解析几何答案廖华奎王宝富.docx
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解析几何答案廖华奎王宝富
第一章向量代数
习题1.1
1•试证向量加法的结合律,即对任意向量a,b,c成立
(ab)c=a(bc).
(如下图),
证明:
作向量
TTTTT
则(ab)c=(ABBCCDAC
TTTTT——Ia(bc)二AB(BCCD)二ABBD二AD,
故(ab)c=a(bc).
2.设a,b,c两两不共线,试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是abc=0.
证明:
必要性,设a,b,c的终点与始点相连而成一个三角形ABC,
则abc二ABBCCA二ACCA二AA=0.
充分性,作向量AB二a,BC二b,CD二c,由于
0二abc二ABBCCD二ACCD二AD,所以点A与D重合,即三向量
a,b,c的终点与始点相连构成一个三角形。
3•试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明:
设三角形ABC三边AB,BC,CA的中点分别是D,E,F(如下图),并且记
—>—JT
a=AB,b=BC,c=CA,则根据书中例1.1.1,三条中线表示的向量分别是
CD=1(^b),AE=1(a-c),BF」(b_a),
222
所以,CDAEBF=1(^b)•1(a-q」(b-a)=0,故由上题结论得三角形
222
的三中线CD,AE,BF可以构成一个三角形。
4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明:
如下图,梯形ABCD两腰BC,AD中点分别为E,F,记向量"AB=a,"FA=b,
FB二baFC二-b•■a,由于E是BC的中点,所以
;=1(FBFC)=珈aa—b)=1
(1)a三(1
)AB.且
F?
4(1
MAB)=2(ABTDC).
故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
5.试证命题1.1.2。
关,从而a,b,c线性相关。
现在设a,b,c两两不共线,则向量c可以在两个向量a,b上的进行分解,即作以c为对角线,邻边平行于a,b的平行四边形,则存在实数■使得c=■a•,因而a,b,c线性相关。
充分性,设a,b,c线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,k3,使得k1a-k2b•k3c=0。
不妨设k3=0,则向量c可以表示为向量a,b的线性组合,因此由向量加法的平行四边形法则知道向量c平行于由向量a,b决定的平面,故a,b,c共面。
6.设A,B,C是不共线的三点,它们决定一平面二,则点P在二上的充要条件是存在唯一的数组(’,・「)使得
其中,0是任意一点。
P在ABC内的充要条件是(*)与,-0,」_0八-0同时成立。
证明:
必要性,作如下示意图,连接AP并延长交直线BC于R。
—TT
则由三点B,R,C共线,存在唯一的数组k,,k2使得0只=匕08,*20。
,并且
TTT
k!
k^1。
由三点A,P,R共线,存在唯一的数组h,l2使得0P=I10A」20R,并且
hl2=1。
于是0Pl0a=1l0R1l,0设Alk0
0P—0A」0B0C,且I=l1l2k1l2k2=1。
TT—ITTTT
充分性,由已知条件有0P=怎0A-10B0C=怎0A」L0B(^-1)0C
二(OtOC)」(OB_OC)式CAOC,得到乩CA,
因而向量CP,CA,CB共面,即P在A,B,C决定的平面上。
如果P在ABC内,贝UP在线段AR内,R在线段BC内,于是0三k1,k2,l1,l^1,
如果(*)成立且0_,,」八_1,则有CP^iCalCB,这说明点P在角.ACB内。
同样可得到
忒扁,AC,这说明点P在角.BAC内。
故P在,ABC内。
7.在ABC中,点D,E分别在边BC与CA上,且BD=丄BC,CE=丄CA,AD与33
BE交于R,试证
RDJAD,RE=BE.
77
证明:
作如下示意图,
由三点B,R,E共线,存在k使得CR=kCB(1-k)CE,由三点A,R,D共线,存
-CA,有
3
在I使得CRI(C1A-),I由C于DBD=丄BC,CE二
3
2
-l)CB。
由于
112
CDCB,CECA,因而CR二kCB(1一k)CA二ICA(1
3333
21
向量CA,CB不共线,所以k=一(1-1),1=一(1-k),解此方程组得k
33
4
此得C^-CB-CE,
114
同理得到DRDA。
故得RDAD,REBE.
777
8.用向量法证明ABC的三条中线交于一点P,并且对任意一点0有
1
OP(OAOB0C).
证明:
设D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,贝UAE,BF交于一点P,连接
1CA,故Cp.^cd,即C,P,D三点共线「ABC的三条中线交于一点
223
1111
任取一点O,由CPCBCA,得到OP-OC(OB-OC)—(OA-OC),
3333
1-
于是OP(OAOBOC).
证明:
设四面体ABCD的棱AB,AC,AD的中点分别是B,C,D,棱BC,CD,DB的
中点分别是E,F,G,如下图。
则对棱中点连线为BF,CG,DE。
11
则容易知道C^-A^DG,CD^CD=EG,因此四边形CDGE是平行
四边形,CG,DE相交且交点是各线段的中点。
同理BF,CG也相交于各线段的中点,
故BF,CG,DE交于一点P。
由以上结论知道,对任意一点0,由P是DE的中点,有
OTJ(kOE)J(1OA1OD」OC丄譎,
222222
n
向量a没有变化。
方向不同的向量要相等只能是零向量,故OA=0.
i=1
nnnn■
送(OA+0A匚七)=2送OAj=k^0Ai,由于kv2,所以送OA;=0.
idididi=1
11.试证:
三点A,B,C共线的充要条件是存在不全为零的实数,,」八使得
OA」0B0C=0且」-0
其中,0是任意取定的一点。
证明:
必要性,如果三点A,B,C中至少有两点重合,比如A,B重合,则OA—0B=0,所以结论成立。
如果A,B,C互不重合,由例1.1.1知道三点A,B,C共线的充要条件是存在
数k使得kOA(4—k)OB—0C=0,令二k,二=1-k,-1,则,i,不全为零,
有■OA」0B;:
0C=0,——」•、•.=k(1一k)一1=0。
充分性,设OA」0B0C=0且■-J=0,则
TTTT—ITTTT
OA」0B(;;JOC=0,(OA—OC)」(0B—OC)=CA」CB=0,由
于•,」八不全为零,以及点0的任意性,可知■,」不全为零,否则也为零。
所以不妨设
-0,则CA=-^』・CB,因而三点A,B,C共线。
习题1.2
1.给定直角坐标系,设P(x,y,z),求P分别关于xOy平面,x轴与原点的对称点
的坐标。
解:
在直角坐标系下,点P(x,y,z)关于xOy平面,x轴与原点的对称点的坐标分别是
(x,y,-z),(x,-y,-z),(-x,-y,-z)。
2•设平行四边形ABCD的对角线交于点P,设DM^DB,CN
5
架'A;AB,AD下,求点P,M,N的坐标以及向量mN的坐标。
解:
作如下示意图,
因为P是DB中点,所以APAB•二AD.
22
—4^4"+4^4"+44^^
AMDMADDBAD=—(AB-AD)ADABAD.
5555
AN.5AC.5(ABAD).故在仿射标架g忌忌下,点p,m,n的坐标分别
66
444455
为(2,2),(5,5),(6,i).
44T
DCCNBDABAC
56
JAD—AB)ABJABAD)d7B丄忒
563030
所以向量MN在仿射标架「a;忌忌下的坐标为(30,30).
3.设a=(4,5,2),b=(0,-3,4),c=(-2,3,-4),,求下列向量的坐标:
(1)2a-bc;
(2)-3a2b4c。
解:
(1)2a-bc=2(4,5,2)-(0,-3,4)(-2,3,-4)=(0,46,-4).
(2)-3a2b4c--3(4,5,2)2(0,-3,4)4(-2,3,-4)=(-44,-9,-2).
4.判断下列各组的三个向量a,b,c是否共面?
能否将c表示成a,b的线性组合?
若
能表示,则写出表示式。
(1)a=(5,2,4),b=(-4,4,2),c=(-4,-4,5);
(2)a=(6,4,2),b=(-9,6,3),c=(-3,6,3);
(3)a二(4,2,-3),b=(-2,-4,6),c二(4,0,5).
解:
(1)设k4ak2bkp=0,即k4(5,2,4)k2(—4,4,2)k3(—4,-4,5)=0,则有
5kj-k?
-k3=0,
丿2k4+4k2-k3=0,该方程组只有零解k4=k2=k3=0,所以三向量不共面。
k4+2k2+5k3=0.
(2)设k4akbk4=0,即k4(6,4,2)k2(—9,6,3)k3(—3,6,3)=0,贝y有
&,3k=2-2k,只要k3不为零,K,k2就不为零,所以三向量共面。
取k3=1,
23
1212
则k1,k2,所以cab,即c可表示成a,b的线性组合。
2323
(3)设k1akbkc^=0,即K(1,2,-3)k2(-2,-4,6)k3(1,0,5)=0,则有
三向量共面。
由于k3只能为零,故c不能表示成a,b的线性组合。
6•设在一平面口上取一个仿射标架{O;q,e2},口上三点Pi(xi,yi),^1,2,3,共线当
X1y11
且仅当x2y21=0.
X3y31
证明:
三点Pi(xi,yi),^1,2,3,共线当且仅当,即埜山二注/.展
X3-论y3-y
开得xyX2y3X3y1-xy-X3y2-x?
y1=0.
证明P,Q,R共线当且仅当--1.
证明:
作如下示意图,
由于P,Q,R分别是直线AB,BC,CA上的定比分点,所以•=一1,二「-1八=-1。
建仿
—f—H—I——I1
AZAC-R一AC-AR,AR=厂AC;
BQ^Q…CCQ,QC「
111■
AQ=ACCQ=ACLB"C「(ABACBAB1AC。
所以P,Q,R在仿射标架A;AB,AC』下的坐标分别为
、1卩1
P(,0),Q(——,),R(0,)。
根据上
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