第四章叠加定理戴维宁定理和诺顿定理.docx

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第四章叠加定理戴维宁定理和诺顿定理

第四章电路定理

一、教学基本要求

1、了解叠加定理的概念，适用条件，熟练应用叠加定理分析电路。

2、掌握戴维宁定理和诺顿定理的概念和应用条件，并能应用定理分析求解具体电路。

二、教学重点与难点

1.教学重点：

叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理。

2．教学难点：

各电路定理应用的条件、电路定理应用中受控源的处理。

三、本章与其它章节的联系：

　　电路定理是电路理论的重要组成部分，本章介绍的叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理适用于所有线性电路问题的分析，对于进一步学习后续课程起着重要作用，为求解电路提供了另一类分析方法。

四、学时安排总学时：

6

教学内容

学时

1．叠加定理和替代定理

2

2．戴维宁定理、诺顿定理和最大功率传输定理

2

3．特勒根定理、互易定理和习题

2

五、教学内容

§4.1叠加定理

1.叠加定理的内容

　　叠加定理表述为：

在线性电路中，任一支路的电流（或电压）都可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流（或电压）的代数和。

2.定理的证明

图4.1

　图4.1所示电路应用结点法：

　解得结点电位：

　支路电流为：

　　以上各式表明：

结点电压和各支路电流均为各独立电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加，即表示为：

　　式中a1,a2,a3，b1,b2,b3和c1,c2,c3是与电路结构和电路参数有关的系数。

3.应用叠加定理要注意的问题

　　1） 叠加定理只适用于线性电路。

这是因为线性电路中的电压和电流都与激励（独立源）呈一次函数关系。

　　2） 当一个独立电源单独作用时，其余独立电源都等于零（理想电压源短路，理想电流源开路）。

如图4.2所示。

=

三个电源共同作用is1单独作用

+

+

us2单独作用us3单独作用

图4.2

3） 功率不能用叠加定理计算（因为功率为电压和电流的乘积，不是独立电源的一次函数）。

　　4） 应用叠加定理求电压和电流是代数量的叠加，要特别注意各代数量的符号。

即注意在各电源单独作用时计算的电压、电流参考方向是否一致，一致时相加，反之相减。

　　5） 含受控源（线性）的电路，在使用叠加定理时，受控源不要单独作用，而应把受控源作为一般元件始终保留在电路中，这是因为受控电压源的电压和受控电流源的电流受电路的结构和各元件的参数所约束。

　　6） 叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于分析问题的方便。

4.叠加定理的应用

例4－1求图示电路的电压U.

例4－1图

　解：

应用叠加定理求解。

首先画出分电路图如下图所示

当12V电压源作用时，应用分压原理有：

　　当3A电流源作用时，应用分流公式得：

　　　　　　　则所求电压：

例4－2计算图示电路的电压u。

例4－2图

解：

应用叠加定理求解。

首先画出分电路图如下图所示

　　当3A电流源作用时：

　　　　其余电源作用时：

　　　　　则所求电压：

　　本例说明：

叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。

例4－3计算图示电路的电压u电流i。

例4－3图

解：

应用叠加定理求解。

首先画出分电路图如下图所示

　　当10V电源作用时：

　　　解得：

　　　当5A电源作用时，由左边回路的KVL：

　　　解得：

　　　所以：

　　注意：

受控源始终保留在分电路中。

例4－4　封装好的电路如图，已知下列实验数据：

当

时，响应

，当

时，响应

，

　　求：

时，i=？

例4－4图

　　解：

根据叠加定理，有：

　　　　代入实验数据，得：

　　　　　解得：

　　　　　因此：

　　本例给出了研究激励和响应关系的实验方法

5.齐性原理

　　由以上叠加定理可以得到齐性原理。

　　齐性原理表述为：

线性电路中，所有激励（独立源）都增大（或减小）同样的倍数，则电路中响应（电压或电流）也增大（或减小）同样的倍数。

当激励只有一个时，则响应与激励成正比。

例4－5　求图示电路的电流i，已知：

RL=2ΩR1=1ΩR2=1ΩuS=51V

例4－5图

　　解：

采用倒推法：

设i'=1A。

则各支路电流如下图所示，

　　此时电源电压为：

，

　　根据齐性原理：

当电源电压为：

时，满足关系：

§4.2替代定理

1.替代定理的内容

　　替代定理表述为：

对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源，或用R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值（解答唯一）。

以上表述可以用图4.3来表示。

图4.3替代定理

2.定理的证明

　　这里对定理给出其中一种替代的证明。

　　设图4.4所示电路中支路k的电压为uk，电流为ik，在支路k串入极性相反，电压值为uk的两个电压源如图4.5所示，则根据等效的思想，图4.5对外可以等效为图4.6所示的电路，即电压为uk的支路可以用电压为uk的理想电压源替代。

　　替代定理的正确性可作如下解释：

　　替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。

k支路用理想电压源uk替代后，其余支路电压保持不变（KVL），因此其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变（KCL）。

同理k支路用理想电流源ik替代后，其余支路电流不变（KCL），因此其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变（KVL）。

图4.4图4.5图4.6

3.应用替代定理要注意的问题

　　1）从理论上讲，替代定理适用于线性电路，也适用于非线性电路。

　　2）替代后电路必须有唯一解，即替代后不能形成电压源回路和电流源节点。

　　3）替代后其余支路及参数不能改变。

4.替代定理的应用

例4－6若要使图示电路中的电流

，试求电阻Rx。

例4－6图

解：

因为

，为避免求解复杂的方程，应用替代定理，把10V电压源和3Ω电阻串联支路用电流为I的电流源替代，电路如图（b）所示。

然后应用叠加定理，分电路图如图（c）、（d）所示。

例4－6图（b）例4－6图（c）

例4－6图（d）

　　由图得：

因此

例4－7　求图示电路中的电流I1

例4－7图（a）

解：

　　应用替代定理，图（a）简化为图（b）所示的电路，然后应用叠加定理得：

例4－7图（b）

§4.3　　戴维宁定理和诺顿定理

1.戴维宁定理的内容

　　戴维宁定理表述为：

任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效替代；此电压源的电压等于外电路断开时一端口网络端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。

以上表述可以用图4.7来表示。

图4.7戴维宁定理

2.定理的证明

　　这里给出戴维宁定理的一般证明。

图4.8（a）为线性有源一端口网络A与负载网络N相连，设负载上电流为i，电压为u。

根据替代定理将负载用理想电流源i替代，如图4.8（b）所示。

图4.8

　　替代后不影响A中各处的电压和电流。

由叠加定理u可以分为两部分，如图4.9所示，即：

其中

是A内所有独立源共同作用时在端口产生的开路电压，

是仅由电流源i作用在端口产生的电压，即：

，

图4.9

因此

上式表示的电路模型如图4.10所示。

这就证明了戴维宁定理是正确的。

图4.10

3.应用戴维宁定理要注意的问题

　　1）含源一端口网络所接的外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变。

　　2）当含源一端口网络内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。

　　3）开路电压uoc的计算

　　戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。

计算uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。

　　4）等效电阻的计算

　　等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零（电压源短路，电流源开路）后，所得无源一端口网络的输入电阻。

常用下列三种方法计算：

5）当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y互换的方法计算等效电阻；

　　6）外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）。

如图4.11所示。

图4.11用外加电源法求戴维宁等效电阻

则

7）开路电压，短路电流法。

即求得网络A端口间的开路电压后，将端口短路求得短路电流，如图4.12所示。

　　则：

　　以上方法中后两种方法更具有一般性。

4.戴维宁定理的应用

例4－10　计算图示电路中Rx分别为1.2Ω、5.2Ω时的电流I；

例4－10图（a）

　解：

断开Rx支路，如图（b）所示，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：

例4－10图（b）例4－10图（c）

　1）求开路电压Uoc

　2）求等效电阻Req。

把电压源短路，电路为纯电阻电路，应用电阻串、并联公式，得：

　3）画出等效电路，接上待求支路如图（d）所示，

例4－10图（d）

当Rx=1.2Ω时，

当Rx=5.2Ω时，

例4－11　计算图示电路中的电压U0；

例4－11图（a）

解：

应用戴维宁定理。

断开3Ω电阻支路，如图（b）所示，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：

1）求开路电压Uoc　　

2）求等效电阻Req

方法1：

外加电压源如图（c）所示，求端口电压U和电流I0的比值。

注意此时电路中的独立电源要置零。

　　因为：

　　所以

方法2：

求开路电压和短路电流的比值。

　　把电路断口短路如图（d）所示。

注意此时电路中的独立电源要保留。

　　对图（d）电路右边的网孔应用KVL，有：

　　　所以I=0，

　　　　则

3）画出等效电路，如图（e）所示，解得：

例4－11图（b）例4－11图（c）

例4－11图（d）例4－11图（e）

注意：

计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。

例4－12　求图示电路中负载RL消耗的功率。

例4－12图（a）

　　解：

应用戴维宁定理。

断开电阻RL所在支路，如图（b）所示，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路。

首先应用电源等效变换将图（b）变为图（c）。

例4－12图（b）例4－12图（c）

1）求开路电压Uoc

　　　　　由KVL得：

　　　　　解得：

，

2）求等效电阻Req，用开路电压、短路电流法。

　　端口短路，电路如图（d）所示，短路电流为：

因此：

例4－12图（d）

3） 画出戴维宁等效电路，接上待求支路如图（e）所示，则：

例4－12图（e）

例4－13　电路如图所示，已知开关S扳向1，电流表读数为2A；开关S扳向2，电压表读数为4V；求开关S扳向3后，电压U等于多少？

例4－13图（a）

　解：

根据戴维宁定理，由已知条件得

　　　　　所以

　　　　　等效电路如图（b）所示，

例4－13图（b）

　　　　　则：

5.诺顿定理的内容

　　诺顿定理表述为：

任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导（电阻）的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导（电阻）等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导（电阻）。

以上表述可以用图4.13来表示。

图4.13诺顿定理

诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。

诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。

　　需要注意的是：

（1）当含源一端口网络A的等效电阻

时，该网络只有戴维宁等效电路，而无诺顿等效电路。

（2）当含源一端口网络A的等效电阻

时，该网络只有诺顿等效电路而无戴维宁等效电路。

6.诺顿定理的应用

例4－14　应用诺顿定理求图示电路中的电流I。

例4－14图（a）

解：

（1）求短路电流ISC，把ab端短路，电路如图（b）所示，解得：

　所以：

例4－14图（b）

（2）求等效电阻Req，把独立电源置零，电路如图（c）所示。

　　　解得：

　（3） 画出诺顿等效电路，接上待求支路如图（d）所示，应用分流公式得：

　　　注意：

诺顿等效电路中电流源的方向。

例4－14图（c）例4－14图（d）

例4－15　求图示电路中的电压U。

例4－15图（a）

　　解：

本题用诺顿定理求比较方便。

因a、b处的短路电流比开路电压容易求。

例4－15图（b）例4－15图（c）

（1）　求短路电流ISC，把ab端短路，电路如图（b）所示，解得：

（2） 求等效电阻Req，把独立电源置零，电路如图（c）所示，为简单并联电路。

（3）画出诺顿等效电路，

　接上待求支路如图（d）所示，得：

 例4－15图（d）

§4.4最大功率传输定理

1．最大功率传输定理

　　一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题就是最大功率传输定理所要表述的。

　　将含源一端口电路等效成戴维宁电源模型，如图4.14所示。

图4.14等效电压源接负载电路

　　　由图可知电源传给负载RL的功率为：

功率P随负载RL变化的曲线如图4.15所示，存在一极大值点。

为了找这一极大值点，对P求导，且令导数为零，即：

　　解上式得：

图4.15

结论：

有源线性一端口电路传输给负载的最大功率条件是：

负载电阻RL等于一端口电路的等效内阻。

称这一条件为最大功率匹配条件。

将这一条件代入功率表达式中，得负载获取的最大功率为：

　　需要注意的是：

　　1）最大功率传输定理用于一端口电路给定，负载电阻可调的情况：

　　2）一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率，因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%；

　　3）计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便。

2．最大功率传输定理的应用

例4－16　图示电路中负载电阻RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。

例4－16图（a）

　　解：

应用戴维宁定理。

断开电阻RL所在支路，如图（b）所示，将一端口网络化为戴维宁等效电路。

例4－16图（b）例4－16图（c）

1） 求开路电压Uoc

　　　因为：

　　　解得：

2） 求等效电阻Req，用外加电源法。

　　电路如图（c）所示。

　　因为：

　　所以：

3） 由最大功率传输定理得：

时，其上获取最大功率，

　　　　　且

§4.5特勒根定理

1.特勒根定理1

　　特勒根定理1表述为：

任何时刻，对于一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足：

2.特勒根定理1的证明

对图4.16所示电路的图应用KCL，得结点①，②，③的电流方程为：

　　　　而

图4.16

把上式中的支路电压用结点电压表示有：

或写为：

式中括号内的电流之和分别为结点①，②，③的电流方程，因此得：

3．特勒根定理2

　　特勒根定理2表述为：

任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足：

4.特勒根定理2的证明

图4.17（a）图4.17（b）

设两个电路的图如图4.17所示，对图（b）应用KCL得三个结点方程为：

而

　　把上式中的支路电压用图（a）的结点电压表示有：

　或写为：

　式中括号内的电流之和分别为图（b）中结点①，②，③的电流方程，因此得：

　同理可证：

5．应用特勒根定理要注意的问题

　　1）定理的正确性与元件的特征全然无关，因此特勒根定理对任何线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用。

定理实质上是功率守恒的数学表达。

　　2）电路中的支路电压必须满足KVL，支路电流必须满足KCL，支路电压和支路电流必须满足关联参考方向（否则公式中加负号）。

6．特勒根定理的应用

例4－17　图示电路中已知：

（1）R1=R2=2Ω,Us=8V时,I1=2A,U2=2V，

（2）R1=1.4Ω,R2=0.8Ω,Us=9V时,I1=3A,

　　　求此时的U2。

例4－17

解：

把

（1）、

（2）两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理有：

　　由

（1）得：

　　　　　U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A

　　由

（2）得：

　　　代入公式中得：

　　　解得：

　　注意：

端口电压和电流取关联参考方向。

式中由于U1和I1为非关联方向所以取负号。

§4.6互易定理

1.互易定理

　　互易定理表述为：

对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。

　　互易定理有三种情况：

　　1）情况1　　对图4.18所示电路取激励为电压源，响应为短路电流，则满足：

　　　当

时，有:

图4.18

　　2）情况2　　对图4.19所示电路取激励为电流源，响应为开路电压，则满足：

　　　当

时，有:

图4.19

　　3）情况3　　对图4.20所示电路取图（a）激励为电流源，响应为短路电流，取图（b）激励为电压源，响应为开路电压，则满足：

　　当在数值上满足

时，有:

图4.20

2.互易定理的证明

　　以情况1为例证明互易定理。

　　应用特勒根定理2：

和

　　考虑到图示电路方框内仅为线性电阻，故

k=3，4,……b。

　因此有：

　　　和

　　故有：

　　对图4.18（a）

，

　　对图（b）

，

，

　　代入上式得：

　　同理可以证明情况2和情况3。

3．应用互易定理要注意的问题

　　1）互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；

　　2）互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都关联，要么都非关联）；

　　3）互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，两个支路电压电流关系。

　　4）含有受控源的网络，互易定理一般不成立。

4．互易定理的应用

例4－19　求图示电路中的电流I。

例4－19图（a）

解：

应用互易定理，把激励和响应互换得电路图如图（b）所示。

例4－19图（b）

　　　　因此：

　　　　应用分流公式得：

　　　　　所以：