初中数学竞赛专题三角形.docx
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初中数学竞赛专题三角形
初中数学竞赛专题:
三角形
§9.1全等三角形
1.1.1★已知等腰直角三角形A8C,8C是斜边.々的角平分线交AC于。
,过C作CE与a)垂
直
且交8。
延长线于邑求证:
BD=2CE.
解析如图,延长CE、B4,设交于b・则NF3E=NAb,A8=AC,得△AB£>gA4b,CF=8O.
乂BE1.CF,BE平分/FBC,故BE平分CF,E为CF中点、,所以2CE=FC=BD.
9.1.2★在△ABC中,已知乙4=60。
£、F、G分别为/W、AC、8C的中点,P、Q为AABC形
外两点,使总_14从尸£=¥,°尸_14。
0尸=卓,若6尸=1,求尸0的长.
解析如图,连结EG、FG,则EG//AC,FG//AB,故/PEG=150。
=NQFG.又
QF=-AC=EG,PE4AB=FG,故APEG9AGFQ,所以
22
PG=GQ,AEGP+ZFGQ=ZFQG+ZFGQ=30°,乂ZEGF=60°,所以NPG0=9O。
,于是
PQ=0PG=y/2.
10.1.3★在梯形A8C0的底边AD上有一点心若八钻石、ABCEx△(7£)七的周长相等,求竺LAD
解析作平行四边形EC8A,则△AB石口\。
£»,若H与A不重合,则H在£4(或延长线)上,但由三角形不等式易知,A,在E4上时,AABE的周长〉/XAZE的周长;A,在E4延长线上时,AABE的周长 ==AD2 11.1.4★★△ABC内,44。 =60。 /4(78=40。 。 、。 分别在边BC、C4上,并且”、BQ分别是ABAC.ZABC的角平分线.求证: BQ+AQ=AB+BP. 解析延长AB到D,使BD=BP,连结QP.易知ZABC=80°,所以ZQBC=400=ZACB,AC=AQ+QC=AQ+QB. 因N83P=ZBPO=」ZA3C=40。 =ZACB.所以AADPgAACP,2 ac=ad=ab+bd=ab+bp. 于是3Q+A0=A5+8P. 12.1.5★★设等腰直角三角形ABC中,。 是腰AC的中点,E在斜边8C上,并且AE_L3O.求证: ZBDA=ZEDC. 解析如图,作&AD的平分线AF,F在3D上. 由于NE4尸=45。 =/48,八8=4€\/4防=/6£,故八钻尸乌小。 1石,故石。 =八尸. 乂NC=NE4O=45。 ,AO=C。 ,于是△? 1㈤刍△CED,于是NA£>3=N£DC. 13.1.6★★设△/$£、△ACF都是等腰直角三角形,AE、4;是各自的斜边,6是石尸的中点,求证: AGBC也是等腰直角三角形. 解析如图,作A。 、GP、EM.FN分别垂直于直线BC,垂足为0、P、M、N. A G 由乙EBM=90。 -ZABQ=/BAQ,AB=BE,AEMB咨ABQA,故有EM=BQ,BM=AQ.同理FN=QC,CN=AQ,所以BM=CN, EM+FN=BQ+QC=BC. 乂EG=GF得BP=CP,且GP=;(EM+FN)=;BC,故GP=BP=CP.乂由GP_L3C,故 结论成立. 14.1.7★★已知A8_LAC,AB=AC,。 、七在3c上(。 靠近6),求证: 。 炉=5。 +C6的充要条件是〃4£=45。 . 解析如图,作FC±BC^FC=BDMZ4b=45o=NB,乂A8=AC,故△A3。 名△ACF,AD=A厂,且Z£>4F=ZE4C=90°. 若ZDAE=45°,则ZE4F=45°,因AD=AF,得AADE^Z^AFEM DE2=EF1=EC2+FC1=EC2+BD2. 反之,若DE2=EC2+BD2,由EF2=EC2+FC2得EF=DE.乂AD=A尸,故AADE/AAEF,又/=90°,于是〃4£=45。 . 15.1.8★★两三角形全等且关于一直线对称,求证: 可以将其中一个划分成3块,每一块通过平移、 旋转后拼成另一个三角形. 解析如图,设AABC与八4£(7关于/对称,分别找到各自的内心/、/'分别向三边作垂线〃)、化、 IF与「D'、IE、厅,于是6个四边形AUE均为轴对称的筝形,且四边形4V七乡四边形 尸,所以两者可通过平移、旋转后重合;同理,另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合. 16.1.9★★★已知: 两个等底等高的锐角三角形,可以将每个三角形分别分成四个三角形,分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色,使得同色三角形全等. 解析如图,设=,A至8c距离等于至eC距离,取各自的中位线FE、尸£,则FE=FEf.ill△ABC、AAEC均为锐角三角形,可在BC、&U上各取一点。 、沙,使图中标相同数字的角相等,于是AAEF92EF,ZXDEF9丛EF,/XFBD冬/\FUB',AEOC94ECD. 评注还有一种旋转而不是对称的构造法. 17.L10★已知AABC与AA'B'C'中,NA=NY,3C=3'C',S/ABC=S”宣1,AABC与 △4EU是否一定全等? 解析如图,让3与"重合,。 与C重合,A、A在8C同侧,若A与H重合,则△ABC学△AEC;否则由条件知四边形ABCA1为梯形和圆内接四边形,于是它是一个等腰梯形,于是ZABC=ZAfCB,AB=HC,AABC名△/TCB.综上,可知zMBC与A/VB'U全等. 评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明. 18.1.11★★如图所示,已知△ABC、△CED均为正三角形,M、N、L分别为4。 、AC和CE的中点,求证: AA/NL为正三角形. 解析如图,设3C、CO中点分别为S、7,,连结NS、SM、MT、72.则四边形CSWT为平行四边形,设NBCD=8,则Z^SM=60o+180°-^=240°-6»=ZL™,〃(工=360。 -120。 一6=240°-8,乂NC=SN=SC=MT、LC=LT=Cr=SM,故丛NL会加NM^TML, NL=NM=ML,于是AMNL为正三角形. 评注注意有时S在MN另一侧,此时为M=ZL7M=4(工=120。 +8,不影响最终结论. 19.1.^★★★ZvlBCI+J,ZA=90°,AB=c.AC=6,3C=〃,M是8C中点,P、Q分别在4? 、AC上(可落在端点),满足MPLWO,求8尸+CQ? 的最小值(用°、/八c表示). 解析如图梃长QM至N,使QM=MN,连结PN、BN、PQ、AM由于M是8C、NQ的中点,故BN=CQ,BN〃AC,BN上BP,乂PM垂直平分NQ,故BP^+CQ? =BP? +BN2=PN2=PQ? . 取尸。 中点K(图中未画出),则尸。 =从8+解,4〃,,于是3尸+。 02的最小值为工,取到等号24 仅当PQ=A〃即四边形APMQ为矩形时. 20.1.13***已知0为AABC内一点,NE4C=55C,由。 作8C、G4的垂线,垂足分别是L、M. 设。 为4? 中点,求证: DM=DL. 解析如图所示,取AP中点邑初中点八连ME、ED、DF、出.显然四边形。 曰少是平行四边 形,所以EP=DF,FP=DE.NDEP=/DFP. 乂由PMJ_AC,所以EM=EA=EP=DF.4EM=24AC;同理FL=DE,"FL=24BC.由 "4C=ZP3C,所以ZDEM=ZDEP+"EM=4FP+"FL=ADFL,从而4DFMdLFD,所以DM=DL. 9.1.14★★在AABC中,已知NCW=60°,Q、E分别是边AB、AC上的点,且ZAE£>=60°,E。 +03=CE,NCQ3=2NCOE,求ZDC8的度数. 解析如图,延长4? 到八使“=EO,连B、EF. 因为Z£4B=NA£0=6O0,所以4如=60。 ,4。 3=NCED=120。 , AD=AE=ED=BF. CE=ED+DB=DB+BF=DF. 于是,AC=A/,Z4CF=Z4/C=60。 . 乂因为ZEDB=120°,ZCDB=24CDE, 所以 ZCDE=40°,ZCDB=80。 , /ECD=T80。 一/CED-/EDC=20。 . 在△Cft4和△CB/中,C4=CF,NC4D=NCM=60。 ,AO=3/"所以△CYM刍△C87"故 ZFCB=ZACD=20°. 于是,NDCfi=600—NCOE-NFC8=200. 21.1.15★★在"BC中,4、NO为锐角,M、N、。 分别为边AB、AC.BC上的点,满足AM=AN、BD=DC,且ABDM=NCDN,求证: AB=AC. 解析若OM>ON,则在QM上取一点心使£W=OE.连结鸵并延长交AC于尸,连结EV.在ABED与△CM)中,BD=DC,ZBDE=ZCDN,DE=DN,故/\BDE^ACDN.于是有ZEBD=ZNCD,BE=NC,所以FB=FC.乂易知EN〃友;,因此N£A户=NAC3. 但另一方面,由DM>DN,知ZABC>ZFBC=ZACB,所以 ZAW=1(180°-ZBAC)2 =i(ZABC+ZACB) >1(ZACB+ZACB)=ZACB. 从而ZEV~>ZMV4>ZACB.矛盾,故假设DM>ON不成立. 若ZW 综上所述DM=DN,于是由2DM£MDN 知ZD3M=ZDGV,从而A3=AC. 9.1.16★★如图,八4%为边长是1的等边三角形,△8。 。 为顶角(NBDC)是120。 的等腰三角形, 以。 为顶点作一个60。 角,角的两边分别交回、AC于M、N,连结MN,形成一个AAMV. 求△AWV的周长. 解析延长AC到E,使CE=BM,连结DE.易知在/\BMD与MED中有BD=DC,ZMBD=ZECD=90°,BM=CE,从而AMBD也AECD.所以MD=。 石,ZMDB=ZEDC.于是在与△DEN中有DN=DN、MD=DE, ZMQV=60°=ZMDB+4CDN=ZEDC+ZCDN=ZEDN.从而AVONq4EDN,故NE=MN.所以y4M+A^V+/W=AM+AE+/W=AM+NC+CE+A/V=AM+Mfi+NC+/W= AB+AC=2. 9.1.为等腰直角三角形,NC=90。 点M、N分别为边AC和8C的中点,点。 在 射线BM上,且8。 =2BM,点E在射线NA上,旦NE=2NA,求证: BD±DE. 解析取AD中点连痔. 在/\BMC与△ZMM中,,BM=[BD=MD,ZBMC=NOM4,故AAMDgACMB.于是有2 AADM=』CBM、AD=BC,AD〃BC. 同样易知ABMC9△A/VC,于是有/CBM=ZCAN. 在△/WC与^,NA=-NE=AEyAF=-AD=^BC=NCAD//BC知ZEAF=ZANC,所以 222 △MF^AANC.于是有ZAEF=ZNAC"FA=ZACN=90P=ZEFD. 从而在ZkEA/与△EDb中有AF=FD,EF=EFA板AFAF且AEDF.于是有ZEDF=ZEAI^ "ED=/FEA. 总、之,ZEDF+ZMDA=ZEDF+ZNAC=ZEDF+ZAEF=ZEDF+ZFED=9(f,即 BD±DE. 9.1.18★★★已知口ABC£>,延长DC至P,使。 P=A,连结PA与8C交于Q,O为△2℃的外心, 则4、O、C、。 共圆. 解析如图连好辅助线,由于ZDE4=ZBAP=ZPAD=NCQP,故CQ=CP,设 ZOCP=ZOCQ=ZOQC=0MZ£QO=\SOQ-O=ZDCO,y.BQ=AB=CD.QO=CO^ △BQO经△DCO,于是NQO3=NCO£>,于是ZBOO=NQOC=2N0PC=N8C。 因此3、O、C.。 共 圆. 9.1.★已知△ABC和八4万0,/4=/4<且8C="C\。 和。 分别是8C、9U的中 点,AP=A7A问两个三角形是否必定全等? 解析如图作出ZXABC外心O(△48U及相应的0,、。 图中未画出). 若O在3c上,则ZA=90。 =Z/V,此时ZkABC与未必全等. 若O不与。 重合,则 月。 =品黑… OD=BO|cosA|=AO|cosA|=A'O[cosA[=O7)', AD=A! iy. 当A、O、。 共线,则人。 1.8。 4。 ,丛7,所以八4皮)乌八4%'£)\&18空\40£>',从而 △ABC且AAB'U. 当A、。 、。 不共线,则八4。 £)名乙¥077,/84=/07/4,于是")。 =/4。 (7(或NYQTT),于是由三角形全等可得AC=AC(或A7T),AB=Ab(或AC),故有△ABC四4归77(或ZVTC7T). 评注此题亦可用中线长公式证明. 9.1.20★★如果两个三角形满足“ASS”,它们不一定全等,此时称它们是相近的,现在有一三角形△「作△? 与之“相近”,……一般有△,.与△.相近,问是否存在一个上,使与△人相做且不全等? 解析这是不可能的.因为由正弦定理,A与△? 有等大的外接圆(它们有一对内角相等或互补),从而 推出A与xA有等大的外接圆,它们不可能只相似不全等. 9.1.★是否存在两个全等的三角形△与△,,△可划分为两个三角形与△? △,可 划分成两个三角形△;与△;,使X0Z4与△;却不全等? 解析这样的两个三角形是存在的,如图(a)、(b),设不等边三角形△ABCgAABC,其中BC2=ABAC=AFACC^,不妨设AC=AC是各自的最长边,则AB、Afff为各自的最短边.在AC、上分别找。 、O',使CZ)=A8,447y=NC,则由于3C2=A3.AC=C0.AC,故AABC^ABDC,所以ZBDC=ZABC=ZA! B'C,又因为ZC=ZBrAfDr,CD=AfBr,因此△BDC学而△/$£>显然不与△AZ7X全等.(若4=4,=90。 还可避免相似.) 9.1.★已知八4必中,ZA=60。 /是△ABC内心,4的垂直平分线分别交4? 、AC于M、ME、F在BC上,3E=EF=FC,求证: ME〃NF. 解析如图,连结M/、BI、CI、NI.易消与△/肠V为全等之正三角形,N8/C=120。 , NM/+N/WC=180°. 两端延长"N至S与r,使SM=MV=NT,则々^=加的=々〃/=60°,于是/\5用5g/\川必,同理△MFCg&WC,因此NS+NT=NM73+NMC=180°,S3〃7r. 而M、N将ST三等分,石、尸将3c三等分,于是由平行线分线段成比例,知ME〃N〃(〃S8). 评注读者可以考虑: 如果ME〃N『是否有㈤。 =60。 . 9.1.23★★★已知锐角三角形ABC,ZR4C=6O°,A8>AC,A/1BC的垂心和外心分别为M和O,QW分别与AB、AC交于X、丫,证明: AAAT的周长为A5+AC,QW=AB-AC. 解析如图,连结AO、BO、CO、AM.由A8>AC可知。 在AB一侧,用在4。 一侧. 因4OC=120°,故AO=",而4W==",于是AO=AW.NAQW=NAMO. V3tanZBAC万 乂N043=90°-NC=NKW,故NAXY=ZAKY,△AYT为正三角形. 乂ZXOB+ZYOC=60°=ZYOC+ZOCY,故ZXOB=ZYCO,ZBXO=\200=ZCYO,又BO=CO,故AXBO^AYOC,XY=XO+YO=BX+YC.^^AX+XY+YA=AB+AC. 又XO=My=NC,做OM=XY-2YC4A8+4。 )-2AC-^(AB+AC)=AB-AC. §9.2特殊三角形 9.2.1★在直角三角形ABC中,BC是斜边,AC=5,。 是8c中点,七是AC上一点,。 七=A£=2,求 AB. 解析如图,连结4? .设AO=C£)=x,因。 £=2,A£=2,CE=3,则 x2-22=2x3,x=V10.故A3=《BC? -AC? =J40-25=尼. 9.2,2★已知△ABC中,AB=14,3C=16,C4=28,P为4在NA平分线上的射影,M为3c中点、,求PM. 解析延长8P交AC于。 .FJjZBAP=ZQAP.AP_L3Q知BP=QP48=AQ.乂8W=CM,故 PM《,CQ=L(AC-AQ)=gx(28-14)=7. 222 A BDCD=(BE-DE)(CE+DE) =BE2-DE2=AB2-AD2. 当。 在8c外时的结论同理可证. 评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形,具有十分广泛的用途(例如题9.2.1),亦 可用相 交弦定理证明. 9.2.4★★已知锐角三角形ABC中,AD、CE是高,〃为垂心,A£)=3C,尸是8C的中点,求证: FH+DH=-BC. 2 解析如图,连结。 ,则EF=CF=1bC.于是FH2=EF? -EHCH=EF2-AHHD=EF2- 2 AHHD-HD,袱=EF2-HDAD+HD2=EF2-HDBC+HD2=EF2-2HD EF+HD? =(EF-HDf. 由于EF>FH>HD,故 fh=ef-dh=Lbc-dh. 2 9.2.5★已知斜边为AC的直角三角形ABC中,3在AC上的投影为〃.若以AB、BC、BH为三边可以构成一个直角三角形,求得的所有可能值. 解析显然由AB、BC、8〃构成的直角三角形中,4〃不是斜边,且 若AB>BC,则钻为斜边.设AB=c,BC=a,=力,则由AABC的面积知h^Ja2+b2=ac,又 A4_/+1 CH=2 同理,若皿-可得黑二牛1所以篝的可能值为 9.2-6★★已知△ABC中,AD为高,O在上, 以下哪些条件能判定A3=AC: (1)AB+CD=AC+BD: (2)ABCD=ACBD: ⑶L ABCDACBD 解析设BD=x,CD=y,AD=h,则AB=Qh2+丁,AC=Qh2+.先看条件 (1): \jh2+x2+y=yjh2+y2+x. 若x=y,则AB=AC;否则不妨设x>y,则x—y=-Qh2+y? =,,.., J/」+x2+W+y2 得y/h2+x2+y]h2+y2=X+y,于是〃=0,矛盾. 故A3=AC. 再看见条件 (2): ),"工了=八「寸.则/Jy2+Yy2=〃y+Vy2,于是X=y,故A8=AC. 最后条件(3): 1+_=于是 yyjhZ+x2XJ.2+产 士"=」—r--r=T-J=—X二J=.若X=y,贝|J 町Jh2+y2+丁(yjh2+x2+yjlr+y: j^(h2+x2)(/r+y2) ^(h2+x2)(h2+y2)(V/r+a-2+J"+V)=xy(x+y),仍有力=0,矛盾,故AB=AC. 所以三个条件都能判定AB=AC. 9.2.7★已知夕是等腰直角三角形ABC的斜边3c上任意一点,求"fl. AP2 解析如图,作4)_L5C于。 . 不妨设AD=BD=CD=\.「在CO上,PD=a,贝ljBP=BD+PD=T+a,CP=CD-PD=1-a,于是 BP-+CP2=(l+o)2+(\-a)2=2+2a2.V.AP2=AD2+PD2=1+a2.故丝+=: =2. Ar' 评注请读者考虑,若对BC上任一点P,有竺芋生为定值,是否可认为AABC为等腰直角三角 AP- 形. 9.2.8★★在AABC中,A8=19,3C=17,C4=18,。 是内一点,过点P向△ABC的 三边BC、C4、回分别垂线电)、PE、。 尸,垂足分别为。 、E、F,3.BD+CE+AF=27^BD+BF 的长. 解析如图,由于BD? —CD2+CE2-A炉+A尸一5尸=0,于是 A BD2-(17-BD)2+CE2-(18-C£)2+AF2-(19-AF)2=0,litB|J17BD+18CE+19AF=487• 而188O+18CE+18AF=486,故Ab一4。 =1.所以BD+3/=30+AB-A尸=AB-1=18. 9.2.9★★已知八旬。 中,4? =4。 /1£是3。 的中垂线,AE=8C,40C=3NA4C, 求喘 解析如图,不妨设BE=CE=1,则AE=2,AB=45.作ZABD的平分线板,由于 ZBDE=35AE=ZABD+ZBAE,故ZABF=ZDBF=ZBAE.因此A/;=8凡△ABOsAb/D, 任=〃=丝,从而BO、。 9=所以0T-(8O+A3). BFBDDFAB+DB
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