合理构造函数解导数问题.docx
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合理构造函数解导数问题.docx
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合理构造函数解导数问题
合理构造函数解导数问题
从近几年的高考命题分析,高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题,考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数容和传统容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起,设计综合试题。
在容上日趋综合化,在解题方法上日趋多样化•解决这类有关的问题,有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函数是解导数问题的基本方法,但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的,那么怎样合理的构造函数就是问题的关键,这里我们来一起探讨一下这方面问题。
fx的极值点,数a的值;
在1,上增函数,数a的取值围;
(3)方法一、变量分离直接构造函数
解:
由于x0,所以:
bxlnx
x2xlnxx2
2
gxInx12x3x
gx-26x
x
6x22x1
x
17时,
x0,所以gx在0
17
x亍上递增
1.7」
1.7
当x
时,g
x
0,所以g
x在x
上递减
6
6
1
<7
又g
10,
g
X00,0
X0
6
当0
xX0时,g
x
0,所以gx
在0x
X0上递减;
当X。
x1时,g
x
0,所以x。
x1上递增;
当x
1时,gx
0,所以gx在x
1上递减;
又当
x时,g
x
7
.2
3
2
1
gx
xlnxx
x
xInxx
xx
Inx-
4
当x
0时,Inx
-
0,则gx
0,且g1
0
0.
b的取值围为
一阶导数草图
6x
6x22x1
,gx
Inx
2.23
2x3x,gxxInxxx
方法二、
构造:
Inx
2x
2x2
2x2
2x1x1
从而Gx在0,1上为增函数;
1,G
分析点评:
第(
0,从而Gx在1,
上为减函数
3)问的两种解法难易繁杂一目了然,关键在合理构造函数上。
4
(08、、理)已知函数f(x)_+aln(x—1),其中n是正整数,
(1x)
a是常数,若a_1时,
求证:
当x>2时,f(x) 证法一: 当a=1时, f(x) —(1 1 —n+ln(x—1),构造函数F(x)—(xx) —1)—f(x),下证: 当 x>2 时, 1 F(x)_(x—1)—k-ln(x-1)> 恒成立. n n1 x) x2—A(x>2). 1若n为偶数,: x》2,「.‘$0,1—xv—1v0,(1—x)1v0, x1 所以: 当x>2时,F'(x)>0.「.F(x)min=F (2)=(2—1)—'—ln(2 (〔一2) —1)=0,所以: 当x>2,且n为偶数时,F(x)=(x—1)—J—ln(x (1x) —1)»恒成立. ②若n为奇数'要证書+ln(x-1) 0,所以只需证: ln(x—1) 小结2: 含有正整数“n”的表达式的符号、数值判断,“对n分奇、偶讨论”是一种重要的方法.在数列中运用很多. 1 证法二: t当x>2时,<1,二只需要证明1+ln(x—1) (1x) 1.构造函数F(x)=(x—1)—[1+ln(x—1)],即F(x)=x—2—ln(x—1),则F'(x)=U(下略). x1 小结3: 证法一是直接作“差函数”(直接构造新函数),然后分奇、偶讨论;证法二是先适当放缩,然后构造新函数.解题时,要有敏锐的观察力. 2.变形与整理 直接构造新函数F(x)=f(x)—g(x),来证明函数不等式f(x)>g(x) 时,目标是: F(a)min»,从而F(x)»,所以: f(x)>g(x).但常常会出现下列 几种异常情况: ①F'(x)的符号无法判断,【F'(x)的符号-F(x)的单调性-F(x)的极值】从而F(x)的极值无法求出;②虽然F(x)的极值能够求出,但极值是关于参数a的表达式F(a),无法判断极值F(a)是大于0,还是小于0;③直接构造的新函数F(x)=f(x)—g(x),其导函数F(x)非常复杂或根本无法求出.出现这种异常情况,表明所构造的新函数F(x),不适当.这时,需要对“函数不等式”重新整理后,再构造新函数F(x),如题2.注意下面的题目的求解方法. 那么怎样合理构造函数呢? (1)抓住问题的实质,化简函数 1、已知fx是二次函数,不等式fx0的解集是0,5,且fx在区间1,4上的最 大值12. (1)求fx的解析式; 实数根? 若存在,求出所有m的值;若不存在,请说明理由。 解: 2 (1)y2x10xxR 32 2x10x37 画图分析: 进而检验,知h(3)0,h()0,h(4)0,所以存在实数m3使得fx0在区间 3x 3,4有且只有两个不等的实数根。 点评: 本题关键是构造了函数hx2x310x237,舍弃了原函数中分母X,问题得到了 简化。 3 变式练习: 设函数fxx6x5,xR,求已知当x1,时,fxkx1恒成立,数k的取值围。 24•已知函数f(x)1x2alnx(aR). (I)求函数f(x)的单调区间; 12 (n)求证: x时,2xlnx 数f(x)的单调递减区间为(0,a). Q当x1时,g(x)(x1)(汰x"0, x lnx2x3。 3 (I) (n) 求f(x)的单调增区间; (出) 求证: a1时,在区间[1, +g)上,函数f(x)的图象总在函数 g(x)彳x3的 图象的下方. 解: (I)当a1时,f(x)x 1 ,x1,e时,f(x)0,故f(x)在[1,e]上 x 是增函数. 11 ...f(x)maX=f(e)=1e2+1;f(x)min=f (1)=1 为(0,);a<0时,增区间为(0,J——)。 \a 12 (III)设F(x)=x2+lnx—x3,则F(x)=x+ 23 x>1,二F(x)V0,故F(x)在[1,+門上是减函数, 1c2(1x)(1x2x2)• -—2x2=.• xx 又F (1)=—-V0,二在[1,+6 12 X]上,有F(x)V0,即一x2+lnxVx3 23 故函数f(x)的图象在函数g(x) 2 =—x3的图 3 象的下方. (2)抓住常规基本函数,利用函数草图分析问题: 设gx nmx- x 2lnx. (1) 求证: 当x 1时,gx 0恒成立; (2) 试讨论关于 x的方程mx n x gx 32 x2ex tx根的个数。 解证: ( (1)mn 1 (2)方程mxgx x 3x 2ex2 tx,从而 2lnxx32ex2tx 因为x 0,所以方程可变为 2lnx x22ex t. 例: 已知函数fxnlnx的图像在点P(m,fm)处的切线方程为yx, x 2lnx 2 c1 lnx 令L x Hxx2ext,得: Lx 2—— 2 x x 当x 0,e时, Lx0,Lx在0,e上为增函数; 1 当xe,时,Lx0,Lx在xe,上为减函数; 当xe时,LxmaxL(e), e 22.2 又Hxx2extxete, 所以函数Lx,Hx在同一坐标系的大致图像如图所示 222 1 -时,方程无解; e 2 —时,方程一解; e -时,方程有2个根。 e 当te2,即te2 e 222 2当te,即te e 222 3当te,即te e 分析点评: 一次函数,二次函数,指对数函数,幕函数,简单的分式根式函数,绝对值函数 的图象力求清晰准确,一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体,如果适当分解和调配 就一定能找到问题解决的突破口,使问题简单化明确化。 v-vi<3已知平面向量a=(3,-1).b=(,). 22 (1)证明a丄b; vvvvvvvv (2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,x丄y,试 求函数关系式k=f(t); (3)据⑵的结论,讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况. vv厂1J3vv 解答: ⑴Tab=.3X—+(-1)x-=0Z.a丄b. 22 vvvvvvvv (2)vx丄y,二xy=0即[a+(t2-3)b]•(a+tb)=0. v2vvv2 整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+t(t2-3)b=0 vvV2V2 Tab=0,a=4,b=1, 1 •••上式化为-4k+t(t2-3)=o,即k=—t(t2-3) 4 11 ⑶讨论方程一t(t2-3)-k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)=t(t2-3)与直线y=k 44 的交点个数. 13 于是f'⑴才2-1)=严恥1). 令f'(t)=0,解得1,t2=1.当t变化时,f'f(t)的、变化情况如下表: t (-3-1) -1 (-1,1) 1 (1,+3) 厂⑴ + 0 - 0 + F(t) / 极大值 极小值 / 1 当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=. 2 1 当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值二. 2 1 函数f(t)=-t(t2-3)的图象如图13—2-1所示, 4 可观察出: 11 (1)当k>或kV-—时,方程f(t)-k=0有且只有一解; 22 11 ⑵当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解; 22 11 (3)当-一vkv时,方程f(t)-k=0有三解. 22 【点晴】导数的应用为作函数的草图提供了新途径,方程根的个数与极值的正负有关。 (3)复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则,抓住函数的复合过程能够逐层分解。 例:
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