高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第三章2第1课时两角差的余弦函数两角和.docx
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高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第三章2第1课时两角差的余弦函数两角和
第1课时 两角差的余弦函数
两角和与差的正弦、余弦函数
[核心必知]
两角和与差的余弦、正弦公式
公式
简记
cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β
(Cα+β)
cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β
(Cα-β)
sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β
(Sα+β)
sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β
(Sα-β)
[问题思考]
1.cos(α-β)与cosα-cosβ相等吗?
是否有相等的情况?
提示:
一般情况下不相等,但在特殊情况下也有相等的时候.例如:
当取α=0°,β=60°时,cos(0°-60°)=cos0°-cos60°.
2.公式(Cα±β)和(Sα±β)中,对于角α与β的范围有没有规定?
提示:
在公式中,角α与β没有规定,即对任意角α,β,公式都恒成立.
讲一讲
1.求下列各式的值:
(1)sin15°+cos15°;
(2)cosπcosπ-sinπsinπ.
[尝试解答]
(1)法一:
sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
=×-×
=.
cos15°=cos(45°-30°)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°
=×+×
=.
∴sin15°+cos15°=+=.
法二:
sin15°+cos15°
=(sin15°+cos15°)
=(sin15°cos45°+cos15°sin45°)
=sin(15°+45°)=sin60°=.
(2)原式=cos(2π+)cos(2π-)-sin(π-)·sin(π-)
=coscos-sinsin
=cos(+)=cos=.
解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化,充分拆角、凑角转化为和、差角的正弦、余弦公式,同时注意公式的活用、逆用,“大角”要利用诱导公式化为“小角”.
练一练
1.求cos105°+sin195°的值.
解:
cos105°+sin195°
=cos105°+sin(90°+105°)
=cos105°+cos105°=2cos105°
=2cos(60°+45°)
=2(cos60°cos45°-sin60°sin45°)
=2(×-×)=.
讲一讲
2.已知<β<α<π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-.求cos2β的值.
[尝试解答] ∵<β<α<π,
∴0<α-β<,π<α+β<π,
∴sin(α-β)===,
cos(α+β)=-=-=-.
∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=-×+(-)×=-.
解答此类题目要注意以下两点:
(1)拆拼角技巧
先分析已知角与所求角之间的关系,再决定如何利用已知角表示所求角,避免对已知条件用公式,造成不必要的麻烦.常见的拆角、拼角技巧:
α=(α+β)-β;α=β-(β-α);2α=(α+β)+(α-β);β=-;
(2)确定相关角的范围
2β=(α+β)-(α-β);-α=-(+α)等.
若题目中给出了角的取值范围,解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.
练一练
2.已知cos=,求cosα.
解:
由于0<α-<,cos(α-)=,
所以sin(α-)=.
所以cosα=cos
=coscos-sinsin
=×-×=.
讲一讲
3.已知α,β是锐角,且sinα=,cos(α+β)=-.求角β.
[尝试解答] ∵α是锐角,且sinα=,
∴cosα===.
又∵cos(α+β)=-,α,β均为锐角,
∴sin(α+β)==,
∴sinβ=sin(α+β-α)
=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
=×-(-)×=.
∴β=.
1.解决该类问题实质上是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.
2.解给值求角问题的步骤
(1)求解的某一个三角函数;
(2)确定角的范围;
(3)据范围写出角.
练一练
3.已知α,β均为锐角,sinα=,cosβ=,求α-β.
解:
∵α,β均为锐角,sinα=,cosβ=,∴sinβ=,cosα=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
=×-×=-.
又-<α-β<.∴α-β=-.
在△ABC中,sinA=,cosB=,求cosC的值.
[错解] ∵cosB=,∴B为锐角,
∴sinB==.∵sinA=,0 ∴当A为锐角时, cosA==, cosC=cos[π-(A+B)] =-cos(A+B) =sinAsinB-cosAcosB =; 当A为钝角时,cosA=-=-, ① cosC=-cos(A+B) =sinAsinB-cosAcosB =. [错因] 错解在于没有结合题中隐含的角的范围,判断出A为钝角时不成立. 在三角形中,一定要重视角的取值范围和题目中隐含的信息.本题中,已知sinA,cosB,在求出cosA,sinB后,要想到用sin(A+B)或A,B的范围进行验证和选择. [正解] ∵cosB=,0 ∴sinB==.
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