y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,+∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0,+∞)时,增,x∈(-∞,0]时,减
增
增
x∈(0,+∞)时,减,x∈(-∞,0)时,减
定点
(0,0),(1,1)
(1,1)
一条主线
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的相互关系,能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题,高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中,并且大都出现在解答题中.
两种方法
二次函数y=f(x)对称轴的判断方法:
(1)对于二次函数y=f(x)对定义域内x1,x2,都有f(x1)=f(x2),那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=
;
(2)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立,那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=a(a为常数).
两种问题
与二次函数有关的不等式恒成立问题:
(1)ax2+bx+c>0,a≠0恒成立的充要条件是
(2)ax2+bx+c<0,a≠0恒成立的充要条件是
双基自测
1.下列函数中是幂函数的是( ).
A.y=2x2B.y=
C.y=x2+xD.y=-
2.(2011·九江模拟)已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f
(1)的范围是( ).
A.f
(1)≥25B.f
(1)=25
C.f
(1)≤25D.f
(1)>25
3.(2011·福建)若关于x的方程x2+mx+1=0,有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( ).
A.(-1,1)B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
4.(2011·陕西)函数的图象是( ).
5.二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)(x∈R)且f(x)=0有两个实根x1,x2,则x1+x2=________.
考向一 求二次函数的解析式
【例1】►已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称.求f(x)与g(x)的解析式.
【训练1】已知二次函数f(x)满足f
(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式.
考向二 幂函数的图象和性质
【例2】►幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,且当x>0时,函数是减函数,则m的值为( ).
A.-1<m<3B.0
C.1D.2
【训练2】已知点(
,2)在幂函数y=f(x)的图象上,点
在幂函数y=g(x)的图象上,若f(x)=g(x),则x=________.
考向三 二次函数的图象与性质
【例3】►已知函数f(x)=x2-2ax+1,求f(x)在区间[0,2]上的最值.
【训练3】已知f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n是f(x)的零点,且m<n,则a,b,m,n从小到大的顺序是________.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是( ).
A.y=2x2B.y=
C.y=x2+xD.y=-
解析 A,C,D均不符合幂函数的定义.
答案 B
2.(2011·九江模拟)已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f
(1)的范围是( ).
A.f
(1)≥25B.f
(1)=25
C.f
(1)≤25D.f
(1)>25
解析 对称轴x=
≤-2,∴m≤-16,
∴f
(1)=9-m≥25.
答案 A
3.(2011·福建)若关于x的方程x2+mx+1=0,有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( ).
A.(-1,1)B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 依题意判别式Δ=m2-4>0,解得m>2或m<-2.
答案 C
4.(2011·陕西)函数的图象是( ).
解析 由幂函数的性质知:
①图象过(1,1)点,可排除A,D;②当指数0<α<1时为增速较缓的增函数,故可排除C.
答案 B
5.二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)(x∈R)且f(x)=0有两个实根x1,x2,则x1+x2=________.
解析 由f(3+x)=f(3-x),知函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称,应有
=3⇒x1+x2=6.
答案 6
考向一 求二次函数的解析式
【例1】►已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称.求f(x)与g(x)的解析式.
[审题视点]采用待定系数法求f(x),再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称,求g(x).
解 依题意得
解得:
∴f(x)=x2+2x.
设函数y=f(x)图象上的任意一点A(x0,y0),该点关于原点的对称点为B(x,y),则x0=-x,y0=-y.
∵点A(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,
∴y0=x
+2x0,∴-y=x2-2x,∴y=-x2+2x,
即g(x)=-x2+2x.
二次函数解析式的确定,应视具体问题,灵活地选用其形式,再根据题设条件列方程组,即运用待定系数法来求解.在具体问题中,常常会与图象的平移、对称,函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起.
【训练1】已知二次函数f(x)满足f
(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式.
解 法一 利用二次函数的一般式.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得
解之得
∴所求二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.
法二 利用二次函数的顶点式.
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),
∵f
(2)=f(-1).
∴此二次函数的对称轴为x=
=
.
∴m=
,又根据题意,函数有最大值8,即n=8.
∴y=f(x)=a
2+8,
∵f
(2)=-1,∴a
2+8=-1,
解之得a=-4.
∴f(x)=-4
2+8=-4x2+4x+7.
考向二 幂函数的图象和性质
【例2】►幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,且当x>0时,函数是减函数,则m的值为( ).
A.-1<m<3B.0
C.1D.2
[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2-2m-3<0,再结合m是整数,及幂函数是偶函数可得m的值.
解析 由m2-2m-3<0,得-1<m<3,
又m∈Z,∴m=0,1,2.
∵m2-2m-3为偶数,
经验证m=1符合题意.
答案 C
根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围,当α>0时,幂函数在(0,+∞)上为增函数,当α<0时,幂函数在(0,+∞)上为减函数,然后验证函数的奇偶性.
【训练2】已知点(
,2)在幂函数y=f(x)的图象上,点
在幂函数y=g(x)的图象上,若f(x)=g(x),则x=________.
解析 由题意,设y=f(x)=xα,,则2=(
)α,得α=2,设y=g(x)=xβ,则
=(-
)β,得β=-2,由f(x)=g(x),即x2=x-2,解得x=±1.
答案 ±1
考向三 二次函数的图象与性质
【例3】►已知函数f(x)=x2-2ax+1,求f(x)在区间[0,2]上的最值.
[审题视点]先确定对称轴,再将对称轴分四种情况讨论.
解 函数f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2的对称轴是直线x=a,
(1)若a<0,f(x)在区间[0,2]上单调递增,
当x=0时,f(x)min=f(0)=1;
当x=2时,f(x)max=f
(2)=5-4a;
(2)若0≤a<1,则
当x=a时,f(x)min=f(a)=1-a2;
当x=2时,f(x)max=f
(2)=5-4a;
(3)若1≤a<2,则
当x=a时,f(x)min=f(a)=1-a2;
当x=0时,f(x)max=f(0)=1;
(4)若a≥2,则f(x)在区间[0,2]上单调递减,
当x=0时,f(x)max=f(0)=1;
当x=2时,f(x)min=f
(2)=5-4a.
解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为y=a(x-m)2+n(a≠0)的形式,得顶点(m,n)或对称轴方程x=m,分三个类型:
①顶点固定,区间固定;
②顶点含参数,区间固定;
③顶点固定,区间变动.
【训练3】已知f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n是f(x)的零点,且m<n,则a,b,m,n从小到大的顺序是________.
解析 由于f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b)的图象是开口向下的抛物线,因为f(a)=f(b)=1>0,f(m)=f(n)=0,可得a∈(m,n),b∈(m,n),所以m<a<b<n.
答案 m<a<b<n
考向四 有关二次函数的综合问题
【例4】►设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,求实数a的取值范围.
[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解.
解 当a>0时,f(x)=a
+2-
.
∴
或
或
∴
或
或
∴a≥1或
<a<1或∅,即a>
;
当a<0时,
解得a∈∅;
当a=0时,f(x)=-2x+2,f
(1)=0,f(4)=-6,
∴不合题意.
综上可得,实数a的取值范围是a>
.
含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点,通过围绕二次函数的开口方向、对称轴,不等式的恒成立等基本问题展开,重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想,以及分析、解决问题的能力.
【训练4】已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=
若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.
(1)求F(x)的表达式;
(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.
解
(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1,
∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.∵f(x)≥0恒成立,
∴
∴
∴a=1,从而b=2,∴f(x)=x2+2x+1,
∴F(x)=
(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.
∵g(x)在[-2,2]上是单调函数,
∴
≤-2,或
≥2,解得k≤-2,或k≥6.
所以k的取值范围为k≤-2,或k≥6.
规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值
【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值,当函数解析式中含有参数时,要根据参数的取值情况进行分类讨论,避免漏解.
【解决方案】对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)而言,首先确定对称轴,然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论.
【示例】►(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x).
求二次函数f(x)的对称轴,分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论.
[解答示范]∵f(x)=-4
2-4a,
∴抛物线顶点坐标为
.(1分)
①当
≥1,即a≥2时,f(x)取最大值-4-a2.
令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1<2(舍去);(4分)
②当0<
<1,即0<a<2时,x=
时,
f(x)取最大值为-4a.
令-4a=-5,得a=
∈(0,2);(7分)
③当
≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]内递减,
∴x=0时,f(x)取最大值为-4a-a2,
令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,
解得a=-5或a=1,其中-5∈(-∞,0].(10分)
综上所述,a=
或a=-5时,f(x)在[0,1]内有最大值-5.
∴f(x)=-4x2+5x-
或f(x)=-4x2-20x-5.(12分)
求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得,忽视对称轴与闭区间的位置关系,不进行分类讨论.
【试一试】设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值g(a).
[尝试解答] ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,
∴对称轴为直线x=1,
而x=1不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论.
当-2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时,ymin=a2-2a;当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,ymin=-1.
综上,g(a)=