高等数学下第四版第八章习题答案doc.docx
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高等数学下第四版第八章习题答案doc
i.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、冇界集、无界集?
并分别指出它们的聚点集和边界:
⑴{g)|20};
⑵{(心)|1 ⑷{(x,y)I(x-I)2+bG}U{(w)I(X+I)2+尸51}. 解: (1)开集、无界集,聚点集: R2,边界: {(x,y)|尸0}. (2)既非开集乂非闭集,有界集,聚点集: {(x』)|lWx\y2w4}, 边界: {(x,叨F+b=l}U{(x』)|xV=4}. (3)开集、区域、无界集,聚点集: {(x』)[yWF},边界: {(¥』)|尸<}. (4)闭集、有界集,聚点集即是其木身, 边界: {(x^)|(x-1)24-/=1}U{(x,y)|(x4-l)2+y=l}. 2.己知f(x,y)=x2+y~-xytan—,试求f(tx,ty). y 解: f(tx,ty)=(tx)2+(ty)2-tx-tytan—=t2f(x,y). 3•已知/(u,v,w)=wu+卜严',试求f(x+y,x-y,xy). (l)z=ln(y2-2x+l); 解: Xx+y,x-y,xy)=(巧严+(砂严’心'=(x+)泸'+(初)4•求下列各函数的定义域: (4)w=—j=4-—j=+—j=;yjxy]yyjz z-\n(y一x)+ u=arccos 解: (l)n={(x,y)|/-2x+l>0}. (2)Z)={(x,jO|x+y〉0,x-y>0}. (3)D={(x,y)\4x-y2>0,\-x2-y2>0,x2+y2^0}. (4)D={(x』,z)|x>0,y>0,z>0}. (5)D={(x,y)ix>0,y>0,x2>y}. (6)Z)={(x』)|y-x>0,x>0,x2+y2<1}. ⑺D={(x,y,z)|/+尸工0,兀? +尹2_么2J。 }. 习题8・2 1•求下列各极限: ⑵零+詁严 J—>1丿 ⑷雹佶才 ⑶lim? -历石xtO )•—>0 ⑸恤竺空 X—>0y }->0 解: (1)原式=l: (l+』)=]n2. Vi2+o2 ⑵原式=+°°. ⑶原式=lim4-兀厂4=_1_ : Mxy(2+如+4)4 •• (4)原*lim°d+l)=2.;二薯xy+1-1 ⑸原式冷胪5 •ytO v->0 ar •歹=1x0=0.xy _(X+厂)2.2 2].兀+尹 =hm 锻(兀卄)严皿2严) 2.判断下列函数在原点0(0,0)处是否连续: (6)原式=lim 0. sin(X+j? ) ⑴z= (), 十+ho x2+y2=0 sin(x3+y‘) (2)z= 0, X5+工0 x3+/=0 & (3)z=\x2y2+(x-y)2 0, x2+y2=0 解: (1)由于OS sin(x3+/) x3+/ X2+/ sin(x‘+y‘) x3+y3 S(W+M) sin(x‘+j? ) x3+y3 乂lim(|兀|+尹)=0,且lim xtOvtO T sin(x3+^3) ..sinu.lim=1, “tou 故limz=0=z(0,0)・ xtO )・tO故函数在0(0,0)处连续. ■ (2)limz=lim"口"=\z(0,0)=0 xtO“tO •f 故0(0,0)是z的间断点. ⑶若P(x,y)沿直线jr趋于(0,0)点,则 22 limz-lim—=1, 20AKT0*2■f+0 尸xtO limz= xtO v=-x—>0 lim xtO /(_X)2 X2•(-x)2+4x2 =lim——=0 XTOx+4 若点Pg)沿直线尸-x趋于(0,0)点,则 故limz不存在•故函数z在0(0,0)处不连续. xtO )・tO 3.指出下列函数在何处间断: (1)/(◎)=4^4; (2)/(心)=; x+尹y~-2x (3)/(x,y)=ln(l-x2-/). 解: (1)因为当尸P时,函数无定义,所以函数在直线尸-兀上的所冇点处间断,而在其余点处均连续. (2)因为当#=2x时,函数无定义,所以函数在抛物线尹2="上的所有点处间断.而在其余各点处均连续. (3)因为当x2+y2=\时,函数无定义,所以函数在圆周x2+y2=l上所冇点处间断.而在其余各点处均连续. 习题8・3 1•求卜•列函数的偏导数: 2X (l)z=x>+—; UV (3)z=xlnJ/+尹2; x (4)z=Intan—; (5)z=(\+xy)y; (6)u—zxy; (7)u=arctan(X-y): (8)w=^+y dzI 解: (l)p=2卩+— ox dx dz —=xdy 22x duvu ds uv (2)5=-+- Vu 1 ZZ+— dvv2u (3)—=InJx24-j/2+%•. 1-2x=^\n(x2-}-y2)+ x2 x2+y2' dz1 —=x-dy jF+b2J兀2+^22yX2+/* dzI (4)—=—— dx伽兰 y •see 2x122x =—esc——, yyyy dz12兀/兀、2兀2x —=scc~—・(——)=——esc—. “tan-V厂Vy y (5)两边取对数得lnz=yln(l+xy) 字=(1+xy)y-[yln(l+xy)\=(1+xyY-—dx]+◎ 尸(1+号)"I dz (1+xyY-[yln(l+xy)]v=(1+xy}vln(l+xy)+y =(l+xy)vln(l+xy)+ du.vv (6)-—=lnz-zJox —=\nz-zxy-xoy du dz du1z.i du z(x-刃门 1+(兀一疔 du_z(x-y)z~l-(-1)_z(x-y): ~} 乔二1+[(兀-刃讦=一1+(兀_歹严・ du_(x-y)zln(x-y)_(x-y)2\n(x-y)a7=\+[(x-y)zY=l+(x-^)2z 2•已知u- x+y x2y2+、i・dudu小 9—y——=3“・ oxdy •< 证明: du_2xy2(x+y)-x2y2_x2y2+2xy3~~(x+y)2 dx (兀+刃2 山对称性知 du_x2y2+2yx3dy(x+p)2 于是 dudu *忘+y矿 3x2y2(x+y) (兀+刃2 =3u• 3.设z=e 求证: X,半丰=2z.aroy 证明: dz a^=e 1 7e (\1 -+-lxy 由Z关于x.y的对称性得 主二丄 y2 =x2・ 1 7e =2e =2z. 4.设/(x,jO=x+(y-l)arcsin,求fx(x,1). 解: £(兀』)=1+(丁一i) 1 2 A y 2 \y 则/y(xJ)=1+0=L _x2+y2 5.求曲线尸x+y在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角. y=4 解: 车=丄兀,—=1, OX2dx(2.4,5) 设切线与正向X轴的倾角为a, 兀 则tancr=l.故or—. 4 6.求下列函数的二阶偏导数: (1)z=x4+/-4x2/; (3)z=r; (2)z=arctan—; x (4)z=ex: +\ A 解: (1)——=4x3—8xy2, ox 穽=12/—8产 dx ^=-l6xy rhx,y的对称性知 2L x2> x2+y2 dx2(x2+y2)2 dz11_x 2xx2+y25 dy d2z_(x2+y2)-0-y-2x_2xy i+F lx丿 d2z_2xya7=~(x2+/)2? d2z_(x2+y2)-y-2y_y2-x2dxdy~(x2+y2)2~(x2^-y2)2' 3 ? 2.? c2r zx+y—x・2xy—xdydx(x2+y2)2(x2+y2)2° dz… ⑶尹12, dzx_i dyd2zx =y• dxdyy =yx~}+x•In)八yY_1=yv_1(1+xIny).uydx +xyx^'iny=yx~l(1+xIny), —=e^ydy 些=e"杪•2x•2x+-2=2/厂(2»+1), dr dz^x2+yv^=e 习题8・4 1•求下列函数的全微分: (l)z=e y (4)u=兀£ 刁N、2 解: (1)・・・学=/厂・2兀, ox dz 一=e dy •e.dz=2xex*vdr+2yex+vdy=2ev(xdx+ydy) (2)-: ^=y OX 2x +y2)2y]x2+y2 (f2严 dz dy x2+/ x2 F+7F 血=一(严十冋3/2(皿—兀⑪). (3)・・・—=yzxy: -{,—二/•Inx•畀dxdy du=\nx-xy dz •Iny•y •: du=y2xy'~}dx+xyInx-zyzldy+Inx•xvAny-yzdz. duyz-i(4)Tp=r axz —丄 dyz dz y^-1上1上 /.du=—xzdx+\nx-xz•—dy+lnx-x-zz 2.求下列函数在给定点和ri变量增量的条件下的全增量和全微分: (1)z=x2一+=2,y=-l,Ax=0.2,Ay=-0.1; (2)z=exy,x=1,y=l,Ar=0.15,Aj=0.1. 解: (l)Az=(x+Ax)2-(x+AxXj^+Ay)+2(y+Ay)2-z=9.68-8=1.68 dz=(2x一y)Ax+(-x+4y)A)^=1.6 ⑵Az=占心)(尸⑷一e期二e(e0265-l)=0.30e. dz=yexyAx+xexyAy=eA: r(yAx+xAj)=0.25e 3. (2)7(4.05)2+(2.93)2; 利用全微分代替全增虽,近似计算: ⑴(1.02)3•(0.97)2;⑶(1.97严. 解: ⑴设•产贝IJ fx(x,y)=3x2y2,fy(x,y)=2x》, 故df(x,y)=3x2y2dx+2xiydy=xy(3xydx-^2x2(ly) 取x=l,y=l,d_r=0.02,d)^=-0.03,贝9 (1.02)'・(0.97)2=A1.02,0.97)^AU)+4/(1,1)| =13Xl2+lxl[3X1XIX0.02+2Xl2X(-0.03)]=! . fx(x,y)= 2x 2后 X J^+y2 故df(x.y)=/「,(xdx+ydy) A+7 取x=4,y=3,dx=0.05,dy=-0.07,则 J(4.05)2+(2.93尸=/(4.05,2.93)-/(4,3)+d/(4,3)|露% [4x0.054-3x(-0.07)] =5+|x(-0.01) =4.998 G)设,则Q/(x,y)=J卅1cLr+x'lnxdy,取x=2,y=l,d.x=-0.03,d>,=0.05,M (1.97: r=/(i.97丄05)=/(2,1)+0(2,1)|爲器 =2+0.0393=2.0393. 4.矩形一边长a=10cm,另一边长b=24cm,当a边增加4mm,而b边缩小1mm时,求対角线长的变化. 解: 设矩形对角线长为/,则 /=yjx2+y2,d/=/r,(xdx+ydy). 当x=10,y=24,d.r=0.4,dy=-0」时, d/=.(10x0.4-24x0」)=0.062(cm) V102+242 故矩形的对角线长约增加0.062cm. 5.为圆锥体形变时,它的底半径人由30cm增至! J30.1cm,高%由60cm减至! J59.5cm,试求体积变化的近似值. 6.用水泥做一个长方形无盖水池,其外形长5m,宽4m,深3m,侧|fli和底均厚20cm,求所需水泥的精确值和近似值. 习题8・5 七dzdz水—,—; dudv 1•求卜•列复合函数的偏导数或全导数: (1)z=x2y-xy2tx=ucosv,y-usinv, (2)z=arctan二 v ✓ +dzdzy=u-v,水亍,亍;dudv (3)z/=ln(ex+ev), X=u+V, (4)w=x2+y2+z29 解: (1) x=efcost,y=efsinr, z仝,求包. dr dzdzdxdzdy2、/。 c、• -=——^——=(2xy-y)-cosv+(^-2xy)sinvouoxoudydu =3/sinvcosv(cosv一sinv) dzdzdxdzdy―2x•/2c、 —=1=-(2xy-y)-wsinv+(x-2xy)・ucosv 3vdxdvdydv =-2u3sinvcosv(sinv+cosv)+w3(sin3v+cos3v). (2)比二主•虫+主.变dudxdudydu 1 1 4- 1 /、 2v+ /、2 X y, X — 1+ — 1+ 1 一+ y 2 /、 x Iy) -v w2+v2 y+x 22 jr+y dv “— 1 /、X 2 1+ dz_dzdxdz・-j-dvdxdvdy u w2+v2• dududxdudy1 (3)——1= dxdxdxdydxeA+e? eY+ ~x 7 •(—1) 丄心弓宀 er+ex+出 er+3x2ev, du _dudxdudydudz dxdtdydrdzAt =2x(e/cost-elsint)+2尹(e‘sinZ+ezcost)+2z•e‘=4e2/• 2.设/具冇一阶连续偏导数,试求下列函数的一阶偏导数: /\ (l)W=/(x2-/,e^);⑵心/-/; Vz丿 (3)z=f(x^y^cyz)・ 解: ⑴鲁=f: ・2x+“•y=2xf;+yeyf;・ V=f;•(-2刃+盗•兰•x=-2yf;+x^f;. du dy du十 /、 X \/> /、y 匕丿 +/T z ⑶器=./;'•i+址y+.f;'yz=f\+yfi+yzf;,ax 器=才・0+厶‘以+穴•血=/'+xR;;dy =fi■xy=xyfi■ 3•设z=xy+xF(u)yu=—、F(u)为可导函数,证明: x dzdz xy—=z+xy. dxdy 证^—=y+xF\uydx y_ f丿 +F(“)=Fe)+y—上尸©) X dz dy x+xF'(u)■—=x+F'("). X dzdz x—+v—dxdy =xF(u)+xy-yF\u)+xy+yFf(u) =xy^xF(u)+xy =z+xy. +y[x+F©)] y /(x2-/) 其屮/(")为可导函数,验证丄字+丄 \dz1dzz =~7• xdxydyy 证明: •• dz_yf'・2x_2xyfdxf °zf-)八f•(-2y)/+2y2fdy 1dz1dz i-I—j xdxydy 2yf./+2r.r_1_y1_z ~T"111 fyfyffy2y 5.z=/(x2+/),其中/具冇二阶导数,求芈,穽,导.drdxdydy^ dzc^z 解: 手=2/,手=2"; oxdy 冷my, d2z dxdy =2xf-2y=Axyf, 由对称性知,=2厂+4),厂. 6•设/是具冇连续二阶偏导函数,求下列函数的二阶偏导数: (l)z=/(x,Z〕; (2)z=/(x/,x2>-); X) (3)z=f(sinx.cosy.ev+r)・ 解: ⑴麥=彳・1+於丄=/+丄A, oxyy d2zd^=d2z_” 砺二7121=4-务¥2/(-dyyy{ ⑵||=f\•y2+fi-2aj=y\f[+2xyf;, 話"(fn-y2+fi2-2矽)+2yf;+2矽(£: •y2+f;•2xy)=2皿’+y4/n"+4矽兀"+4兀夕灯, y〃11 f\\+/12•_+_ y八 1 2 /、"i/、"1)上・〃z.21 721+J22~\=J\\+./12~+~J12,y)yy *1,y'> y .fl+~f22'yy y y2 X/・〃1r -712722 rIy y1 2x” =7/2+7/22- =2yf;+y2(/「•2xy+f\;•疋)+2xf;+2xy(£: ・2xy+fj•x2) =2yf;+2xf;+2xy\f,/+2x3yf2^+5x2y2/J, ^=f^2xy+f;•x2二2xyf"+x[f;, 器=2xf: +2叽齐「2xy+•齐2"•F)+戏(^-2xy+fj-x2) ✓ =2xf: +4x2y\f{: +4x3yf^+x\f2^. (3)容=.f•cosx+f^ex+y=cosxf;+ex+yf^OX j=一sinxf;+cosx(//・cosx+fj・e")+^x+yK+e* =ex+yfy一sinxf: +cos2xfj+2ev+rcosxfj+e2(v+v) 篇K°sX[加•(-siny)+人"•ew (厶,cosx+/;3"・e" +ev+>,/f+严• ^/•(-sinj/)+^-ev+v =^x+yfi一cosXsinyf^+eY+rcosxf^一ev+vsinyf^+e2(v+r)/;/, 3-=f: (-si2)+小刊=-sinyf;+严厶; -cosj^-siny-ex+y+e'“厶‘+已“ -e+yyf;-cosyf;+sin2yfj-2ex+ysinyfj+e2(x+y)fj. dz a? =严 习题8・6 1•求下列隐函数的导数或偏导数: (1)siny+e'-xy2=0,求史; dx (3)x+2y+z-2y]xyz=0,—,—; dxdy 解: (1)[解法1]用隐函数求导公式, 则Fx=eA-y2,F、=cosy一2xy9 (2)\ny]x2+y2=arctan—,求$-;xdx (4)z3-3xyz=a',求字,兽dxd)r 设F(x^)=sinvH-eY-^2, 故型“坨“仝— dxFcosy-2xycosy-2卩 [解法2]方程两边对x求导,得 cos尹•+e'—(J? +X■2yy]=0 ? v /K~e y= cos尹一2卩 1 7\2 F二12x '2宀尸上 X2 x+尹 225 x+y 12y 2x2+/ •型 dx (3)方程两边求全微分,得 dx+2dy+dz- 2(yzdx+xzdy+xydz) =0, 血=jp/巫&+U莎y/xyz-xyylxyz-xy dz_yz-yjxyz 「— dxJxyz_xy dzxz-2^xyz —「y/xyz-xy (4)设F(x,y,z)=z3-3xyz一a3, dz_Fx_-3yz_尹zdxF_3z2-3xyz2-xy d2zd 2zly'X 萌dy^z-xy) (z2-xy)x^--xz sI (Zj /、 z2_卩)兀兀Z z-xy 2z・一_x z-xy lx3yz (xy-z2)3 证明: dy_FzdzFv 2•设F(x』z)=0nJ以确定函数x=x(”z)j=(x,z),z=z(x,y),证明: dxdydz_ —=—1. dydzdx dzF ■I人 I«_■I dxF. dx
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