高考北京卷数学理试题word档含答案详细解析.docx
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高考北京卷数学理试题word档含答案详细解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(理科)
一.选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
2.下列函数中,在区间上为增函数的是()
A.B.C.D.
3.曲线,(为参数)的对称中心()
A.在直线上B.在直线上
C.在直线上D.在直线上
4.当时,执行如图所示的程序框图,输出的值为()
A.7B.42C.210D.840
5.设是公比为的等比数列,则“”是“为递增数列”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.若、满足,且的最小值为,则的值为()
A.2B.C.D.
7.在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积,则()
A.B.且
C.且D.且
8.学生的语文、数学成绩均被评为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()
A.2人B.3人C.4人D.5人
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
9.复数.
10.已知向量、满足,,且(),则.
11.设双曲线经过点(2,2),且与具有相同渐近线,则的方程为;渐近线方程为.
12.若等差数列满足,则当时,的前项和最大.
13.把5件不同产品摆成一排,若产品与产品相邻,且产品与产品不相邻,则不同的摆法有
种.
14.设函数(是常数,).若在区间上具有单调性,且,则的最小正周期为.
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分13分)
如图,在中,,点在边上,且,.
(1)求;
(2)求,的长.
16.(本小题满分13分)
李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;
(3)记为表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记为李明在这场比赛中的命中次数,比较与的大小(只需写出结论)
17.(本小题满分13分)
如图,正方体的边长为2,,分别为,的中点,在五棱锥中,为棱的中点,平面与棱,分别交于,.
(1)求证:
;
(2)若底面,且,求直线与平面所成角的大小,并求线段的长.
18.(本小题满分13分)
已知函数.
(1)求证:
;
(2)若对恒成立,求的最大值与的最小值.
19.(本小题满分14)
已知椭圆:
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
20.(本小题满分13分)
对于数对序列,记,,其中表示和两个数中最大的数.
(1)对于数对序列,求的值;
(2)记为,,,四个数中最小的数,对于由两个数对组成的数对序列和,试分别对和两种情况比较和的大小;
(3)在由五个数对组成的所有数对序列中,写出一个数对序列使最小,并写出的值.(只需写出结论)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(理科)
一.选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
2.下列函数中,在区间上为增函数的是()
A.B.C.D.
3.曲线,(为参数)的对称中心()
A.在直线上B.在直线上
C.在直线上D.在直线上
【答案】B
4.当时,执行如图所示的程序框图,输出的值为()
A.7B.42C.210D.840
【答案】C
【解析】
试题分析:
当输入、,判断框内的条件为?
所以进入循环的的值依次为7,6,5,因此执行后,则由.故选C.
考点:
程序框图,容易题.
5.设是公比为的等比数列,则“”是“为递增数列”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
6.若、满足,且的最小值为,则的值为()
A.2B.C.D.
7.在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积,则()
A.B.且
C.且D.且
【答案】D
【解析】
试题分析:
三棱锥在平面上的投影为,所以,
8.学生的语文、数学成绩均被评为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()
A.2人B.3人C.4人D.5人
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
9.复数.
【答案】
【解析】
试题分析:
,所以.
考点:
复数的运算,容易题.
10.已知向量、满足,,且(),则.
11.设双曲线经过点(2,2),且与具有相同渐近线,则的方程为;渐近线方程为.
12.若等差数列满足,则当时,的前项和最大.
【答案】
【解析】
试题分析:
由等差数列的性质,,,又因为,所以
所以,所以,,故数列的前8项最大.
考点:
等差数列的性质,前项和的最值,容易题.
13.把5件不同产品摆成一排,若产品与产品相邻,且产品与产品不相邻,则不同的摆法有
种.
【答案】36
14.设函数(是常数,).若在区间上具有单调性,且,则的最小正周期为.
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分13分)
如图,在中,,点在边上,且,.
(1)求;
(2)求,的长.
【答案】
(1);
(2)7.
【解析】
16.(本小题满分13分)
李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;
(3)记为表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记为李明在这场比赛中的命中次数,比较与的大小(只需写出结论)
17.(本小题满分13分)
如图,正方体的边长为2,,分别为,的中点,在五棱锥中,为棱的中点,平面与棱,分别交于,.
(1)求证:
;
(2)若底面,且,求直线与平面所成角的大小,并求线段的长.
(2)因为底面,所以,,
如图建立空间直角坐标系,则,,,
,设平面的法向量为,
则,即,令,则,所以,
设直线与平面所成的角为,则,
因此直线与平面所成的角为,
18.(本小题满分13分)
已知函数.
(1)求证:
;
(2)若对恒成立,求的最大值与的最小值.
当时,对任意恒成立,
当时,因为对任意,,所以在区间上单调递减,从而对任意恒成立.
当时,存在唯一的使得,
、在区间上的情况如下表:
19.(本小题满分14)
已知椭圆:
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
【答案】
(1);
(2)直线与圆相切.
【解析】
试题分析:
(1)把椭圆:
化为标准方程,确定,,利用求得离心率;
(2)设点,,其中,由,即,用、表示,当或考点:
椭圆的性质,直线与圆的位置关系.
20.(本小题满分13分)
对于数对序列,记,,其中表示和两个数中最大的数.
(1)对于数对序列,求的值;
(2)记为,,,四个数中最小的数,对于由两个数对组成的数对序列和,试分别对和两种情况比较和的大小;
(3)在由五个数对组成的所有数对序列中,写出一个数对序列使最小,并写出的值.(只需写出结论).
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