带电粒子在磁场中的运动.docx
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带电粒子在磁场中的运动
磁聚焦问题:
带电粒子在磁场中的运动
【例1】在xoy平面内有很多质量为m,电量为e的电子,从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限,如图所示.现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场,要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动,试问符合该条件的磁场的最小面积为多大?
(不考虑电子间的相互作用)
【解析1】:
电子由O点射入第Ⅰ象限做
匀速圆周运动
所有电子的轨迹圆半径相等,且均过O点。
这些轨迹圆的圆心都在以O为圆心,半径为r的且位于第Ⅳ象限的
四分之一圆周上,如图所示。
由图可知,a、b、c、d等点就是各
电子离开磁场的出射点,均应满足方程
x2+(r-y)2=r2。
即所有出射点均在以坐标(0,r)为圆心的圆弧abO上,显然,磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积,由几何关系得:
【解析2】:
磁场上边界如图线1所示
设P(x,y)为磁场下边界上的一点,
经过该点的电子初速度与x轴夹角为,
则由图可知:
x=rsin,y=r-rcos
得:
x2+(y-r)2=r2
所以磁场区域的下边界也是半径为r,圆心为(0,r)的圆弧应是磁场区域的下边界。
两边界之间图形的面积即为所求。
图中的阴影区域面积,即为磁场区域面积:
【例2】(2009·海南·T16)如图,ABCD是边长为a的正方形。
质量为m电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场,电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场。
不计重力,求:
(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向;
(2)此匀强磁场区域的最小面积。
【解析】:
(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。
令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。
依题意,圆心在A、C连线的中垂线上,故B点即为圆心,圆半径为a,按照牛顿定律有ev0B=mv02/a,得B=mv0/ea
(2)自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在
BAEC区域中。
因而,圆弧AEC是所求的最小磁场区
域的一个边界。
(3)设某射中A点的电子速度方向与BA的延长线
夹角为θ的情形。
该电子的运动轨迹qpA如图所示。
图中圆弧Ap的圆心为O,pq垂直于BC边,圆弧
Ap的半径仍为a,在D为原点、DC为x轴、DA
为y轴的坐标系中,p点的坐标为(x,y),则x=asinθ,y=-acosθ。
由④⑤式可得:
x2+y2=a2,这意味着在范围0≤θ≤π/2内,p点处在以D为圆心、a为半径的四分之一圆周AFC上,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边界。
因此,所求的最小匀强磁场区域,是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的区域,其面积为S=2(πa2/4-a2/2)=(π-2)a2/2
磁聚焦概括:
迁移与逆向、对称的物理思想!
【例3】:
(2009年浙江卷)如图,在xOy平面内与y轴平行的匀强电场,在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。
在圆的左边放置一带电微粒发射装置,它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒。
发射时,这束带电微粒分布在0<y<2R的区间内。
已知重力加速度大小为g。
(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域,并从坐标原点O沿y轴负方向离开,求电场强度和磁感应强度的大小与方向。
(2)请指出这束带电微粒与x轴相
交的区域,并说明理由。
(3)在这束带电磁微粒初速度变为
2v,那么它们与x轴相交的区域又在
哪里?
并说明理由。
【答案】
(1);方向垂直于纸面向外
(2)见解析(3)与x同相交的区域范围是x>0.
【解析】略
【关键】图示
【例4】:
如图,在xOy平面内,有以O′(R,0)为圆心,R为半径的圆形磁场区域,磁感应强度大小为B,方向垂直xOy平面向外,在y=R上方有范围足够大的匀强电场,方向水平向右,电场强度大小为E。
在坐标原点O处有一放射源,可以在xOy平面内向y轴右侧(x>0)发射出速率相同的电子,已知电子在该磁场中的偏转半径也为R,
电子电量为e,质量为m。
不计重力及阻力的作用。
(1)求电子射入磁场时的速度大小;
(2)速度方向沿x轴正方向射入磁场
的电子,求它到达y轴所需要的时间;
(3)求电子能够射到y轴上的范围。
【例5】:
如图所示,在xOy平面上-H (1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点O; (2)这一片电子最后扩展到-2H 已知电子的电量为e,质量为m,不考虑电子间的相互作用。 【解析】如图示: 【例6】: (2008·重庆高考)如图为一种质谱仪工作原理示意图。 在以O为圆心,OH为对称轴,夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。 对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点。 CM垂直磁场左边界于M,且OM=d。 现有一正离子束以小发散角(纸面内)从C射出,这些离子在CM方向上的分速度均为v0。 若该离子束中比荷为q/m的离子都能会聚到D,试求: (1)磁感应强度的大小和方向(提示: 可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象); (2)离子沿与CM成θ角的直线 CN进入磁场,其轨道半径和在 磁场中的运动时间; (3)线段CM的长度。 【解析】: (1)如图所示,设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R, 由R=d,qv0B=mv02/R 可得B=mv0/qd,磁场方向垂直纸面向外 (2)设沿CN运动的离子速度大小为v,在磁场中的轨道半径为R′,运动时间为t 由vcosθ=v0,得v=v0/cosθ。 R′=mv/qB=d/cosθ 设弧长为s,t=s/v,s=2(θ+α)R′ 离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=2πm/Bq 得: t= (3)CM=MNcotθ 由正弦定理得: = ,R′=mv/qB=d/cos 以上3式联立求解得CM=dcotα 【例7】: 如图,在直角坐标系xOy中,点M(0,1)处不断向+y方向发射出大量质量为m、带电量为–q的粒子,粒子的初速度大小广泛分布于零到v0之间。 已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里,所有粒子都沿+x方向经过b区域,都沿-y的方向通过点N(3,0)。 (1)通过计算,求出符合要求的磁场范围的最小面积; (2)若其中速度为k1v0和k2v0的两个粒子同时到达N点(1>k1>k2>0),求二者发射的时间差。 【解析】: (1)在a区域,设任一速度为v的粒子偏转90°后从(x,y)离开磁场,由几何关系有 , ,得 ,上式与R无关,说明磁场右边界是一条直线 左边界是速度为v0的粒子的轨迹: , 此后粒子均沿+x方向穿过b区域,进入c区域,由对称性知,其磁场区域如图。 磁场的面积 (2)如图所示,速度为k1v0的粒子在a区域磁场的时间为 两个阶段的直线运动的时间共为 在c区域磁场的时间为 所以这两个粒子的发射时间差只与t2有关 速度为k2v0的粒子在直线运动阶段的时间为 【例8】: (1975IPHO试题)质量均为m的一簇粒子在P点以同一速度v向不同方向散开(如图),垂直纸面的匀强磁场B将这些粒子聚焦于R点,距离PR=2a,离子的轨迹应是轴对称的。 试确定磁场区域的边界。 【解析】: 在磁场B中,粒子受洛仑兹力作用作半径为r的圆周运动: Bqv=m ,得r= 设半径为r的圆轨道上运动的粒子, 在点A(x,y)离开磁场,沿切线飞向 R点。 由相似三角形得到: 同时,A作为轨迹圆上的点,应满足方程: 消去(y-b),得到满足条件的A点的集合,因此,表示磁场边界的函数方程为: y= 【例9】: (第二十届全国预赛试题)从z轴上的O点发射一束电量为q、质量为m的带正电粒子,它们速度方向分布在以O点为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内(如图所示),速度的大小都等于v。 试设计一种匀强磁场,能使这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M,M点离开O点的距离为d。 要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值。 不计粒子间的相互作用和重力的作用。 【解析】设计如下:
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- 带电 粒子 磁场 中的 运动
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