轴对称与一次函数及详解.docx
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轴对称与一次函数及详解
轴对称与一次函数
课前复习
1.如图,直线
与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为( )
A.(﹣3,0) B.(﹣6,0) C.(
,0) D.(
,0)
【答案】C.
【解析】
令
中x=0,则y=4,∴点B的坐标为(0,4);
令
中y=0,则
,解得:
x=﹣6,∴点A的坐标为(﹣6,0).
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,∴点C(﹣3,2),点D(0,2).
∵点D′和点D关于x轴对称,∴点D′的坐标为(0,﹣2).
设直线CD′的解析式为y=kx+b,∵直线CD′过点C(﹣3,2),D′(0,﹣2),∴
,解得:
,∴直线CD′的解析式为
.
令
中y=0,则0=
,解得:
x=
,∴点P的坐标为(
,0).
故选C.
(方法二)连接CD,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.
令
中x=0,则y=4,∴点B的坐标为(0,4);学科#网
令
中y=0,则
,解得:
x=﹣6,∴点A的坐标为(﹣6,0).
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,∴点C(﹣3,2),点D(0,2),CD∥x轴,∵点D′和点D关于x轴对称,∴点D′的坐标为(0,﹣2),点O为线段DD′的中点.
又∵OP∥CD,∴点P为线段CD′的中点,∴点P的坐标为(
,0).
故选C.
考点:
1.一次函数图象上点的坐标特征;2.轴对称﹣最短路线问题.
2.如图①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图中有几个等腰三角形?
猜想:
EF与BE、CF之间有怎样的数量关系,并说明理由.
(2)如图②,若AB≠AC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗?
如果有,分别指出它们.在第
(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③,若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?
EF与BE、CF关系又如何?
说明你的理由.
(4)若△ABC中∠C的平分线CO与三角形外角平分线BO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.这时EF与BE、CF关系又如何?
(直接写出来,不需说明理由)
【考点】等腰三角形的判定与性质.
【分析】
(1)由AB=AC,可得∠ABC=∠ACB;又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB;故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB;根据EF∥BC,可得:
∠OEB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠FCO=∠BCO;由此可得出的等腰三角形有:
△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;已知了△EOB和△FOC是等腰三角形,则EO=BE,OF=FC,则EF=BE+FC.
(2)由
(1)的证明过程可知:
在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中,与AB=AC的条件没有关系,故这两个等腰三角形还成立.所以
(1)中得出的EF=BE+FC的结论仍成立.
(3)思路与
(2)相同,只不过结果变成了EF=BE﹣FC;
(4)利用∠C的平分线CO与三角形外角平分线BO交于O得出∠4=∠5,∠3=∠2,进而得出EO=BE,FO=FC,求出答案即可.
【解答】解:
(1)图中是等腰三角形的有:
△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC.理由如下:
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB;
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠OCB=∠FCO;
即EO=EB,FO=FC;
∴EF=EO+OF=BE+CF;
(2)当AB≠AC时,△EOB、△FOC仍为等腰三角形,
(1)的结论仍然成立.
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB;
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠OCB=∠FCO;
即EO=EB,FO=FC;
∴EF=EO+OF=BE+CF;
(3)△EOB和△FOC仍是等腰三角形,EF=BE﹣FC.理由如下:
同
(1)可证得△EOB是等腰三角形;
∵EO∥BC,
∴∠FOC=∠OCG;
∵OC平分∠ACG,
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG,
∴FO=FC,故△FOC是等腰三角形;
∴EF=EO﹣FO=BE﹣FC;
(4)如图④所示:
∵△ABC中∠C的平分线CO与三角形外角平分线BO交于O,
∴∠4=∠5,∠3=∠2,
∵OE∥BC,
∴∠1=∠3,∠FOB=∠5,
∴∠1=∠2,∠FOB=∠4,
∴EO=BE,FO=FC,
∴FO=EO+EF=BE+EF=FC,
即EF与BE、CF关系为:
EF=FC﹣BE.
●例题解析
学习目标:
掌握一次函数与轴对称的运用
目标分解:
掌握三角形全等的判和性质
掌握轴对称的性质
教学过程:
1.如图,已知:
∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=6,AC=3,则BE= .
【考点】线段垂直平分线的性质;角平分线的性质.
【分析】首先连接CD,BD,由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质,易得CD=BD,DF=DE,继而可得AF=AE,易证得Rt△CDF≌Rt△BDE,则可得BE=CF,继而求得答案.
【解答】解:
连接CD,BD,
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DF=DE,∠F=∠DEB=90°,∠ADF=∠ADE,
∴AE=AF,
∵DG是BC的垂直平分线,
∴CD=BD,
在Rt△CDF和Rt△BDE中,
,
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL),
∴BE=CF,
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,
∵AB=6,AC=3,
∴BE=1.5.
故答案为:
1.5.
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
2.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,b)(b>0),点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点,过点P作PC⊥x轴于点C,记点P关于y轴的对称点为Q,设点P的横坐标为a.
(1)当b=3时,
①求直线AB的解析式;
②若QO=QA,求P点的坐标.
(2)是否同时存在a、b,使得△QAC是等腰直角三角形?
若存在,求出所有满足条件的a、b的值;若不存在,请说明理由.
【考点】一次函数综合题.
【专题】综合题;一次函数及其应用.
【分析】
(1)①由题意确定出B坐标,设直线AB解析式为y=kx+b,把A与B坐标代入求出k与b的值,即可求出AB解析式;②由AQ=QO以及OA的长,确定出Q横坐标,根据P与Q关于y轴对称,得出P横坐标,代入直线AB解析式求出纵坐标,即可确定出P坐标;
(2)同时存在a、b,使得△QAC是等腰直角三角形,分两种情况考虑:
①若∠QAC=90°;②若∠AQC=90°,分别求出a与b的值即可.
【解答】解:
(1)①由A(4,0),B(0,3),
设直线AB解析式为y=kx+b,
把A与B坐标代入得:
,
解得:
k=﹣
,b=3,
则直线AB解析式为y=﹣
x+3;
②∵QA=QO,OA=4,
∴xQ=2,
∵点P关于y轴的对称点为Q,
∴xP=﹣2,
代入直线AP解析式得﹣
×(﹣2)+3=
,
则P坐标得P(﹣2,
);
(2)①若∠QAC=90°,如图1所示,
∴xQ=4,
∴a=xP=﹣4,
∴AC=AQ=8,即P(﹣4,8),
∴直线AP解析式为y=﹣x+4,
∴a=﹣4,b=4;
②若∠AQC=90°,如图2所示,
则AC=4﹣a=2CH=﹣4a,
∴a=﹣
,
∴xP=﹣
,yP=yq=
,即P(﹣
,
),
∴直线AP解析式为y=﹣
x+2,
∴a=﹣
,b=2,
综上所示,a=﹣4,b=4或a=﹣
,b=2.
【点评】此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:
待定系数法确定一次函数解析式,等腰直角三角形的性质,坐标与图形性质,熟练掌
巩固练习
1.在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AC=6,点D、E在AB边上,AD=CD,点E关于AC、CD的对称点分别为F、G,则线段FG的最小值等于( )
A.2B.3C.4D.5
【考点】轴对称的性质;含30度角的直角三角形.
【分析】根据轴对称的性质得出CE=CF,∠CEF=∠CFE,CE=CG,EH=GH,∠CEF=∠CGH,进而得出CE=CG=CF,∠CGH=∠CFE,然后证得△BCD是等边三角形,从而证得∠FHG=60°,进一步证得∠FCG=∠FHG=60°,证得△CFG是等边三角形,得出FG=CF=CE,因为CE的最小值为3,所以FG的最小值为3.
【解答】】解:
∵点E和F关于AC对称,
∴AC垂直平分EF,
∴CE=CF,∠CEF=∠CFE,
∵点E和G关于CD对称,
∴CD垂直平分FG,
∴CE=CG,EH=GH,∠CEF=∠CGH,
∴CE=CG=CF,∠CGH=∠CFE,
∵∠ACB=90°,∠B=60°,
∴∠A=30°,
∵AD=CD,
∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠BCD=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∵EF∥BC,
∴∠DEH=∠B=60°,∠EHD=∠BCD=60°,
∴∠DHG=∠EHD=60°,
∴∠FHG=60°
∵∠CGH=∠CFE,∠CKF=∠HKG,
∴∠FCG=∠FHG=60°,
∵CF=CG,
∴△CFG是等边三角形,
∴FG=CF=CE,
∵当CE⊥AB时,CE最短,此时CE=
AC=3,
∴FG的最小值为3,
故选B.
【点评】本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质,证得△CFG是等边三角形是解题的关键.
2.如图,点A和点B相距60cm且关于直线L对称,一只电动青蛙在与直线相距20cm,与点A相距50cm的点P1处以A为对称中心跳至P2处,然后从P2处以L为对称轴跳至P3处,再从P3处以B为对称中心跳至P4处,再从P4处以L为对称轴跳至P5处,又从P5处以A为对称中心跳至P6处…,以此类推,循环往复,P2016距离与直线L的距离是( )
A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm
【考点】轴对称的性质.
【分析】根据轴对称的性质可得点A、B到直线l的距离为30cm,再根据梯形的中位线等于两底边和的一半求出点P2、P3的距离,再根据规律判断出每4个点为一个循环组循环,然后用2016除以4,余数是几则与第几个点到直线l的距离相等.
【解答】解:
∵点A和点B相距60cm,
∴点A、B到直线l的距离为30cm,
∵点P1到直线l的距离为20cm,
∴点P2、P3到直线l得到距离为30×2﹣20=40cm,
由图可知,每4个点为一个循环组,∵2016÷4=504,
∴P2016与第4个点P4到直线L的距离相等为20cm.
故选A.
【点评】本题考查了轴对称的性质,根据轴对称图形的性质求出前三个点到直线l的距离,然后判断出每4个点为一个循环组循环是解题的关键.
●效果检测
1.一个正整数N,如果把它的各位数字颠倒过来所得的数仍是N,则N称为回文数,如11,131,313等、从对称的角度看,回文数亦可以看做是轴对称的数、年份数2002也是一个回文数,从2000至2999年这1000年年份中,回文数一共有 个.
【考点】轴对称的性质.
【专题】新定义.
【分析】从2000至2999年这1000年年份中,找出回文数,在计算个数即可.
【解答】解:
根据题意,回文数有2002,2112,2222,2332,2442,2552,2662,2772,2882,2992,共10个.
【点评】本题借助回文数,考查轴对称性质的运用.
2.如图,∠BAC=100°,点M在边BC上,△A′BC和△ABC对称于BC,△A′B′C和△A′BC对称于A′C,△A′B′C′和△A′B′C对称于A′B′,这时点M陆续变成M′和M″,那么∠MA′M″= .
【考点】轴对称的性质;三角形内角和定理.
【专题】计算题.
【分析】根据对称的性质可得,∠BAC=∠BA′C=∠B′A′C=∠100°,则可得出∠BA′B=160°,同理可得,∠BA′M=∠B′A′M′=∠B′A′M″,所以,∠BA′M″+∠B′A′M″=∠BA′M″+∠BA′M=160°,即可得出;
【解答】解:
∵△A′BC和△ABC对称于BC,△A′B′C和△A′BC对称于A′C,△A′B′C′和△A′B′C对称于A′B′,∠BAC=100°,
∴∠BAC=∠BA′C=∠B′A′C=∠B′A′C′=∠100°,
∴∠BA′B=360°﹣200°=160°,
∵点M在边BC上,点M陆续变成M′和M″,
同理得,∠BA′M=∠B′A′M′=∠B′A′M″,
∴∠BA′M″+∠B′A′M″=∠BA′M″+∠BA′M=160°,
即∠MA′M″=160°;
故答案为:
160°.
【点评】本题主要考查了轴对称的性质和周角的性质,主要应用了轴对称图形的对应角相等.
3.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和40,则△EDF的面积为 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】过点D作DH⊥AC于H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH,然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等,根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH,设面积为S,然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可.
【解答】解:
如图,过点D作DH⊥AC于H,
∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,
∴DF=DH,
在Rt△DEF和Rt△DGH中,
,
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL),
∴S△EDF=S△GDH,设面积为S,
同理Rt△ADF≌Rt△ADH,
∴S△ADF=S△ADH,
即40+S=50﹣S,
解得S=5.
故答案为:
5.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键.
4.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB=2,点D为AC的中点,点E,F分别是线段AB,CB上的动点,且∠EDF=90°,若ED的长为m,则△BEF的周长是(用含m的代数式表示)
【答案】(
m+2).
【解析】
试题分析:
如图,连接BD,在等腰Rt△ABC中,点D是AC的中点,∴BD⊥AC,∴BD=AD=CD,∠DBC=∠A=45°,∠ADB=90°,∵∠EDF=90°,∴∠ADE=∠BDF,在△ADE和△BDF中,∵∠A=∠DBF,AD=BD,∠ADE=∠BDF,∴△ADE≌△BDF(ASA),∴AE=BF,DE=DF,在Rt△DEF中,DF=DE=m,∴EF=
DE=
m,∴△BEF的周长为BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+
m,故答案为:
(
m+2).
考点:
1.全等三角形的判定与性质;2.等腰直角三角形;3.动点型.
5.在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.
(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.
【答案】
(1)∠AMQ=45°+α;
(2)PQ=
MB.
【解析】
试题解析:
(1)∠AMQ=45°+α;理由如下:
∵∠PAC=α,△ACB是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠B=45°,∠PAB=45°﹣α,∵QH⊥AP,∴∠AHM=90°,∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α;
(2)PQ=
MB;理由如下:
连接AQ,作ME⊥QB,如图所示:
∵AC⊥QP,CQ=CP,∴∠QAC=∠PAC=α,∴∠QAM=45°+α=∠AMQ,∴AP=AQ=QM,在△APC和△QME中,∵∠MQE=∠PAC,∠ACP=∠QEM,AP=QM,∴△APC≌△QME(AAS),∴PC=ME,∴△AEB是等腰直角三角形,∴
PQ=
MB,∴PQ=
MB.
考点:
1.全等三角形的判定与性质;2.等腰直角三角形;3.探究型;4.动点型.
课后练习
1.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP= .
【考点】角平分线的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质.
【专题】几何图形问题;压轴题.
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数,再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定,得出∠CAP=∠FAP,即可得出答案.
【解答】解:
延长BA,作PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,
设∠PCD=x°,
∵CP平分∠ACD,
∴∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN,
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠PBC,PF=PN,
∴PF=PM,
∵∠BPC=40°,
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=(x﹣40)°,
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣(x°﹣40°)﹣(x°﹣40°)=80°,
∴∠CAF=100°,
在Rt△PFA和Rt△PMA中,
∵
,
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL),
∴∠FAP=∠PAC=50°.
故答案为:
50°.
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识,根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键.
2.模型建立:
如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E.
求证:
△BEC≌△CDA.
模型应用:
(1)已知直线l1:
y=
x+4与y轴交与A点,将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2,如图2,求l2的函数解析式.
(2)如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A、C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,设PC=m,已知点D在第一象限,且是直线y=2x﹣6上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△,请直接写出点D的坐标.
【考点】一次函数综合题;全等三角形的应用;等腰直角三角形;矩形的性质.
【专题】压轴题.
【分析】
(1)先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB=CA,再由AAS定理可知△ACD≌△CBE;
(2)过点B作BC⊥AB于点B,交l2于点C,过C作CD⊥x轴于D,根据∠BAC=45°可知△ABC为等腰Rt△,由
(1)可知△CBD≌△BAO,由全等三角形的性质得出C点坐标,利用待定系数法求出直线l2的函数解析式即可;
(3)当点D为直角顶点,分点D在矩形AOCB的内部与外部两种情况;点P为直角顶点,显然此时点D位于矩形AOCB的外部,由此可得出结论.
【解答】
(1)证明:
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴CB=CA,
又∵AD⊥CD,BE⊥EC,
∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠BCE=180°﹣90°=90°,
又∵∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠ACD=∠EBC,
在△ACD与△CBE中,
,
∴△ACD≌△EBC(AAS);
(2)解:
过点B作BC⊥AB于点B,交l2于点C,过C作CD⊥x轴于D,如图1,
∵∠BAC=45°,
∴△ABC为等腰Rt△,
由
(1)可知:
△CBD≌△BAO,
∴BD=AO,CD=OB,
∵直线l1:
y=
x+4,
∴A(0,4),B(﹣3,0),
∴BD=AO=4.CD=OB=3,
∴OD=4+3=7,
∴C(﹣7,3),
设l2的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴
,
∴
,
∴l2的解析式:
y=
x+4;
(3)当点D位于直线y=2x﹣6上时,分两种情况:
①点D为直角顶点,分两种情况:
当点D在矩形AOCB的内部时,过D作x轴的平行线EF,交直线OA于E,交直线BC于F,设D(x,2x﹣6);
则OE=2x﹣6,AE=6﹣(2x﹣6)=12﹣2x,DF=EF﹣DE=8﹣x;
则△ADE≌△DPF,得DF=AE,即:
12﹣2x=8﹣x,x=4;
∴D(4,2);
当点D在矩形AOCB的外部时,设D(x,2x﹣6);
则OE=2x﹣6,AE=OE﹣OA=2x﹣6﹣6=2x﹣12,DF=EF﹣DE=8﹣x;
同1可知:
△ADE≌△DPF,
∴AE=DF,即:
2x﹣12=8﹣x,x=
;
∴D(
,
);
②点P为直角顶点,显然此时点D位于矩形AOCB的外部;
设点D(x,2x﹣6),则CF=2x﹣6,BF=2x﹣6﹣6=2x﹣12;
同
(1)可得,△APB≌△PDF,
∴AB=PF=8,PB=DF=x﹣8;
∴BF=PF﹣PB=8﹣(x﹣8)=16﹣x;
联立两个表示BF的式子可得:
2x﹣12=16﹣x,即x=
;
∴D(
,
);
综合上面六种情况可得:
存在符合条件的等腰直角三角形;
且D点的坐标为:
(4,2),(
,
),(
,
).
【点评】本题考查的是一次函数综合题,涉及到点的坐标、矩形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用,需要考虑的情况较多,难度较大.
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- 轴对称 一次 函数 详解