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概率论必备知识点
概率论与数理统计
知识点:
第一章随机事件及其概率
1、随机试验、样本空间与随机事件
(1)随机试验:
具有以下三个特点的试验称为随机试验,记为£
1)试验可在相同的条件下重复进行;
2)每次试验的结果具有多种可能性,但试验之前可确知试验的所有可能结果;
3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现.
(2)样本空间:
随机试验疋的所有可能结果组成的集合称为f的样本空间,记为Q;试验的每一个可能结果,即Q中的元素,称为样本点,记为e.
(3)随机事件:
在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件,简称事件,常用乂B.Q等大写字母表示;可表述为样本空间中样本点的某个集合,分为复合事件和简单事件,还有必然事件(记为O)和不可能事件(记为①).
2、事件的关系与运算
(1)包含关系与相等:
“事件A发生必导致B发生”,记为Au3或BnA:
A=B0AuB且BuA.
(2)和事件(并):
“事件A与B至少有一个发生”,记为
(3)积事件(交):
“事件A与B同时发生”,记为AcB或A3.
(4)差事件、对立事件(余事件):
“事件A发生而B不发生”,记为月一万称为月与万的羌事件;G—B=B称为B的对立事件;易知:
A—B=AB.
(5)互不相容性:
AB=
(6)事件的运算法则:
1)交换律:
=AB=BA:
2)结合律:
4u(BuC)=(AkjB)uC,(AB)C=A(BC):
3)分配律:
(4uB)C=ACuBC,(AB)uC=(quC)(BuC);
4)对偶(DeMorgan)律:
A 3、频率与概率 (1)频率的泄义: 事件A(£n次重复试验中出现g次,则比值/称为事件A在〃次 n 重复试验中出现的频率,记为即九(人)=匕・ n (2)统计概率: 当ms时,频率£(A)=b—P(A)・当"很大时, n P(A)=P"(A)称为事件A的统计概率. (3)古典概率: 若试验的基本事件数为有限个,且每个事件发生的可能性相等,则试 验对应古典概型(等可能概型),事件A发生的概率为: 4中所含样本点数_k_k(A) )一。 中样本点总数一7—〒. (4)几何概率: 若试验基本事件数无限,随机点落在某区域吕的概率与区域£的测度(长 g的测度 0的测度 度.而枳、体积等)成正比,而与其位置及形状无关,则试验对应几何概型,“在区域。 中随机地取一点落在区域g中”这一事件A”发生的概率为: (5)概率的公理化左义: 设(C,F)为可测空间,在事件域F上左义一个实值函数 P(A)9AeF,满足: 1)非负性: P(A)>0.对任意AeF;2)规范性: P(Q)=1: 3)可列可加性: 若有一列A21,2,…,4小=①,使得P([jA/)=XtP(Ai;), ;=i;=• 则称P(A),AeF为0■域F上的概率测度,简称“概率”. 4、概率的基本性质 (1)不可能事件概率零: P(①)=0. (2)有限可加性: 设儿,仏,…,A“是n个两两互不相容的事件,即At.A.=◎,(&)) ij=l,2,…”,则有Pg^A2^-^A/l)=P(A,)+P(A2)+-+P(A/l). (3)单调不减性: 若事件则P(B)>P(A),且 P〈B—龙=P®—P3.(4)互补性: 尸(A)=1—尸C4),且PC4)<1.(5)加法公式: 对任意两事件q、B,有P(A 此性质可推广到任意”个事件A〕,A? ,…‘A”的情形. (6)可分性: 对任意两事件A、B,有P(A)=P(AB)+P(AB). 5、条件概率与乘法公式 (1)条件概率: 设A、B是。 中的两个事件,即4、BwF,则P(B\A)=^^-称 P(A)为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. (2)乘法公式: 设A、BuF,则P(AB)=P(A)P(BIA)=P{B)P{AIB)称为事件A、B的概率乘法公式. 6、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 (1)全概率公式: 设备仏,…,A”是。 的一个划分,且P(AJ>0,(/・=1,2,…则对任何事件BwF,有P(B)=fP(4)P(BIA),称为全概率公式. />i (2)贝叶斯(Bayes)公式: 设人,心…,人是C的一个划分,且卩(4)>0 P(Ai)P(B\Ai) (/・=1,2,…,“),则对任何事件BwF,有P(舛13)=,(7=1,- /=1 称为贝叶斯公式或逆概率公式. 7、事件的独立性 (1)两事件的独立: 设(G,F,P)为一概率空间,事件A、BwF,且P(A)>0,若P(B)=P(B\A),则称事件A与B相互独立;等价于: P(AB)=P(A)P(B). (2)多个事件的独立: 设是n个事件,如果对任意的k(l ,…,儿相互独立. 8、贝努里(Bernoulli)概型 (1)只有两个可能结果的试验称为贝努里试验,常记为E.E也叫做“成功一失败”试验,‘'成功”的概率常用p=P{A)表示,英中A=“成功”. (2)把E重复独立地进行n次,所得的试验称为n重贝努里试验,记为E”. (3)把E重复独立地进行可列多次,所得的试验称为可列重贝努里试验,记为以上三种贝努里试验统称为贝努里概型. (4)E”中成功R次的概率是: C;//(1-py~k=C*pkcrkA^ p+O=l. 第二章随机变量及其分布 1、随机变量 设O是随机试验的样本空间,如果对于试验的每一个可能结果都有唯一的实数X(e)与之对应,则称X(e)为圧义在O上的随机变量,简记为X.随机变量通常用大写字母X、Y.Z等表示. 2、分布函数及其性质 设X为随机变量,x为任意实数,函数F(x)=P{X«x}(—svxv+s)称为随机变量X的分布函数. 分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性,具有以下性质: (1)0 (2)如果x{ (3)F(x)为右连续,即F(x+O)=F(x); (4)limF(x)=0,limF(x)=1: A->-WA—>-KC (5)P{xx 3、离散型随机变量及其概率分布 如果随机变虽X只能取有限个或可列个可能值•则称X为离散型随机变量•如果X的一切可能值为“,£,・・・,并且X取耳的槪率为几,则称 Pk=P{X=x&}伙=1,2,3,…)为离散型随机变量X的概率函数(概率分布或分布律) 成表格形式,也称为分布列(表2-1): 表2-1 X “勺勺… P P\PiPy… 其中pino,工Pi=1. i 常见的离散型随机变量的分布有: <1)0-1分布,记为X~(0-1),概率函数 P{X=灯=/『(1一〃)1,&=0」,0? <1; (2)二项分布,记为X~3(仏〃),概率函数 P{X=k}=c^pk(\-pY'-k,k=0,1,•••,»,o (3)泊松分布,记为X概率函数 jk—A P{X=灯=—=0丄…,A>0; k\ 泊松泄理设兄>0是一常数,〃是任意正整数,设npn=2,则对于任一固泄的非负整数 /北—A k,有limC: p: (l-几严=筈厂. ”T3Ck! 当〃很大且P很小时,二项分布可以用泊松分布近似代替,即 —")1,其中A=np. k\ (4)超几何分布,记为X〜H(nMN"槪率函数 M ^很大.且P唏较仙,有夸 (5)几何分布,记为X~G(〃),槪率函数 P{X=k}=p(l-p)k^l9k=0^-.0? <1. 4、连续型随机变量及其概率分布 如果对于随机变量X的分布函数F(x).存在非负函数f(x),使对于任一实数x,有 F(x)=匸/⑴刃,则称X为连续型随机变量•函数f(x)称为X的概率密度函数. 槪率密度函数具有以下性质: (1)f(x)>0: (2)力=1;
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