初中抛物线经典练习题含详细答案.docx
- 文档编号:8290272
- 上传时间:2023-01-30
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:193.46KB
初中抛物线经典练习题含详细答案.docx
《初中抛物线经典练习题含详细答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中抛物线经典练习题含详细答案.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初中抛物线经典练习题含详细答案
初中数学抛物线
经典试题集锦
【编著】黄勇权
【第一组题型】
1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A(2,0),C(0,-8)
(1)求此二次函数的解析式,
(2)在抛物线上存在一点p使厶ABP的面积为15,请直接写出p点的
2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(5,0
),B(2,-6).
(1)求抛物线的表达式及对称轴
(2)设点B关于原点的对称点为C写出过AC两点直线的表达式
3、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点C为(2,4),并在x轴上截得的长度为6。
(1)写出抛物线与x轴交点A、B的坐标
(2)求该抛物线的表达式
(3)写出抛物线与y轴交点P的坐标
4、直线的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,若以A为顶点,,且开口向下作抛物线,交直线AB于点D,交y轴负半轴于点G
(1)若厶ABC的面积为20,求此时抛物线的解析式
(2)若厶BDO勺面积为8,求此时抛物线的解析式
【答案】
1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A(2,0),C(0,-8)
(1)求此二次函数的解析式,
(2)在抛物线上存在一点p使厶ABP的面积为15,请直接写出p点的坐标。
解:
【第一问】
因为函数y=x2+bx+c过点A(2,0),C(0,-8)
分别将x=2,y=0代入y=x2+bx+c,得0=4+2b+c——将x=0,y=-8代入y=x2+bx+c,得-8=c
将②代入①,解得:
b=2
③
此时,将②③代入y=x2+bx+c,
所以:
二次函数的解析式y=x2+2x-8
【第二问】
1
△ABP的面积=IAB|*|yp|
因为AB两点在x轴上,令x2+2x-8=0
(x-2)(x+4)=0
解得:
xi=2,X2=-4
所以:
|AB|=IXi-X2I=I2-(-4)I=6——⑤又厶ABP的面积=⑥
1
由④⑤⑥,得:
*6*IypI=15
yp=5
故有:
yp=±5
即:
p点的纵坐标为5或-5.
把y=5代入y=x2+2x-8,即:
5=x2+2x-8
x2+2x-13=0
解得:
x=-1±14
那么,此时p点坐标(-1+屮4,5),(-1-,5)——⑦
把y=-5代入y=x2+2x-8,即:
-5=x2+2x-8
x2+2x-3=0
(x-1)(x+3)=0
解得:
x=1或x=-3
那么,此时p点坐标(1,-5),(-3,-5)⑧
由⑦⑧得,使△ABP的面积为15,p点坐标是:
(-1+、/74,5),(-1-历4,5),(1,-5),(-3,-5)
2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(5,0),B(2,-6).
(1)求抛物线的表达式及对称轴
(2)设点B关于原点的对称点为G写出过A、C两点直线的表达式。
解:
【第一问】
因为抛物线y=2x2+mx+n经过点A(5,0),B(2,-6).
将x=5,y=0代入y=2x2+mx+n,得
0=50+5m+n①
将x=2,y=-6代入y=2x2+mx+n,得
-6=8+2m+n^②
此时,由①、②,得:
m=-12,n=10
所以,抛物线的表达式:
y=2x2-12x+10
再将抛物线表达式进行变形:
y=2x2-12x+10
y=2(x2-6x+9)-8
y=2(x-3)2-8
所以,抛物线的对称轴是x=3
【第二问】
因为B点坐标为(2,-6),
C是B关于原点的对称点,所以,C点的坐标(-2,6)
设过A、C两点的直线方程为:
y=kx+b
因为过A(5,0),C(-2,6),
将x=5,y=0代入y=kx+b,得:
0=5k+b③
将x=-2,y=6代入y=kx+b,得:
6=-2k+b④
630
由③④解得:
k=-7,b=y
所以,过AC两点的直线表达式为:
y=-7x+3、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点C为(2,4),并在x轴上截得的长度为6。
(1)写出抛物线与x轴交点A、B的坐标
(2)求该抛物线的表达式
(3)写出抛物线与y轴交点P的坐标
解:
【第一问】
因为抛物线的顶点C为(2,4),
所以,对称轴是:
x=2
又因为抛物线在x轴上截得的长度为6,
那么,对称轴x=2将6平分,
也就是说,A、B两点关于x=2对称,且他们到x=2的距离是3
所以,A的横坐标:
2-3=-1
B的横坐标:
2+3=5
故,抛物线与x轴交点AB的坐标是(-1,0),(5,0)
【第二问】
因为抛物线的顶点C为(2,4),
那么,抛物线的表达式直接可设为:
y=a(x-2)2+4【特别提示,这个非常重要,大大简化了计算】
再将A(-1,0)代入y=a(x-2)2+4,得,0=a(-1-2)2+4
4
解得:
a=-9
4
所以,抛物线的表达式为,y=-9(x-2)2+4
【第二问】
44
令x=0,代入y=-9(x-2)2+4,得y=-9(0-2)2+4
20
y=J
一20
所以,抛物线与y轴交点P的坐标(0,—)
4、直线的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,若以A为顶点,,且开口向下作抛物线,交直线AB于点D,交y轴负半轴于点G
(1)若厶ABC的面积为20,求此时抛物线的解析式
(2)若厶BDO勺面积为8,求此时抛物线的解析式
解:
【第一问】
直线的解析式为y=2x+4
令x=0,代入y=2x+4,得,y=4,所以B点坐标(0,4)
令y=0,代入y=2x+4,得,x=-2,所以A点坐标(-2,0)
设C点的纵坐标为yc(yc是负数),
那么线段BC的长度丨BC|=4-yc
11
△ABC的面积=2*IXa|*IBC|=2*1-2I*(4-yc)=20
4-yc=20
解得:
yc=-16
所以,C点坐标(0,-16)
以A(-2,0)为顶点,
可设抛物线表达式:
y=a(x+2)2+0
y=a(x+2)2,它过点C(0,-16),
将x=0,y=-16代入y=a(x+2)2,解得:
a=-4
所以,抛物线表达式y=-4(x+2)2
【第二问】
设D点的横坐标为Xd(Xd是负数),
11
△BDO的面积=2*IXdI*IBO|=2*IXdI*4=8
XdI=4
Xd是负数,所以,Xd=-4,又D点在直线y=2x+4上,
将xd=-4代入y=2x+4,解得yD=-4
D点坐标(-4,-4)
②
以A(-2,0)为顶点,
可设抛物线表达式:
y=a(x+2)2它过点D(-4,-4)
将x=-4,y=-4代入y=a(x+2)2,解得:
a=-1
所以,抛物线表达式y=-(x+2)2
【第二组题型】
5、若关于x的方程x2+2mx+m+3m-2=0有两个实数根Xi、X2,则xi
(X2+X1)+X22的最小值为()
6、平面直角坐标系中两定点A(-5,0,),B(3,0),抛物线y=ax2+bx-30
(az0)过A、B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上的一点。
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标。
(2)当四边形APBC为梯形,求P的坐标。
3
7、已知抛物线y=4x2+bx+c与x轴相交于点A和B(2,0),与y轴相交于C(0,-6)
(1)求出抛物线的解析式和A点的坐标。
(2)D为抛物线的顶点,设P点(t,0),且t>2,如果△BDP与厶CDP的面积相等,求P点的坐标。
8、在xoy直角坐标系中,点C(2,-3)关于x轴对称的点为A,关于原点对称的点为B,抛物线y=ax2+bx+c过A、B两点,且点D(3,19)在抛物线上。
【答案】
5、若关于x的方程x2+2mx+m+3m-2=0有两个实数根X1、X2,则X1
解:
方程x2+2mx+m+3m-2=0有两个实数根
则判别式厶=(2n)2-4*(n2+3m-2)>0
2
即:
m<3
3
根据韦达定理,X1+X2=-2m
X1X2=n2+3m—2
又Xi(X2+X1)+X22
=x1X2+Xi2+x22
(X2+X1)2-xiX2【将②③代入】
(-2m)2-(n2+3n—2)
1
故,当m=2时,有最小值是
6、平面直角坐标系中两定点
A(-5,0,),B(3,0),抛物线y=ax2+bx-30
(2)当四边形APBC为梯形,求P的坐标。
解:
【第一问】
因为点A(-5,0,),B(3,0)均为x轴上的两点,且抛物线过这两点,故抛物线的解析式可写为:
y=a(x+5)(x-3)
y=a(x2+2x-15)
y=ax2+2ax-15a①
又已知,抛物线y=ax2+bx-30②
根据恒等原理,①式与②式对应的系数相等。
那么它们的常数项相等,即:
-15a=-30解得:
a=2
将a=2代入①式,解得抛物线解析式为:
y=2x2+4x-30
再对y=2x2+4x-30变形
即:
y=2(x2+2x)-30
y=2(x+1)2-32
所以,顶点C坐标(-1,-32)
答:
抛物线解析式为:
y=2x2+4x-30,
顶点C坐标(-1,-32)
【第二问】
四边形APBC为梯形,有两种情况,一是BP//AC,—是AP//CB
(1)当BP//AC
所以③二④
化简:
n=24-8m因为P(mn)在抛物线上,
所以,把x=m,y=n代入y=2x2+4x-30中
得:
n=2m2+4m-30
因为⑤=⑥,消去n,
得:
24-8m=2m2+4m-30
化简:
m2+6m-27=0
(m+9(m-3)=0
解得:
m=-9,m=3
n=96,则P坐标(-9,96)
将m=-9代入⑤中,解得,
将m=3代入⑤中,解得,n=0,则P坐标(3,0)与B(3,0)重合,舍去
故:
当BP//AC时,P坐标为(-9,96)
直线BC的斜率k3=8
fen卄—
由K3=k4,得8=即:
n=8m+40⑦
m+5
因为P(mn)在抛物线上,
所以,把x=m,y=n代入y=2x2+4x-30中
得:
n=2m2+4m-30⑧由⑦二⑧解得,m=7m=-5
将m=7m=-5代入⑦,
解得n=106,n=0
即P坐标(7,106),或p(-5,0)与A(-5,0)重合,舍去
故:
当
场AP//CB时,P坐标为(7,106)
3
7、已知抛物线y4x2+bx+c与x轴相交于点A和B(2,0),与y轴相交于C(0,-6)
(1)求出抛物线的解析式和A点的坐标。
(2)D为抛物线的顶点,设P点(t,0),且t>2,如果△BDP与厶CDP的面积相等,求P点的坐标。
解:
【第一问】
因为抛物线与y轴相交于C(0,-6)
3
将x=0,y=-6代入y=4x2+bx+c,解得:
c=-6
3
那么,抛物线解析式为:
y=-x2+bx-6
4
抛物线与与x轴相交于A(2,0),
33
将x=2,y=0,代入y=4x2+bx-6,解得:
b=㊁
33
故,抛物线解析式为:
y=4x2+^x-6
33
将y=4x2+只-6变形
3
y=4(x2+2x-8)
3
y=4(x-2)(x+4)
令y=0,解得x=2,或x=-4
则与x轴相交的坐标为(2,0),(-4,0)
已知B(2,0),所以A坐标(-4,0)
【第二问】
33
将y4X2+2X-6变形
3
y=4(x2+2x)-6
33y=7(x2+2x+1)-6-
44
327
y=4(x+1)2-7
设对称轴与x轴相交于x轴于E,过顶点C作CF平行于x轴交DE于
F.
梯形EFCF面积=2*
EP+CFI*
EF
一_*
_2
[t-
(-1)]+[0-
(-1)]*
1
=2*(t+2)
*6
=3(t+
2)
②
CDF面积一1*
CF
*
DF
1
—一*
_2
Xc-
xD
*
yD-yc
1
——*
_2
Xc-
xD
*
yD-yc
1
27
一*
_2
0-
(-1)
*
4-(-6)
(Xp-XD)+(Xc-x
D)
yc
1
三角形
③
宀1
三角形DEP面积一*
DE*
PE
1
一*
_2
y*
Xp-XD
1
27
一—*
_2
-4
*t-(-1)
27
=8
(t+1)
=②+③=3t+
三角形CPD面积=四边形DEPC面积-三角形DEP面积
51
8
24-3t
8
又因为:
△BDP-与^CDP的面积相等
2724-3t
百(t-2)=—T
13
&,°)。
答:
如果厶BDP-与^CDP的面积相等,求P点的坐标(
8、在xoy直角坐标系中,点C(2,-3)关于x轴对称的点为A,关于原点对称的点为B,抛物线y=ax2+bx+c过AB两点,且点D(3,19)在抛物线上。
(1)求出抛物线的解析式,
(2)P(mn)点在直线y=2x+1上,若nv3,且/PAB=45,求出P点坐标。
解:
【第一问】
因为点C(2,-3)关于x轴对称的点为A,所以A(2,3)
C(2,-3)关于原点对称的点为B,所以B(-2,3)
将x=2,y=3代入y=ax2+bx+c,得9=4a+2b+c①
将x=-2,y=3代入y=ax2+bx+c,得9=4a-2b+c②
由①-②得:
-4b=0,即:
b=0
那么,①式简化为:
9=4a+c
因为b=0,故,抛物线的解析式为:
y=ax2+c
D(3,19)在抛物线上,
将x=3,y=19代入y=ax2+c得,19=9a+c④
由④-③,解得:
a=2
将a=2代入③,解得:
c=1
所以,抛物线解析式:
y=2x2+1
【第二问】
A、B的纵坐标为3
P(mn),nv3,说明P在AB的下方。
因为/PAB=45,所以直线AP的斜率=tan45°=1则设直线AP的方程:
y=x+b
已知A(2,3),将x=2,y=3,代入y=x+b
解得:
b=1
故:
直线AP的方程:
y=x+----⑤
又P为直线y=2x+1与y=x+1的交点,
所以:
P坐标(0,1)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初中 抛物线 经典 练习题 详细 答案