高二数学 第八章 圆锥曲线方程 81椭圆及其标准方程优秀教案.docx
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高二数学第八章圆锥曲线方程81椭圆及其标准方程优秀教案
2019-2020年高二数学第八章圆锥曲线方程:
8.1椭圆及其标准方程优秀教案
一、教学目标
1.知识教学点
使学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.
2.能力训练点
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导,培养学生分析探索能力,增强运用坐标法解决几何问题的能力.
3.学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学,可以提高对各种知识的综合运用能力.
二、教材分析
1.重点:
椭圆的定义和椭圆的标准方程.
(解决办法:
用模型演示椭圆,再给出椭圆的定义,最后加以强调;对椭圆的标准方程单独列出加以比较.)
2.难点:
椭圆的标准方程的推导.
(解决办法:
推导分4步完成,每步重点讲解,关键步骤加以补充说明.)
3.疑点:
椭圆的定义中常数加以限制的原因.
(解决办法:
分三种情况说明动点的轨迹.)
三、活动设计
提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答.
四、教学过程
(一)椭圆概念的引入
前面,大家学习了曲线的方程等概念,哪一位同学回答:
问题1:
什么叫做曲线的方程?
求曲线方程的一般步骤是什么?
其中哪几个步骤必不可少?
对上述问题学生的回答基本正确,否则,教师给予纠正.这样便于学生温故而知新,在已有知识基础上去探求新知识.
提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形.
问题2:
圆的几何特征是什么?
你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索?
一般学生能回答:
“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”.对同学提出的轨迹命题如:
“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.”
教师要加以肯定,以鼓励同学们的探索精神.
比如说,若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”,那么动点轨迹是什么呢?
这时教师示范引导学生绘图:
取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13),当绳长大于F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆.
教师进一步追问:
“椭圆,在哪些地方见过?
”有的同学说:
“立体几何中圆的直观图.”有的同学说:
“人造卫星运行轨道”等……
认识椭圆(幻灯片)
在此基础上,引导学生概括椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调:
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学生认识到需加限制条件:
“在平面内”.
(2)这里的常数有什么限制吗?
教师边演示边提示学生注意:
若常数=|F1F2|,则是线段F1F2;若常数<|F1F2|,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:
“此常数大于|F1F2|”.
(二)椭圆标准方程的推导
1.标准方程的推导
由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所知,所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.
如何建立椭圆的方程?
根据求曲线方程的一般步骤,可分:
(1)建系设点;
(2)点的集合;(3)代数方程;(4)化简方程等步骤.
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图2-14).设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有F1(-1,0),F2(c,0).
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为:
P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
(3)代数方程
(4)化简方程
化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演,其余同学在下面完成,教师巡视,适当给予提示:
①原方程要移项平方,否则化简相当复杂;注意两次平方的理由详见问题3说明.整理后,再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
②为使方程对称和谐而引入b,同时b还有几何意义,下节课还要
(a>b>0).
关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可从略.
示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0).这里c2=a2-b2.
2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)
F1(-c,0)、F2(c,0),这里c2=a2-b2;
F1(-c,0)、F2(0,c),这里c2=a2+b2,只须将
(1)方程的x、y互换即可得到.
教师指出:
在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
不
同
点
标准方程
图形
焦点坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(-c,0),F2(c,0)
共
同
点
定义
a、b、c的关系
a>b>0,b,c大小不确定。
焦点的位置的判定
x²,y²项中哪个分母大,焦点就在那一条轴上。
(三)例题与练习
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点
解:
(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
∵ 2a=10,2c=8,
∴ a=5,c=4.
∴ b2=a2-c2=52-42=9.
所以所求椭圆的标准方程为
(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知,
又c=2,
∴ b2=a2-c2=10-4=6.
所以所求椭圆的标准方程为
例2 已知B、C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程.
分析:
在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系.为选择适当的坐标系,常常需要画出草图.
在图8-4中,由△ABC的周长等于16,|BC|=6可知,点A到B、C两点的距离的和是常数,即|AB|+|AC|=16-6=10,因此,点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,据此可建立坐标系并画出草图(图8-4).
解:
如图8-4,建立坐标系,使x轴经过点B、C,原点O与BC的中点重合.
由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10,
即点A的轨迹是椭圆,且
2c=6,2a=16-6=10,
∴ c=3,a=5,b2=52-32=16.
但当点A在直线BC上,即y=0时,A、B、C三点不能构成三角形,所以点A的轨迹方程是
注 求出曲线的方程后,要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意,如果有不符合题意的点,应在所得方程后注明限制条件.
练习1、椭圆的a=_________,b=__________,c=____________.
焦点坐标是。
练习2、动点P到两个定点的距离之和为8,则P点的轨迹为()
A、椭圆B、线段F1F2C、直线F1F2D、不能确定
练习3、椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6,则点P到另一个焦点F2的距离是_______。
练习4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴上,a=4,b=1
(2)
练习5、方程x2+ky2=2的曲线是焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是()
A、(0,+∞)B、(0,2)C、(1,+∞)D、(0,1)
练习6、方程表示焦点在X轴上的椭圆,
则k的取值范围为.
引申:
在平面直角坐标系中,已知ΔABC中B(-3,0),C(3,0),且三边|AC|,|BC|,|AB|长依次成等差数列,求顶点A的轨迹方程。
(四)小结
1.定义:
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.
2.焦点:
F1(-c,0),F2(c,0).F1(0,-c),F2(0,c).
3.讨论了求椭圆标准方程的方法:
注意:
求出曲线的方程之后,要验证方程的曲线上的点是否都符合题意,如有不符合题意的点应在所得方程后注明限制条件。
4.求满足条件的点的轨迹方程时:
(1)若不清楚轨迹类型:
用坐标法;
(2)若清楚轨迹类型,则建立适当的坐标系,设出其方程,再确定方程中的参数即可。
五、布置作业
1、方程表示__________________________.
2、方程表示_________________________.
3、P96习题8.11、3、4、5.
4、《轻巧夺冠》第64页能力测试
2019-2020年高二数学第八章圆锥曲线方程:
8.2椭圆的简单几何性质
(一)优秀教案
一、教学目标
(一)知识教学点
通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用.
(二)能力训练点
通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力.
(三)学科渗透点
使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等.
二、教材分析
1.重点:
椭圆的几何性质及初步运用.
(解决办法:
引导学生利用方程研究曲线的性质,最后进行归纳小结.)
2.难点:
椭圆离心率的概念的理解.
(解决办法:
先介绍椭圆离心率的定义,再分析离心率的大小对椭圆形状的影响,)
3.疑点:
椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
(解决办法:
利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.)
三、活动设计
提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结.
四、教学过程
(一)复习提问
1.椭圆的定义是什么?
2.椭圆的标准方程是什么?
3.椭圆中a,b,c的关系是?
学生口述,教师板书.
(二)几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是b>0)来研究椭圆的几何性质.说明:
椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
1.范围
即|x|≤a,|y|≤b,这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18).注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范围以外的点.
2.对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质2.
设问:
为什么“把x换成-x,或把y换成-y?
,或把x、y同时换成-x、-y时,方程都不变,所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢?
事实上,在曲线的方程里,如果把x换成-x而方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时,点P关于y轴的对称点Q(-x,y)也在曲线上,所以曲线关于y轴对称.类似可以证明其他两个命题.
同时向学生指出:
如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种,那么它一定具有另一种对称.如:
如果曲线关于x轴和原点对称,那么它一定关于y轴对称.
事实上,设P(x,y)在曲线上,因为曲线关于x轴对称,所以点P1(x,-y)必在曲线上.又因为曲线关于原点对称,所以P1关于原点对称点P2(-x,y)必在曲线上.因P(x,y)、P2(-x,y)都在曲线上,所以曲线关于y轴对称.
最后指出:
x轴、y轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.
3.顶点
只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)
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- 高二数学 第八章 圆锥曲线方程 81椭圆及其标准方程优秀教案 数学 第八 圆锥曲线 方程 81 椭圆 及其 标准 优秀 教案