的34千米缩短至28千米，设计时速是现行时速的1.25倍，汽车运行时间将缩短0.145小时。

求疏港快速干道的设计时速。

20.某中学进行体育教学改革，同时开设篮球、排球、足球、体操课，学生可根据自己的爱好任选其一。

体育老师根据九年级学生的报名情况进行了统计，并绘制了下面尚未完整的频数分布直方图和扇形统计图。

请根据统计图解答下列问题：

（1）该校九年级共有多少名学生？

（2）将两个统计图补充完整；

　　（3）从统计图中你还能得到哪些信息？

（写出两条即可）

21.甲、乙两队进行拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪子、布”的手势方式选择场地位置。

规则是：

石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头，手势相同再决胜负。

请你说明裁判员的这种作法对甲、乙双方是否公平，为什么？

（用树状图或列表法解答）

五、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分）

22.在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是（如图）：

画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于

的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接

AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB，则△ABD就是直角三角形。

（1）请你说明其中的道理；

（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°（不写作法，保留作图痕迹）。

23.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，∠CAB的角平分线AE交BC于点D，交半圆O于

点E。

若AB=10，tan∠CAB=

，求线段BC和CD的长。

六、解答题（本题共9分）

24.小刚家装修，准备安装照明灯。

他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当。

假定电价为0.45元/度，设照明时间为x（小时），使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1（元）和y2（元）[耗电量（度）=功率（千瓦）×用电时间（小时），费用=电费+灯的售价]。

（1）分别求出y1、y2与照明时间x之间的函数表达式；

（2）你认为选择哪种照明灯合算？

　　（3）若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时，一盏节能灯的使用寿命为6000小时，如果不考虑其他因素，以6000小时计算，使用哪种照明灯省钱？

省多少钱？

七、解答题（本题共9分）

25.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD。

（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，

请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题

（1）中猜想的结论是否仍然成立？

若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由。

八、解答题（本题共12分）

26.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）。

（1）求A、B两点的坐标；

（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；

　　（3）在题

（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？

最大面积是多少？

参考答案及评分标准

　　一、选择题（本题共7个小题，每小题3分，共21分）

　　1.B　　2.D　　3.C　　4.B　　5.A　　6.D　　7.C

　　二、填空题（本题共9个小题，每小题3分，共27分）

8.答案不惟一，只要符合要求即可.如：

-b2　　

9.4.16×105

10.

11.

　　12.答案不惟一，只要符合要求即可.如：

y=x2-2

　　13.乙

14.

15.4　　

　　16.

　　三、解答题（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

　　17.解：

原式=

　　……4分

            　　……5分

　　18.解：

（1）答案不惟一，只要合理即可得2分，如：

　　方法一：

将△ABC以点C为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C，再将△A1B1C向右平移3个格就得到△DEF；

　　方法二：

将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1以点C1为旋转中心，按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF；

　　方法三：

将△ABC以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△A1BC1，再将△A1BC1向下平移4个格得到△A2B2C2，再将△A2B2C2向右平移7个格就得到了△DEF。

　　方法四：

将△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，再将△AB1C1向下平移4个格得到△A2B2C2，再将△A2B2C2向下平移5个格就得到了△DEF。

（2）答案不惟一，只要正确建立直角坐标系并正确写出各点坐标，即可得3分。

如：

　　方法一：

如图①建立直角坐标系，则点D（0，0）、E（2，-1）、F（2，3）；

　　方法二：

如图②建立直角坐标系，则点D（-2，0）、E（0，-1）、F（0，3）；

　　方法三：

如图③建立直角坐标系，则点D（-2，-3）、E（0，-4）、F（0，0）；

　　方法四：

如图④建立直角坐标系，则点D（-2，1）、E（0，0）、F（0，4）。

　　四、解答题（本题共3个小题，每小题6分，共18分）

19.解：

方法一：

　　　　　设现行时速是x千米/时，则疏港快速干道的设计时速是1.25x千米/时，……1分

　　　　　根据题意，得

                                  ……3分

　　　　　解这个方程，得x=80，                                         ……4分

　　　　　经检验，x=80是所列方程的根。

　　　　　1.25×80=100（千米/时）。

　　     答：

疏港快速干道的设计时速是100千米/时。

                     ……6分

　　  方法二：

设疏港快速干道的设计时速是x千米/时，则现行时速是0.8x千米/时。

……1分

根据题意，得

，

解这个方程，得x=100                                           ……4分

经检验，x=100是所列方程的根。

答：

疏港快速干道的设计时速是100千米/时。

                      ……6分

20.解：

（1）由统计图得，108÷30%=360，∴该校九年级共有360名学生。

            ……1分

（2）补全直方图得1分，补全扇形统计图得2分，两个统计图都补全可得3分。

　　补全的两个统计图如下：

　　（3）此题是开放性试题，答案不惟一，合理即可得分，写出一条信息得1分，本题共2分。

　　①九年级学生选学体操的人数最多；

②九年级学生选学排球的人数最少；

③选学篮球的人数是九年级学生总人数的25%（或

）；

　　④选学足球的人数是九年级学生总人数的25%（或

）；

　　⑤选学体操的人数是九年级学生总人数的30%；

　　⑥九年级学生选学体操的人数比选学足球的人数多18人；

　　⑦九年级学生选学体操的人数比选学篮球的人数多18人；

　　⑧九年级学生选学篮球的人数比选学排球的人数多18人；

　　⑨九年级学生选学足球的人数比选学排球的人数多18人；

　　⑩九年级学生选学体操的人数比选学排球的人数多36人；

九年级学生选学足球的人数与选学篮球的人数相同；

九年级学生选学项目的众数是体操；

九年级学生选学篮球、排球人数的比为5：

4；

九年级学生选学体操、足球人数的比为6：

5；

九年级学生选学篮球、排球、足球、体操人数的比为5：

4：

5：

6。

21.解：

裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的。

                          ……1分

　　理由：

方法一：

用列表法得出所有可能的结果如下：

甲

乙

石头

剪子

布

石头

（石头，石头）

（石头，剪子）

（石头，布）

剪子

（剪子，石头）

（剪子，剪子）

（剪子，布）

布

（布，石头）

（布，剪子）

（布，布）

　　……3分

　　根据表格得，P（甲获胜）=

，P（乙获胜）=

。

                      ……5分

　　∵P（甲获胜）=P（乙获胜），

　　∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的。

                                 ……6分

　　方法二：

用树状图得出所有可能的结果如下：

                                    ……3分

　　根据树状图，P（甲获胜）=

，P（乙获胜）=

                         ……5分

　　∵P（甲获胜）=P（乙获胜），

　　∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的。

                                ……6分

　　五、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分）

　　22.解：

（1）理由：

　　方法一：

连接BC，由作图可知，AC=BC=CD，

　　∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB               ……1分

　　∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°

　　∴2∠ABC+2∠CBD=180°

　　∴∠ABC+∠CBD=90°，.即∠ABD=90°

　　∴△ABD是直角三角形                    ……3分

　　方法二：

连接BC。

　　由作图可知，AC=BC=CD，AD=AC+CD                                      ……1分

　　∴BC=

AD                                                           ……2分

　　∴△ABC是直角三角

形                                                ……3分

（2）如右图所示，                                        ……7分

　　则△EFG就是所求作的直角三角形，其中∠EGF=30°。

23.解：

方法一：

　　∵AB是半圆O的直戏，∴∠C=90°

　　在Rt△ABC中，∵

，

　　∴

                                                         ……1分

　　设AC=4k，BC=3k。

　　∵AC2+BC2=AB2，AB=10，

　　∴（4k）2+（3k）2=100，解得k1=2，k2=-2（舍去）。

　　∴AC=8，BC=6                                                      ……3分

　　过点D作DF⊥AB于F。

　　∵AD是∠CAB的角平分线，∴CD=DF。

　　∵∠DFB＝∠ACB＝90°，∠DBF＝∠ABC，

　　∴△DBF∽△ABC                                                    ……5分

　　∴

，即

                                        ……6分

　　∴CD=

                                                           ……7分

　　方法二：

求AC、BC的方法同上                                       ……3分

　　过点D作DF⊥AB于F。

　　∵AD是∠CAB的角平分线，∴CD=DF。

　　∵AD=AD，∴△ACD≌△AFD.∵AF=AC=8，BF=AB-AF=2。

                  ……5分

　　∵∠CAB+∠B=90°，∠FDB+∠B=90°，∴∠FDB=∠CAB.

　　∴

                                           ……6分

　　∴

　　∴

                                                     ……7分

　六、解答题（本题共9分）

　　24.解：

（1）根据题意，得

，即

；  ……2分

，即

                   ……4分

（2）由y1=y2，得0.018x+1.5=0.0036x+22.38，解得x=1450；               ……5分

　　由y1＞y2，得0.018x+1.5＞0.0036x+22.38，解得x＞1450；                 ……6分

　　由y1＜y2，得0.018x+1.5＜0.0036x+22.38，解得x＜1450。

                  ……7分

　　∴当照明时间为1450小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过1450小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于1450小时时，选择白炽灯合算。

　　（3）由

（2）知当x＞1450小时时，使用节能灯省钱。

　　当x=2000时，y1=0.018×2000+1.5=37.5（元）；

　　当x=6000时，y2=0.0036×6000+22.38=43.98（元），

　　∴3×37.5-43.98=68.52（元）。

　　∴按6000小时计算，使用节能灯省钱，省68.52元.……9分

　　注：

如果把x=6000小时直接代入y1=0.018x+1.5中，扣1分。

　　七、解答题（本题共9分）

　　25.

（1）猜想：

AF=BD且AF⊥BD                                        ……1分

　　　证明：

设AF与DC交点为G

　　　∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，

　　　∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，

　　　∴∠BCD=∠ACF

　　　∴△ACF≌△BCD

　　　∴AF=BD                                                         ……4分

　　　∴∠AFC=∠BDC

　　　∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=DGA

　　　∴∠BDC+∠DGA=90°

　　　∴AF⊥BD                                                        ……7分

　　　∴AF=BD且AF⊥BD

（2）结论：

AF=BD且AF⊥BD，

　　　图形不惟一，只要符合要求即可。

　　　画出图形得1分，写出结论得1分，此题共2分。

如：

①    CD边在△ABC的内部时；　②CF边在△ABC的内部时。

①　　　　　　　　　　　　　　　②

　　八、解答题（本题共12分）

　　26.解：

（1）∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），

　　　　　∴OA=AB=BC=CO=4，

　　　　　过点A作AD⊥OC于D，

　　　　∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=2

　　　　　∴A（2，2

），B（6，2

）                                    ……3分

（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：

　　　　　①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交（如图①），

　　　　　∵MN⊥OC，∴ON=t.∴MN=ONtan60°=

t

　　　　　∴

                                       ……4分

　　　　　②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交（如图②）

　　　　　S=

ON·MN=

×t×2

=

t                                     ……6分

　　　　　③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交（如图③）

　　　　　方法一：

设直线l与x轴交于点H.

　　　　　　∵MN=2

-

（t-4）=6

-

t，

　　　　　∴

                                               ……8分

　　　　　方法二：

设直线l与x轴交于点H.

　　　　　∵S=S△OMH-S△ONH，

　　　　　∴

                                              ……8分

　　　　　方法三：

设直线l与x轴交于点H.

　　　　　∵S=S菱形OABC-S△OAM-S△ONC-S△BMN，

，

　，

，

，

　　　　∴

……8分

　　　　（3）由

（2）知，当0≤t≤2时，

，

　　　　　当2＜t≤4时，

                                    ……9分

　　　　　当4＜t≤6时，配方得

，

　　　　　∴当t=3时，函数

的最大值是

　　　　　但t=3不在4＜t≤6内，

∴在4＜t≤6内，函数

的最大值不是

　　　　　而当t＞3时，函数

随t的增大而减小，

　　　　　∴当4＜t≤6时，S＜4

                                      ……11分

　　　　　综上所述，当t=4秒时，

                            ……12分

注：

若考生讨论时分为0≤t≤2，2≤t≤4，4≤t≤6情况，只要答案正确，即可按标准赋分。