人教A版高中数学必修2《11 空间几何体的结构 习题11》8.docx

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人教A版高中数学必修2《11空间几何体的结构习题11》8

§1.1　空间几何体的结构

第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

学习目标　1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征（重点）.2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型（重、难点）．

1．概念：

如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．

2．多面体与旋转体

类别

定义

图示

多面体

由若干个平面多边形围成的几何体

旋转体

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，其中定直线叫做旋转体的轴

【预习评价】　（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）多面体是由平面多边形和圆面围成的．（×）

（2）旋转体是由“平面图形”旋转而形成的，这个平面图形可以是平面多边形，也可以是圆或直线或其他曲线．（√）

知识点2　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

多面体

定义

图形及表示

相关概念

分类

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

如图可记作：

棱柱ABCDEF－

A′B′C′D′E′F′

底面（底）：

两个相互平行的面．

侧面：

其余各面．

侧棱：

相邻侧面的公共边．

顶点：

侧面与底面的公共顶点

按底面多边形的边数分：

三棱柱、四棱柱、

……

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

如图可记作：

棱锥S－ABCD

底面（底）：

多边形面．

侧面：

有公共顶点的各个三角形面．

侧棱：

相邻侧面的公共边．

顶点：

各侧面的公共顶点

按底面多边形的边数分：

三棱锥、四棱锥、

……

棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台

如图可记作：

棱台ABCD－A′B′C′D′

上底面：

原棱锥的截面．

下底面：

原棱锥的底面．

侧面：

其余各面．

侧棱：

相邻侧面的公共边．

顶点：

侧面与上（下）底面的公共顶点

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……

【预习评价】

1．下列棱锥有6个面的是（　　）

A．三棱锥B．四棱锥

C．五棱锥D．六棱锥

答案　C

2．下面属于多面体的是________（将正确答案的序号填在横线上）．

①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．

答案　①②

题型一　棱柱的结构特征

【例1】　下列说法正确的是（　　）

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形

解析　选项A、B都不正确，反例如图所示．选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体．根据棱柱的定义知选项D正确．

答案　D

规律方法　1.判断一个几何体是否为棱柱的方法

（1）有两个面互相平行；

（2）其余各面是平行四边形；

（3）每相邻两侧面的公共边都互相平行．

这三个条件缺一不可，解答此类问题要思维严谨，紧扣棱柱的定义．

2．棱柱概念的推广

（1）斜棱柱：

侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．

（2）直棱柱：

侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．

（3）正棱柱：

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．

（4）平行六面体：

底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．

（5）长方体：

底面是矩形的直棱柱叫做长方体．

（6）正方体：

棱长都相等的长方体叫做正方体．

【训练1】　下列命题中，正确的是（　　）

A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点

B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

解析　A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图

（1），构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图

（2），底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D.

答案　D

题型二　棱锥、棱台的结构特征

【例2】　下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中正确说法的序号是________．

解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．

答案　①②

规律方法　判断棱锥、棱台形状的两个方法

（1）举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

（2）直接法：

棱锥

棱台

定底面

只有一个面是多边形，此面即为底面

两个互相平行的面，即为底面

看侧棱

相交于一点

延长后相交于一点

【训练2】　下列说法中，正确的是（　　）

①棱锥的各个侧面都是三角形；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；

③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；

④棱锥的各侧棱长相等．

A．①②B．①③C．②③D．②④

解析　由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．

答案　B

考查

方向

　题型三　空间几何体的平面展开图

方向1　绘制展开图

【例3－1】　画出如图所示的几何体的表面展开图．

解　表面展开图如图所示：

方向2　由展开图复原几何体

【例3－2】　如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

解　①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．

方向3　求几何体表面上两点间的距离

【例3－3】　长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．

解　沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：

（1）若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝

＝

＝4

.

（2）若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝

＝

＝3

.

（3）若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝

＝

.

相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为

.

规律方法　

（1）绘制展开图：

绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．

（2）由展开图复原几何体：

若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．

（3）求几何体表面上两点间的距离的方法：

求从几何体的表面上一点，将几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.

课堂达标

1．下列说法错误的是（　　）

A．多面体至少有四个面

B．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面为平行四边形

C．长方体、正方体都是棱柱

D．三棱柱的侧面为三角形

解析　由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错．

答案　D

2．下列说法中正确的是（　　）

A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

B．棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行

C．棱柱的侧棱就是棱柱的高

D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

解析　棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面（如正方体），故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错．

答案　A

3．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台（仅填相应序号）．

解析　结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．

答案　①③④　⑥　⑤

4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．

①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱．

解析　①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．

答案　①③

课堂小结

1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．

2．棱柱、棱台、棱锥关系图

基础过关

1．四棱柱有几条侧棱，几个顶点（　　）

A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点

C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点

解析　四棱柱有四条侧棱、八个顶点（可以结合正方体观察求得）．

答案　C

2．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是（　　）

A．①是棱柱B．②不是棱锥

C．③不是棱锥D．④是棱台

解析　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．

答案　B

3．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是（　　）

A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体

解析　余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.

答案　B

4．下列三个命题，其中正确的有________个．

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．

解析　①截面不一定与底面平行，不正确；②侧棱不一定相交于一点，不正确；③侧棱不一定相交于一点，不正确．

答案　0

5．如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.

解析　由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm，3cm，故两点之间的距离是

cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是

cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是

cm.

答案　

6．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.

（1）折起后形成的几何体是什么几何体？

（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？

（3）每个面的三角形面积为多少？

解　

（1）如图，折起后的几何体是三棱锥．

（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．

（3）S△PEF＝

a2，

S△DPF＝S△DPE＝

×2a×a＝a2，

S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE

＝（2a）2－

a2－a2－a2＝

a2.

7．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1

（1）这个长方体是棱柱吗？

如果是，是几棱柱？

为什么？

（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？

如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．

解　

（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形（作底面），其余各面都是矩形（作侧面），且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．

（2）截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.

能力提升

8．下列命题中，真命题是（　　）

A．顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥

B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

C．顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥

D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥

解析　对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；

对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；

对于选项D，顶点在底面上的投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题．

答案　D

9．如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③当E在AA1上时，AE＋BF是定值．

其中，正确的说法是（　　）

A．①②B．①C．①②③D．①③

解析　显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确．所以四个命题中①③正确．故选D.

答案　D

10．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：

（1）矩形的4个顶点；

（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．

其中正确结论的个数为________．

解析　如图所示：

四边形ABCD为矩形，故

（1）满足条件；四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故

（2）满足条件；四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故（3）满足条件；四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故（4）满足条件；故正确的结论有4个．故答案为4.

答案　4

11．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为________．

解析　设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则

∴abc＝24.分别除以bc，ac，ab，得a＝4，b＝3，c＝2.

∴体对角线长为

＝

.

答案　

12．如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．

解　将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．

∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.

又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4

.

∴△AEF周长的最小值为4

.

13．（选做题）给出两块正三角形纸片（如图所示），要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．

解　如图

（1）所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．

如图

（2）所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的

，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．