重庆市四区联考学年高二下期理科数学学业质量调研抽测含答案.docx

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重庆市四区联考学年高二下期理科数学学业质量调研抽测含答案

ˆ

2

[机密]2018年7月6日前

2017—2018学年下期高中学业质量调研抽测

高二数学试题（理科）

理科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回。

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.

1．若

z1i（i是虚数单位），则

2

z

z

2

A．

1i

B．

1i

C．

1i

D．

1i

2

．已知随机变量

服从正态分布

N（3,1）

，且

P（

4）0.1587

，则

P（2

4）

A．0.3174

B．0.3413

C．0.6826

D．0.8413

3．函数

f（x）x33x5

在闭区间

[3,0]

上的最大值与最小值的和是

A．

6

B．

6

C．

8

D．

8

4．已知变量

x,y

具有线性相关关系，测得一组样本数据如下：

x

2

4

56

8

y

30

40

605070

若它们的回归直线

yˆ

bxaˆ

的斜率为6.5，则在这些样本点中任取一点，它在回归直线左上方的概率

为

1234

A．

B．C．D．

55555．已知定义在区间[0,1]上的曲线yx与x轴及直线x1围成的封闭图形被直线

面积相等的两部分，则t的值为

xt（0t1）

分成了

C．

D．

A．

3

4322

B．C．

222

D．

1

2

6．甲、乙两人在A与B两个项目中随机选择一个项目，在其中有一人选择A项目的条件下，则另一人也

选择

A

项目的概率为

A．

1213

B．C．D．

3344

7．甲、乙、丙、丁四人分别去买了一张体育彩票，恰有一人中奖．他们的对话如下：

甲说“我没中奖”；乙

说“我也没中奖，丙中奖了”；丙说“我和丁都没中奖”；丁说“乙说的是事实”．已知这四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，由此可判断中奖的是

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

8．

3

位男生和

2

位女生共

5

位同学站成一排，若女生甲不站在两端，

3

位男生中有且只有

2

位男生相邻，

则不同排法的种数是

A．

24

B．

36

C．

48

D．

60

9．已知袋中有

6

个大小相同的球，其中记上

0

号的有

3

个，记上

1

号的有

1

个，记上

2

号的有

2

个．现从袋

中任取一球，随机变量

表示所取球的标号，若

a4

，a

为常数，

的数学期望

E（）

7

3

，则

的方差

D（）

为

A．

295

B．

366

C．

43

18

D．

29

9

10．已知

（1axby）

n

展开式中不含

x

的项的系数和为

64

，不含

y

的项的系数和为

27

，则

a,b,n

的值

可能为

A．

C．

a3,b2,n3a2,b3,n4

B．

D．

a2,b3,n3a3,b2,n4

11．已知函数

f（x）ax32x21

有且只有两个零点，则实数

a

的取值集合为

A．

1,0,1

B．

234646460,0,,0,3999

12

.已知正实数

a,b,c

满足

clnbaclnc

，且

2ac

，

e

b

为自然对数的底数，则的最小值为

a

2

A．

e

2

B．

2e

C．

e

D．

e2

2

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应的位置上．

13．已知

z（a

2

3a2）（1a）i

是纯虚数，其中

aR

，

i

为虚数单位，则

z

的值为_____．

14．若

a

（x）10的展开式中x4的系数为960，则a的值为__________．x

15．为了调查甲、乙两厂生产的某种产品质量是否有差异，现在各厂分别随机抽取了50件该产品，得到如

下的

22

列联表，参照附表,则有

以上的把握认为“甲、乙两厂生产的某种产品质量有差异”．

附表：

优质品

非优质品

合计

甲

厂

乙厂

合计

403070

102030

5050100

k

2

P（kk）0.050.0250.0100.0050

k3.8415.0246.6357.8790

n（adbc）2

（ab）（cd）（ac）（bd）

16．已知集合

A{a,a,...,a}（k2）12k

，其中

aZ（i1,2,...,k）i

，由

A

中的元素构成两个相应的集合：

S{（x,y）|xA,yA,xyA}，T{（x,y）|xA,yA,xyA}，其中（x,y）

是有序数对，

若集合

S

与

T

中的元素个数分别为

m

与

n

，则

m

与

n

的大小关系为__________．

三、解答题：

共70分。

解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。

并答在答题卡相应的位置上．第

17题

答。

第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题

第23题为选考题，考生根据要求作

（一）必考题：

共60分。

17．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）

某学习小组共

8

人，其中男生

3

人，女生

5

人，现从这

8

人中随机选出

5

人利用暑假参加社会实践活动．

（I）求选出的

5

人中恰有

2

名男生的概率；

（II）求选出的

5

人中至少有

3

名女生的概率．

18．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

已知函数

f（x）（x1）e

x1

a

，其中

xR,a

为常数．

ˆ

ˆ

n

n

（Ⅰ）求函数f（x）

的单调区间和极值；

（Ⅱ）若函数

yg（x）

的图象与函数

yf（x）

的图象关于

y

轴对称，求证：

当

x0

时，

f（x）g（x．）

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问3分）

某产品经过技术改造后生产的件数x与相应的生产成本y（万元）的几组对应数据如下：

x（件）

2030

40

50

60

y（万元）

2

2.5

3

4.5

5.5

若y与x之间具有线性相关关系．

（I）根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；

（II）已知该产品在技改前生产

100

件的成本为

9.5

万元，根据（I）中求出的线性回归方程，预测生产

100

件该产品的成本比技改前降低了多少万元？

附：

线性回归方程

yˆbxaˆ

中，b

i1

（x

i

x）（yy）i

（xx）2

i

，

aˆ

ybx

，其中x，y为样本的平

i1

均值.

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

为增进民生福祉，推动经济发展，某区决定新建一批

A,B,C,D

四类重点工程，这四类工程所含项目

的个数分别占总数的

2141

，，，．现有9696

4

名工人独立地从中任选一个项目参与建设．

（Ⅰ）求这

4

人选择的项目所属类别互不相同的概率；

（Ⅱ）记

为这

4

人中所选择的项目属于

A

类或

C

类的人数，求随机变量

的分布列及数学期望

E（

）

．

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

已知函数f（x）mln（x

1）m（

1x）（2

1，）其中1mR．

（Ⅰ）讨论函数

f（x）

的单调性；

（Ⅱ）若对任意的

xx112

，都有

f（x）f（x）2x2x1221

成立，求实数m

的取值范围.

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如多做，则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22．（本小题满分10分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问5分）

已知直线

l

的极坐标方程是

sin（

4

）

2

2

0

．以极点

O

为平面直角坐标系的原点，极轴为

x

轴

的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是

x3cos，

（为参数）．

ysin

（Ⅰ）求直线

l

和曲线

C

的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点

P

是曲线

C

在第一象限内上的点，点

A,B

分别为直线

l

与

x,y

轴的交点，求四边形

OAPB

面积的最大值．

23.（本小题满分10分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问5分）

已知函数

f

x

x1

．

（Ⅰ）解不等式

fxfx48

；

（Ⅱ）若

f（a1）1，f（b1）1

，且a0，求证：

f（ab）bf（）

aa

．

2017—2018学年下期高中学业质量调研抽测高二数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题：

1～5：

CCBBA；6～10：

ABCDB；11～12：

DC．

二、填空题：

13．

1

；

14．

2

；

15．95%；

16．

mn

．

三、解答题：

17．解:

（Ⅰ）从8人中随机选出5人的不同选法有

C5

8

8!

5!

3!

56

种，………………………3分

恰有2名男生的不同选法有

C2C3

35

3

5!

3!

2!

30

种，…………………………6分

所以，选出的5人中恰有2名男生的概率为

P

3015

5628

．…………………………7分

（Ⅱ）至少有3名女生的不同选法有

C3C2+C4C1+C530+15+14653535

种，………………11分

所以，选出的5人中至少有3名女生的概率

P

4623

5628

．…………………………12分

18．解：

（Ⅰ）由已知得

f

/

（x）e

x1

（x1）e

x1

xe

x1

，…………………………2分

∴当

x0

时，

f/（x）xe

x1

0

，当

x0

时，

f/（x）xe

x1

0

，………………4分

∴函数

f（x）

在区间

（,0）

上单调递增，在区间

（0，+）

上单调递减，

函数

f（x）

在

x0

处取得极大值

f（0）

1

e

a

．…………………………6分

（Ⅱ）由题意，可得

g（x）f（x）（1x）e

x1

a

，…………………………8分

令

F（x）f（x）g（x）（x1）e

x1

a[（1x）e

x1

a]（x1）e

x1

（x1）e

x1

，

∴

F

/

（x）e

x1

（x1）e

x1

e

x1

（x1）e

x1

x（e

x1

e

x1

）

，………………………10分

当

x0

时，有

ex1

11，ex1

ee

，

F/（x）x（ex1ex1

）0

，

∴当x0时，F（x）

为增函数．…………………………11分

又

F（0）e

1

e

1

0

，

∴当

x0

时，有

F（x）0

，即

f（x）g（x）

．……………………………12分

19．解：

（Ⅰ）x

2030405060

5

40

，…………………………………………1分

y

22.534.55.5

5

3.5

，……………………………………………………2分

5

5

ˆ

ˆ

i

i

i

1

2

3

4

（xx）i

2

（20）

2

（10）

2

0

2

10

2

20

2

1000，…………………………………4分

i1

（xx）（yy）（20）（1.5）（10）

（1）0（0.5）10120290，……6分ii

i1

90

b0.09

1000

，……………………………………………………………………………7分

aˆ

ybx3.50.09400.1

，……………………………………………8分

故回归直线方程为

yˆ0.09x0.1．……………………………………………9分

（Ⅱ）当x100时，y0.091000.18.9

（万元），……………………………………11分

预测生产100件该产品的成本比技改前降低了

9.58.90.6

（万元）．…………………12分

20．解：

（Ⅰ）记第

i

名工人选择的项目属于

A,B,C,D

类工程分别为事件

A,B,C,D,i1,2,3,4iiii

，

由题意知：

这些事件之间是相互独立的，

且

P（A）

i

2141，P（B）,P（C）,P（D）9696

．…………………………………………2分

所以，这4人选择的项目所属类别互不相同的概率为:

PA4P（ABC）D！

4

41234

21

（P）A（PB）（PC）（PD）24

96

4

9

1

6

16

．…………5分243

（Ⅱ）设第i名工人选择的项目属于A或C类工程为事件

H,i1,2,3,4i

由题意知：

事件H之间是相互独立的，且

i

P（H）P（AC）P（A）P（C）

iiiii

242

993

．

………………………………………6分

随机变量

的可能取值为

0,1,2,3,4

，且

～

2

B（4，），………………………………………7分3

即

P（

k）C

k

4

2

（）

3

k

1

（）

3

4k

k0,1,2,3,4

．…………………………………………8分

故

的分布列为：

01

2

3

4

P

18832168181278181

……………………………………10分

数学期望

E（

）4

28

33

．…………………………………………12分

21．解：

（Ⅰ）由已知，得

f（x）

的定义域为

（1,），f（x）

2（m1）（x1）2x1

m

．

………2分

当m1时，f（x）0，故f（x）在（1,）

上单调递增；

当m0

时，f（x）0，故f（x）

在

（1,）

上单调递减；

………………………4分

m

当0m1时，令f（x）0，解得x1

2（m1）

．

则当x（1,

m

2（m1）

1）

时，

f（x）0

；

m

x（1,）

2（m1）

时，

f（x）0

．

故

f（x）

在（1,

mm

1）上单调递增；在（1,）2（m1）2（m1）

上单调递减．……6分

（Ⅱ）对任意的

xx1，都有f（x）f（x）2x2x121221

成立，

即对任意的

xx112

，都有

f（x）2xf（x）2x2211

．①……………………7分

令

g（x）f（x）2x

，且

x（1,）

，①等价于

g（x）

在

（1,）

上单调递减，

则

g（x）

m

x1

2（m1）（x1）20

．

从而

m

2x22x2x24x3

．

……………………9分

令

h（x）

2x22x2x24x3

，且

x（1,）

，

则

h

（x）

（2x

2

4x3）（4x2）（2x22x）（4x4）4x

（2x24x3）2（2x

2

2

12x64x3）2

，

由

h

（x）0，得x

33

22

，由

h

（x）0，得1

33

x

22

，

h（x）在（1,

3333

）上单调递减，在（，）2222

上单调递增，

当x

33

22

时，

h（x）

取得最小值，

h（x）

的最小值为

33

h（

22

）

33332（）22（）

2222

33332（）24（）3

2222

13

22

．

…………11分

故m

的取值范围为

（,

13

]

22

．

…………………………12分

选作题：

22．解：

（Ⅰ）由

sin（

4

）

22220得，（cossin）0

2222

，…………1分

∴直线

l

的直角坐标方程为

xy10

.……………………………3分

又由

x3cos，

消去参数ysin

，

得曲线

C

的直角坐标方程为

x2

3

y21

．……………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，点

A（1,0）,B（0,1）

，设

P（3cos,sin）,（0

2

）

，………………6分

则点P到直线l的距离

d

3cos

sin

2

1

12sin（）

32

，

由

0

2

，得

1

sin（）123

12

，∴d2sin（）

322

，……………8分

∴四边形OAPB面积的最大值为

SS

AOB

S

APB

1121121

222

．……10分

23.解：

（Ⅰ）

2x2,x3

f（x）f（x4）x1x34,3x1

2x2,x1

，………………………1分

当x3时，由2x28，解得x5

；

当3x1

时，

f（x）8

不成立，不等式无解；

xx5或x3

22

当x1

时，由2x28

，解得x3

；………………………4分

所以不等式

f（x）f（x4）8

的解集为

．………………………5分

（Ⅱ）由a0，要证

f（ab）bf（）

aa

，即证

ab1ab

．………………………6分

因为

f（a1）1

，

f（b1）1

，所以

a1

，

b1

，………………………8分

所以

ab1aba2b22ab1a22abb2

a21b210

，

所以

ab1ab

成立，故所证不等式成立．…………………………10分