六年级奥数浓度问题讲义.docx
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六年级奥数浓度问题讲义
六年级奥数浓度问题讲义
一、专题引导:
什么是浓度呢?
(以糖水为例,将糖溶于水中得到糖水,这里糖叫溶质,水叫溶剂,糖水叫溶液。
)
三者之间关系:
浓度=×100%=×100%
二、典型例题
例1、有浓度为30%的酒精溶液若干,添加了一定数量的水后稀释成浓度为24%的酒精溶液,如果再加入同样的水,那么酒精溶液的浓度变为多少?
思路导航:
稀释问题是溶质的重量是不变量。
例2、有浓度为7%的盐水600克,要使盐水的浓度加大到10%,需要加盐多少克?
思路导航:
溶剂重理不变。
[练习]海水中盐的含量为5%,在40千克海水中,需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为2%?
例3、在浓度为50%的硫酸溶液100千克中,再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液,就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液?
思路导航:
混合前两种溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量分别等于混合后溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量。
[练习]配制硫酸含量为20%的硫酸溶液1000克,需要用硫酸含量为18%和23%的硫酸溶液各多少克?
例4、从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水,再用清水将杯加满;再倒出40克盐水,然后再用清水将杯加满,如此反复三次后,杯中盐水的浓度是多少?
思路导航:
反复三次后,杯中又已装满,即最后杯中盐水的重量仍为100克,由此;问题的关键是求出如此反复三次后还剩盐多少克?
[练习]①有盐水若干升,加入一定量水后,盐水浓度降到3%,又加入同样多的水后,盐水浓度又降到2%,再加入同样多的水,此时浓度是多少呢?
又问未加入水时盐水浓度是多少?
②有含糖6%的糖水900克,要使其含糖量加大到10%,需加糖多少克?
比和比例应用题
例4、乘坐某路汽车成年人票价3元,儿童票价2元,残疾人票价1元,某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是50:
20:
1,共收得票款26740元,这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人?
思路导航:
单价比:
成年人:
儿童:
残疾人=3:
2:
1
人数比:
50:
20:
1
[练习]甲乙两人走同一段路,甲要20分钟,乙要15分钟,现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行,相遇时,甲、乙各走了多少米?
例5、“希望小学”搞了一次募捐活动,她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品,这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。
已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:
6,乙商品与丙商品的数量之比为4:
11,且购买丙商品比购买甲商品多花了210元。
思路导航:
根据已知条件可先求三种商品的数量比。
[练习]一种什锦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:
4:
3的比例混合而成,酥糖、奶糖和水果糖的单价比是11:
8:
7,要合成这样的什锦糖120千克,什锦糖每千克32.4元,混合前的酥糖每千克是多少元?
例6、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。
当A转4圈时,B恰好转3圈;当B转4圈时,C恰好转5圈,问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少?
思路导航:
根据已知条件
可知A、B、C转速与齿数的积都相等,即它们的转速与齿数成反比例。
[练习]P39-6
巩固:
1、甲、乙、丙三个平行四边形的底之比是4:
5:
6,高之比是3:
2:
1,已知三个平行四边形的面积和是140平方分米,那么甲、乙、丙三个平行四边形的面积各是多少?
2、甲、乙、丙三个三角形的面积之比是8:
9:
10,高之比是2:
3:
4,对应的底之比是多少?
3、某校四、五年级参加数学竞赛的人数相等,四年级获奖人数与未获奖人数的比是1:
4,五年级获奖人数与未获奖人数的比是2:
7;两个年级中获奖与未获奖人数的比是多少?
4、盒子里共有红、白、黑三种颜色的彩球共68个,红球与白球个数的比是1:
2,白球与黑球个数的比是3:
4,红球有多少个?
六年级秋季班第一讲找规律、计数
家教班、基础班作业
1.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于50个小纸片,至少要画多少条直线?
请说明理由。
3. 有多少个四位数,满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大?
4. 分子小于6,分母小于60的不可约真分数有多少个?
5. 现在流行的变速自行车,在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。
用链条连接不同搭配的齿轮,通过不同的传动比获得若干不同的车速。
“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮,齿数分别是48,36,24;后轴上有4个齿轮,齿数分别是36,24,16,12。
问:
这种变速车一共有多少档不同的车速。
6. 一次考试五人的总分是423分,每人的分数都是整数,并且各不相同。
问得分最少的人,最多得多少分?
解析
7.1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于50个小纸片,至少要画多少条直线?
请说明理由。
解答:
根据公式1+
(注意:
切分平面的是直线而不是圆),
时,最多可将平面分成
块;
时,最多可将平面分成
块,所以至少要画10条直线。
2、
解答:
将分子和分母之和相等的分数看作一组。
每组分数的个数恰好是自然数的排列:
1,2,3…分数
位于分子和分母之和为57的那一组的第40个,这一组为:
共56个分数,这一组之前共有:
1+2+3+…+55=(1+55)×55÷2=15401540+40=1580(个)
3、有多少个四位数,满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大?
解答:
从0~9中选定4个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数,例如0、7、3、1只能对应3107,所以用组合数,10个数字选4个,即
。
4、分子小于6,分母小于60的不可约真分数有多少个?
解答:
分子是1时,分母可取2~59,共58个分数;
分子是2时,分母可取60以内除1以外的所有奇数,共30-1=29个;
分子是3时,分母可取60以内除了3的倍数以及1、2以外的所有数,共60-60÷3-2=38个;
分子是4时,分母可取60以内除1、3以外的所有奇数,共28个;
分子是5是,分母可取60以内除了5的倍数以及1、2、3、4以外的所有数,共60-60÷5-4=44个;
由上可知,符合条件的真分数共计58+29+38+28+44=197个。
5、现在流行的变速自行车,在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。
用链条连接不同搭配的齿轮,通过不同的传动比获得若干不同的车速。
“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮,齿数分别是48,36,24;后轴上有4个齿轮,齿数分别是36,24,16,12。
问:
这种变速车一共有多少档不同的车速
解答:
根据乘法原理,共有3×4=12种档位,但是48:
24=24:
12,48:
16=36:
12,4=24:
16,36:
36=24:
24,所以实际只有12-4=8种不同的车速。
6、一次考试五人的总分是423分,每人的分数都是整数,并且各不相同。
问得分最少的人,最多得多少分?
解答:
得分最少的人比其余四人,至少分别要少1,2,3,4分所以最少得分要
[423-(1+2+3+4)]÷5=82.6分得分最少的人,最多得82分
提高班作业
1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于50个小纸片,至少要画多少条直线?
请说明理由。
2、 一个长方形把平面分成两部分,那么3个长方形最多把平面分成多少部分?
3、 有多少个四位数,满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大?
4、 分子小于6,分母小于60的不可约真分数有多少个?
5、 现在流行的变速自行车,在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。
用链条连接不同搭配的齿轮,通过不同的传动比获得若干不同的车速。
“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮,齿数分别是48,36,24;后轴上有4个齿轮,齿数分别是36,24,16,12。
问:
这种变速车一共有多少档不同的车速。
6、 小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?
解析
1. 解析:
根据公式1+
(注意:
切分平面的是直线而不是圆),
时,最多可将平面分成
块;
时,最多可将平面分成
块,所以至少要画10条直线。
2. 解析:
根据公式
4×
,当
时,最多可将平面分成
块。
3. 解析:
从0~9中选定4个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数,例如0、7、3、1只能对应3107,所以用组合数,10个数字选4个,即
。
4. 解析:
分子是1时,分母可取2~59,共58个分数;
分子是2时,分母可取60以内除1以外的所有奇数,共30-1=29个;
分子是3时,分母可取60以内除了3的倍数以及1、2以外的所有数,共60-60÷3-2=38个;
分子是4时,分母可取60以内除1、3以外的所有奇数,共28个;
分子是5是,分母可取60以内除了5的倍数以及1、2、3、4以外的所有数,共60-60÷5-4=44个;
由上可知,符合条件的真分数共计58+29+38+28+44=197个。
5. 解析:
根据乘法原理,共有3×4=12种档位,但是48:
24=24:
12,48:
16=36:
12,4=24:
16,36:
36=24:
24,所以实际只有12-4=8种不同的车速。
6. 解析:
列表解题,第四个数=第一个数+第二个数。
台阶
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
走法
0
1
1
1
2
2
3
4
5
7
9
12
16
21
28
37
精英班作业
1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于50个小纸片,至少要画多少条直线?
请说明理由。
2、 一个长方形把平面分成两部分,那么3个长方形最多把平面分成多少部分?
3、 有多少个四位数,满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大?
4、 分子小于6,分母小于60的不可约真分数有多少个?
5、 现在流行的变速自行车,在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。
用链条连接不同搭配的齿轮,通过不同的传动比获得若干不同的车速。
“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮,齿数分别是48,36,24;后轴上有4个齿轮,齿数分别是36,24,16,12。
问:
这种变速车一共有多少档不同的车速。
6、 小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?
解析
1、解析:
根据公式1+
(注意:
切分平面的是直线而不是圆),
时,最多可将平面分成
块;
时,最多可将平面分成
块,所以至少要画10条直线。
2、 解析:
根据公式
4×
,当
时,最多可将平面分成
块。
3、 解析:
从0~9中选定4个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数,例如0、7、3、1只能对应3107,所以用组合数,10个数字选4个,即
。
4、 解析:
分子是1时,分母可取2~59,共58个分数;
分子是2时,分母可取60以内除1以外的所有奇数,共30-1=29个;
分子是3时,分母可取60以内除了3的倍数以及1、2以外的所有数,共60-60÷3-2=38个;
分子是4时,分母可取60以内除1、3以外的所有奇数,共28个;
分子是5是,分母可取60以内除了5的倍数以及1、2、3、4以外的所有数,共60-60÷5-4=44个;
由上可知,符合条件的真分数共计58+29+38+28+44=197个。
5、 解析:
根据乘法原理,共有3×4=12种档位,但是48:
24=24:
12,48:
16=36:
12,4=24:
16,36:
36=24:
24,所以实际只有12-4=8种不同的车速。
6、 解析:
列表解题,第四个数=第一个数+第二个数。
台阶
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
走法
0
1
1
1
2
2
3
4
5
7
9
12
16
21
28
37
从算术到代数
(一)
算术与代数是数学中两门不同的分科,但它们之间关系密切.代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.
在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的加、减、乘、除四则运算,并学会了用这些四则运算去解一些不太复杂的四则应用题.归纳一下,在用算术方法解应用题时主要用到了以下三种关系:
①部分数与总数的关系;
②两数差的关系;
③一倍数(或一份数)、倍数和几倍数的关系.第1、第2种关系用“加”、“减”法完成,第3种关系则用乘、除法完成.在解四则运算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则:
交换律、结合律、分配律.设a、b、c表示任意三个数,下列等式恒成立:
交换律:
a+b=b+a,a×b=b×a
结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
(a×b)×c=a×(b×c)
分配律:
a×(b+c)=a×b+a×c.
另外,在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类型.如:
和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、….对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式,并找出理由加以解释,再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时,对不同类型的题用不同的思路列式求解,解法就不同,因而用算术方法解应用题是不带普遍性的.
代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法,即用列“方程”来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.用方程来解应用题时,首先是用一些简单的符号,通常用x,y,z,t,s,u,v等字母来表示问题中待求的未知数,然后把这些未知数和已知数平等地看待,并把题目中的数量关系直接(平铺直叙)“翻译”为算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确定其中所含未知数应该等于什么样的值,即“解方程”.而解方程的原理就是对方程中的数,包括已知数和未知数,运用在“算术”中学过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都成立的,当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只要适当地运用这些法则,一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起来用代数方法解应用题的步骤如下:
1.设未知数.常用x,y,z,t,s,…等字母表示.
2.依题意列方程.即把所要解决的代数问题中的未知量换成代表未知数的字母,把问题中各种量间的关系“翻译”为带字母的算式表示出来,特别注意找出其中的相等关系.用两个代数式表示同一个数量,列出一个方程.因此方程是含有未知数的等式.一般说来,有n个相等关系就能列出n个方程,当然我们从中选取列方程与解方程时最方便的形式.
3.解方程.目的是把原方程变成同解的形如ax=b的方程,进而解出
①用分配律去括号.而不一定能像算术中那样先把括号中数算出来.因为其中有的是未知数算不出来.如下例中的
(1)变成
(2).
例164+x=3(32-x)
(1)
64+x=96-3
(2)
x+3x=96-64(3)
4x=32(4)
x=8.(5)
②移项.把含未知数的项与常数项(即不含未知数的项)分离开来,分别移到等号两端,注意移项变号法则.如上例中的
(2)变成(3).
③合并同类项,如上例中的(3)变成(4).
④用未知数的系数去除方程两端求出x的值.如上例中的(4)变成(5).
4.验算.一是实际计算求出的根是否满足方程,不满足的都舍去,二是根据题目的实际意义,删除不合理的解.
先以几个简单的四则应用题为例来对“算术解法”与“代数解法”作一比较.
例2车站给某工厂运2000箱玻璃.合同规定完好地运到一箱给5元运费.如损坏一箱,不给运费,倒赔40元.这批玻璃运到后,车站共收到运货款9190元.问损坏了几箱玻璃.
解:
①算术解法:
假如设有损坏,2000箱玻璃全运到,则应得运货款:
2000×5=10000(元).
和实际所得运货款相差:
10000-9190=810(元).
现在让我们用一箱好的换一箱损坏的玻璃,总箱数2000不变,但每换一箱所得运货款减少:
40+5=45(元)
那么换多少箱,货款正好减少多出来的810元呢?
做除法:
810÷45=18(箱).
答:
共换坏了18箱.
②代数解法:
设损坏了x箱,则没损坏的共2000-x箱.
依题意列方程
5(2000-x)-40x=9190
45x=10000-9190
45x=810
x=18.
答:
损坏了18箱.
比较这两种解法,可见代数方法简洁并具有高度普遍性.我们在后面的许多例题中都能充分地看出代数方法的优越性.但这决不等于说可以取消算术.这正如火车虽快决不能代替步行.在攀登高峰的崎岖的小道上还常常靠坚实的足步.下面举几个例子来看看算术方法的不可缺少.因为有的问题不易找到等量关系列方程.
例3一年级72名学生共交了□52.7□元课本费,其中的百位数和百分位上的数被水弄模糊了.你能算出每人交多少元?
解:
72=8×9,
又∵(8,9)=1
∴原数为25272分,
∴每人应交:
25272÷72=351(分).
答:
每人交3.51元.
例4求被6除余4,被10除余8,被9除余4的最小自然数.
解:
∵该数被6除余4
(1)
又该数被10除余8
(2)
∴该数是偶数.
再从被9除余4的偶数中从小到大挑选符合条件
(1)、
(2)的数:
4,4+9×2=22,22+9×2=40,40+9×2=58,
又58÷6=9…4
58÷10=5…8
58÷9=6…4
答:
58为所求最小自然数.
例5三个学生甲、乙、丙各有若干张画片互相赠送.第一次由甲送给乙、丙画片,所送的张数等于乙、丙各人已有的画片数;第二次由乙送给甲、丙画片,所送的张数等于甲、丙各人已有的画片数;最后由丙送给甲、乙画片,所送的张数也正好等于甲、乙各人已有的画片数.这时每人的画片数都是32张.问原来甲、乙、丙三人各有多少张画片?
解:
用倒推法.由最后每人都是32张画片开始,在下面表格里由上行到下一行逐行填写,可知在第三次丙送画片前,乙送完画片后三人手中的画片
(张);同理,在第二次乙送画片前,甲送完画片后三人手中的画片数应分
…可推知原来:
丙有16张,乙有28张,甲有8+28+16=52(张).
答:
原来甲有52张,乙有28张,丙有16张画片.
例6有甲、乙、丙三辆汽车,各以一定的速度从A地开往B地.乙比丙晚出发10分钟,出发后40分钟追上丙;甲比乙又晚出20分钟,出发后1小时40分钟追上丙.那么甲出发后需用多少分钟才能追上乙?
解法1:
设三车速度依次为V甲,V乙,V丙.丙比乙早出发10分钟,乙追上丙耗40分钟,是典型的追及问题:
丙比甲早出发30分钟,甲追上丙耗100分钟,也是追及问题:
的某个倍数代入:
解法1既用了算术的追及问题公式,又用了列方程的代数方法.下面再介绍一种列表法,对解这类题更方便.
解法2:
我们把题中的条件按下列方式填入下面表格中:
让同一列格子中填行相同路程时甲、乙、丙三辆汽车各自所需的时间,如第一列中填入稍稍转化了的已知条件:
乙走40分钟的路程丙需走40+10=50(分钟);第二列中填入甲走100分钟的路程丙需用100+20+10=130(分钟).以前两列中条件的关系,再根据当速度一定时路程与时间成正比的性质,当丙走650=[50,130]分钟的路程时乙需用40×13=520(分钟),甲则需用100×5=500分钟.由于乙比甲早出发20分钟,恰为520分钟与500分钟之差,因此甲出发后500分钟时追上乙.
答:
甲出发后需500分钟才能追上乙.
说明:
一般地,当知道丙走c分钟的路程与甲走a分钟、乙走b分钟的路程相等时,可列一方程求出所需的答案.设甲出发后ax分钟追上乙,则
在本题的条件下,c=650,a=500,b=520.
例7星期日小明去找同学玩了两三个小时,离开家时他看了看钟,回家时又看了看钟,发现时针与分针恰好互换了一个位置.问小明共离开家多少时间?
解:
因为小明离家回来时时针走到分针位置,分针走到时针位置,说明两针合起来恰好走了若干个整圈.设外出时间分为二个时段,第一段为2小时.小明出去整2小时,分针就应转过2圈,转回原处,而时针两小时走了
习题九
1.把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方,求原来这个两位数与新得到的两位数的和.
2.一辆汽车在公路上匀速行驶,司机看见里程碑上的数字是一个两位数
再过一小时,里程碑上是三位数,又恰好是第一个两位数中间加了个零(用
3.在一个红钱包与一个黑钱包里分别装着6枚和8枚硬币,并且两个钱包中的总钱数相等.如果从红钱包中任取两枚硬币与黑钱包中任取的两枚硬币交换时,红钱包中的总钱数要么比原来多2分,要么比原来的钱数少2分.问两个钱包中共装了多少钱?
(注:
这里的硬币只有1分、2分、5分三种)
习题九解答
由题设条件应有
是某自然数的平方,由表达式11(a+b)可知这个完全平方数既有一个约数11,就一定还有一个约数11,因此11是a+b的约数,而a、b又都只能取自1、2、3、…、8、9.故a+b=11.
答:
原数与新数的和为121.
所以(10B+A)-(10A+B)=(100A+B)-(10B+A)
即18B=108A,B=6A.
由于A、B都是一位非零数字,所以A=1,B=6.
答:
第一个里程碑上数字是16,第二个里程碑上数字是61,第三个里程碑上数字是106.
3.解:
我们先证明红钱包里不可能同时装有1分、2分、5分三种币值的硬币.因为否则,从红钱包里任取两枚硬币时,可能有2+1,2+5,1+5三种情形.前两种是奇数,后一种是偶数.而从黑钱包里任取的二个硬币都能使红钱包的钱的奇偶性不变,这是不可能的.类似可知,红钱包里不能同时有2分币和1分币或2分币和5分币.因此红钱包中的硬币只有两种可能:
一是全为2分币;二是装有一分与五分币没有2分币.同理,黑钱包中或全为2分币,或其中没有2分币.并且,由于两钱包中钱数相等而硬币数不等,因此不可能红、黑钱包中都只有2分币.
情形1:
当红钱包中全为2分币时,总钱数为2×6=12分.此时显然黑钱包中不可能有两个或两个以上的五分币,也不可能都是一分币(否则红、黑钱包中装钱数不等).因此黑钱包里有
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