二次函数压轴题解题思路.docx
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二次函数压轴题解题思路.docx
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二次函数压轴题解题思路
二次函数压轴题解题思路
二次函数压轴题解题思路
一、基本知识
1会求解析式
2.会利用函数性质和图像
3.相关知识:
如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。
图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。
一些方法:
如相似、三角函数、解方程。
一些转换:
如轴对称、平移、旋转。
二、典型例题:
(一)、求解析式
1.(2014莱芜)过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.
(1)求抛物线的表达式;
2.(2012莱芜)顶点坐标为(2,﹣1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
练习:
(2014兰州)把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为()Ay=﹣2(x+1)2+2By=﹣2(x+1)2﹣2Cy=﹣2(x﹣1)2+2Dy=﹣2(x﹣1)2﹣2
(二)、二次函数的相关应用
第一类:
面积问题
例题.(2012莱芜)如图,顶点坐标为(2,﹣1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y
轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;(抛物线的解析式:
y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3.)
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;
练习:
1.(2010莱芜)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交轴于两点,交轴于点.
(1)求此抛物线的解析式;(抛物线的解析式为:
.)(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
2.(2014莱芜)如图,过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.
(1)求抛物线的表达式;(抛物线的表达式为:
y=﹣x2+x.)
(3)若△AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上,且不与点D重合),在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.
3.(2014兰州)如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
k|B|1.c|O|m
第二类:
.构造问题
(1)构造线段
(2013莱芜)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;
(2)构造相似三角形
(2013莱芜)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式;(抛物线的表达式为y=.)(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)构造平行四边形
(2014莱芜)如图,过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,求此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由;
(4)构造等腰三角形
(2013泰安)如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值.(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标.
练习:
(2014遵义)如图,二次函数的图象与交于(3,0)、(-1,0),与轴交于点.若点,同时从点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿,边运动,其中一点到达端点时,另一点也随即停止运动.
(1)求该二次函数的解析式及点的坐标.
(2)当点运动到点时,点停止运动,这时,在轴上是否存在点,使得以,,为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出点的坐标,若不存在,请说明理由.(3)当,运动到秒时,△沿翻折,点恰好落在抛物线上点处,请判定此时四边形的形状,并求出点坐标.
(5)构造直角三角形
22.(2014四川内江)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3.0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段
轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△MAB的形状,并说明理由;(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点,连结MC、MD,试判断MC、MD是否垂直,并说明理由.
(12)构造圆
(2014年淄博)如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.
(1)使∠APB=30°的点P有无数个;
(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标;
(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值?
若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB最大的理由;若没有,也请说明理由.
(13)轴对称
(2012浙江丽水)在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC.
(1)如图1,当点A的横坐标为时,矩形AOBC是正方形;
(2)如图2,当点A的横坐标为时,①求点B的坐标;
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2,试判断抛物线y=-x2经过平移交换后,能否经过A,B,C三点?
如果可以,说出变换的过程;如果不可以,请说明理由.
(14)规律
(2014江西抚州,第23题,10分)如图,抛物线()位于轴上方的图象记为1,它与轴交于1、两点,图象2与1关于原点对称,2与轴的另一个交点为2,将1与2同时沿轴向右平移12的长度即可得3与4;再将3与4同时沿轴向右平移12的长度即可得5与6;……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象1,2,……,n,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.⑴当时,①求图象1的顶点坐标;
②点(2014,-3)不在(填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上;若图象n的顶点n的横坐标为201,则图象n对应的解析式为,其自变量的取值范围为.⑵设图象m、m+1的顶点分别为m、m+1(m为正整数),轴上一点Q的坐标为(12,0).试探究:
当为何值时,以、m、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形?
并直接写出此时m的值.
解析:
(1)当时,①,∴F1的顶点是(-1,1);
②由①知:
“波浪抛物线”的值的取值范围是-1≤≤1,∴点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上;
由平移知:
F2:
F3:
,…,∵Fn的顶点横坐标是201,∴Fn的解析式是:
,此时图象与轴的两个交点坐标是(200,0)、(202,0),∴200≤≤202.
(2)如下图,取OQ的中点O′,连接TmTm+1,∵四边形OTmQTm+1是矩形,∴TmTm+1=OQ=12,且TmTm+1经过O′,∴OTm+1=6,∵F1:
∴Tm+1的纵坐标为,∴()2+12=62,∴=±,已知<0,∴.∴当时,以以O、Tm、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形.此时m=4.
解:
(1)∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A(﹣1,0),C(0,2).解得:
,∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2+x+2;
(2)∵y=﹣x2+x+2,∴y=﹣(x﹣)2+,∴抛物线的对称轴是x=.∴OD=.
∵C(0,2),∴OC=2.在Rt△OCD中,由勾股定理,得CD=.∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形,
∴CP1=CP2=CP3=CD.作CH⊥x轴于H,∴HP1=HD=2,∴DP1=4.∴P1(,4),P2(,),P3(,﹣);(3)当y=0时,0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1,x2=4,∴B(4,0).设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象,得,解得:
,∴直线BC的解析式为:
y=﹣x+2.如图2,过点C作CM⊥EF于M,设E(a,﹣a+2),F(a,﹣a2+a+2),∴EF=﹣a2+a+2﹣(﹣a+2)=﹣a2+2a(0≤x≤4).∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN,=+a(﹣a2+2a)+(4﹣a)(﹣a2+2a),=﹣a2+4a+(0≤x≤4).=﹣(a﹣2)2+∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,∴E(2,1).
(2014莱芜)解:
(1)由题意,可得C(1,3),D(3,1).∵抛物线过原点,∴设抛物线的解析式为:
y=ax2+bx.
∴,解得,∴抛物线的表达式为:
y=﹣x2+x.
(2)存在.
设直线OD解析式为y=kx,将D(3,1)代入求得k=,∴直线OD解析式为y=x.
设点M的横坐标为x,则M(x,x),N(x,﹣x2+x),∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣(﹣x2+x)|=|x2﹣4x|.由题意,可知MN∥AC,因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形,则有MN=AC=3.∴|x2﹣4x|=3.若x2﹣4x=3,整理得:
4x2﹣12x﹣9=0,解得:
x=或x=;若x2﹣4x=﹣3,整理得:
4x2﹣12x+9=0,解得:
x=.
∴存在满足条件的点M,点M的横坐标为:
或或.
(3)∵C(1,3),D(3,1)∴易得直线OC的解析式为y=3x,直线OD的解析式为y=x.
如解答图所示,设平移中的三角形为△A′O′C′,点C′在线段CD上.设O′C′与x轴交于点E,与直线OD交于点P;设A′C′与x轴交于点F,与直线OD交于点Q.设水平方向的平移距离为t(0≤t<2),则图中AF=t,F(1+t),Q(1+t,+t),C′(1+t,3﹣t).设直线O′C′的解析式为y=3x+b,将C′(1+t,3﹣t)代入得:
b=﹣4t,∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t.∴E(t,0).联立y=3x﹣4t与y=x,解得x=t,∴P(t,t).过点P作PG⊥x轴于点G,则PG=t.∴S=S△OFQ﹣S△OEP=OFFQ﹣OEPG=(1+t)(+t)﹣tt=﹣(t﹣1)2+当t=1时,S有最大值为.∴S的最大值为.
(2013莱芜)解:
由题意可知.解得.∴抛物线的表达式为y=.
(2)将x=0代入抛物线表达式,得y=1.∴点M的坐标为(0,1).设直线MA的表达式为y=kx+b,则.解得.∴直线MA的表达式为y=x+1.设点D的坐标为(),则点F的坐标为().DF==.
当时,DF的最大值为.此时,即点D的坐标为().
(3)存在点P,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似.设P(m,).
在Rt△MAO中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P不可能在第一象限.①设点P在第二象限时,∵点P不可能在直线MN上,∴只能PN=3NM,∴,即m2+11m+24=0.解得m=﹣3(舍去)或m=﹣8.又﹣3<m<0,故此时满足条件的点不存在.
②当点P在第三象限时,∵点P不可能在直线MN上,∴只能PN=3NM,∴,即m2+11m+24=0.解得m=﹣3或m=﹣8.此时点P的坐标为(﹣8,﹣15).
③当点P在第四象限时,若AN=3PN时,则﹣3,即m2+m﹣6=0.解得m=﹣3(舍去)或m=2.当m=2时,.此时点P的坐标为(2,﹣).
若PN=3NA,则﹣,即m2﹣7m﹣30=0.解得m=﹣3(舍去)或m=10,此时点P的坐标为(10,﹣39).综上所述,满足条件的点P的坐标为(﹣8,﹣15)、(2,﹣)、(10,﹣39).
(2012莱芜)解:
(1)依题意,设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣1,代入C(O,3)后,得:
a(0﹣2)2﹣1=3,a=1
∴抛物线的解析式:
y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3.
(2)由
(1)知,A(1,0)、B(3,0);
设直线BC的解析式为:
y=kx+3,代入点B的坐标后,得:
3k+3=0,k=﹣1
∴直线BC:
y=﹣x+3;由
(1)知:
抛物线的对称轴:
x=2,则D(2,1);∴AD2=2,AC2=10,CD2=8
即:
AC2=AD2+CD2,△ACD是直角三角形,且AD⊥CD;∴S△ACD=ADCD=××2=2.
(3)由题意知:
EF∥y轴,则∠FED=∠OCB,若△OCB与△FED相似,则有:
①∠DFE=90°,即DF∥x轴;将点D纵坐标代入抛物线的解析式中,得:
x2﹣4x+3=1,解得x=2±;
当x=2+时,y=﹣x+3=1﹣;当x=2﹣时,y=﹣x+3=1+;∴E1(2+,1﹣)、E2(2﹣,1+).②∠EDF=90°;易知,直线AD:
y=x﹣1,联立抛物线的解析式有:
x2﹣4x+3=x﹣1,解得x1=1、x2=4;当x=1时,y=﹣x+3=2;当x=4时,y=﹣x+3=﹣1;∴E3(1,2)、E4(4,﹣1);
综上,存在符合条件的点E,且坐标为:
(2+,1﹣)、(2﹣,1+)、(1,2)或(4,﹣1).
(2011莱芜)解得:
∴抛物线的函数表达式为。
(2)由,可得,抛物线的对称轴为直线,且对称轴是线段OB的垂直平分线,连结AB交直线于点M,即为所求。
∴MO=MB,则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴,垂足为C,则AC=4,BC=4,∴AB=∴MO+MA的最小值为。
(3)①若OB∥AP,此时点A与点P关于直线对称,=﹣(t﹣1)2+.∵﹣<0,﹣3≤1≤5,∴当t=1时,PQ取到最大值,最大值为.∴线段PQ的最大值为.
(3)①当∠BAM=90°时,如图3所示.
抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=.∴xH=xG=xM=.∴yG=×+=.∴GH=.
∵∠GHA=∠GAM=90°,∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM.∵∠AHG=∠MHA=90°,∠MAH=∠AGM,
∴△AHG∽△MHA.∴.∴=.解:
MH=11.∴点M的坐标为(,﹣11).②当∠ABM=90°时,如图4所示.∵∠BDG=90°,BD=5﹣=,DG=4﹣=,∴BG=
==.同理:
AG=.∵∠AGH=∠MGB,∠AHG=∠MBG=90°,
∴△AGH∽△MGB.∴=.∴=.解得:
MG=.∴MH=MG+GH=+=9.
∴点M的坐标为(,9).综上所述:
符合要求的点M的坐标为(,9)和(,﹣11).
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