工程数学作业及答案.doc
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工程数学作业及答案.doc
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工程数学作业
(一)答案(满分100分)
第2章矩阵
(一)单项选择题(每小题2分,共20分)
⒈设,则(D ).
A.4B.-4C.6D.-6
⒉若,则(A ).
A.B.-1C.D.1
⒊乘积矩阵中元素(C ).
A.1B.7C.10D.8
⒋设均为阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是( B).
A.B.
C.D.
⒌设均为阶方阵,且,则下列等式正确的是(D ).
A.B.
C.D.
⒍下列结论正确的是( A).
A.若是正交矩阵,则也是正交矩阵
B.若均为阶对称矩阵,则也是对称矩阵
C.若均为阶非零矩阵,则也是非零矩阵
D.若均为阶非零矩阵,则
⒎矩阵的伴随矩阵为( C).
A.B.
C.D.
⒏方阵可逆的充分必要条件是(B ).
A.B.C.D.
⒐设均为阶可逆矩阵,则(D ).
A.B.
C.D.
⒑设均为阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A ).
A.B.
C.D.
(二)填空题(每小题2分,共20分)
⒈7.
⒉是关于的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是2.
⒊若为矩阵,为矩阵,切乘积有意义,则为5×4矩阵.
⒋二阶矩阵.
⒌设,则
⒍设均为3阶矩阵,且,则72.
⒎设均为3阶矩阵,且,则-3.
⒏若为正交矩阵,则0.
⒐矩阵的秩为2.
⒑设是两个可逆矩阵,则.
(三)解答题(每小题8分,共48分)
⒈设,求⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹.
答案:
⒉设,求.
解:
⒊已知,求满足方程中的.
解:
⒋写出4阶行列式
中元素的代数余子式,并求其值.
答案:
⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:
⑴;⑵;⑶.
解:
(1)
(2)(过程略)(3)
⒍求矩阵的秩.
解:
(四)证明题(每小题4分,共12分)
⒎对任意方阵,试证是对称矩阵.
证明:
是对称矩阵
⒏若是阶方阵,且,试证或.
证明:
是阶方阵,且
或
⒐若是正交矩阵,试证也是正交矩阵.
证明:
是正交矩阵
即是正交矩阵
工程数学作业(第二次)(满分100分)
第3章线性方程组
(一)单项选择题(每小题2分,共16分)
⒈用消元法得的解为(C ).
A.B.
C.D.
⒉线性方程组(B ).
A.有无穷多解B.有唯一解C.无解D.只有零解
⒊向量组的秩为( A).
A.3B.2C.4D.5
⒋设向量组为,则(B )是极大无关组.
A.B.C.D.
⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(D).
A.秩秩B.秩秩
C.秩秩D.秩秩
⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ).
A.可能无解B.有唯一解C.有无穷多解D.无解
⒎以下结论正确的是(D ).
A.方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解
B.方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解
C.方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解
D.齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组线性相关,则向量组内(A )可被该向量组内其余向量线性表出.
A.至少有一个向量B.没有一个向量
C.至多有一个向量D.任何一个向量
9.设A,B为阶矩阵,既是A又是B的特征值,既是A又是B的属于的特征向量,则结论( )成立.
A.是AB的特征值B.是A+B的特征值
C.是A-B的特征值D.是A+B的属于的特征向量
10.设A,B,P为阶矩阵,若等式(C )成立,则称A和B相似.
A. B. C. D.
(二)填空题(每小题2分,共16分)
⒈当1时,齐次线性方程组有非零解.
⒉向量组线性相关.
⒊向量组的秩是3.
⒋设齐次线性方程组的系数行列式,则这个方程组有无穷多解,且系数列向量是线性相关的.
⒌向量组的极大线性无关组是.
⒍向量组的秩与矩阵的秩相同.
⒎设线性方程组中有5个未知量,且秩,则其基础解系中线性无关的解向量有2个.
⒏设线性方程组有解,是它的一个特解,且的基础解系为,则的通解为.
9.若是A的特征值,则是方程 的根.
10.若矩阵A满足 ,则称A为正交矩阵.
(三)解答题(第1小题9分,其余每小题11分)
1.用消元法解线性方程组
解:
方程组解为
2.设有线性方程组
为何值时,方程组有唯一解?
或有无穷多解?
解:
]
当且时,,方程组有唯一解
当时,,方程组有无穷多解
3.判断向量能否由向量组线性表出,若能,写出一种表出方式.其中
解:
向量能否由向量组线性表出,当且仅当方程组有解
这里
方程组无解
不能由向量线性表出
4.计算下列向量组的秩,并且
(1)判断该向量组是否线性相关
解:
该向量组线性相关
5.求齐次线性方程组
的一个基础解系.
解:
方程组的一般解为 令,得基础解系
6.求下列线性方程组的全部解.
解:
方程组一般解为
令,,这里,为任意常数,得方程组通解
7.试证:
任一4维向量都可由向量组
,,,
线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式.
证明:
任一4维向量可唯一表示为
⒏试证:
线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:
相应的齐次线性方程组只有零解.
证明:
设为含个未知量的线性方程组
该方程组有解,即
从而有唯一解当且仅当
而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是
有唯一解的充分必要条件是:
相应的齐次线性方程组只有零解
9.设是可逆矩阵A的特征值,且,试证:
是矩阵的特征值.
证明:
是可逆矩阵A的特征值
存在向量,使
即是矩阵的特征值
10.用配方法将二次型化为标准型.
解:
令,,,
即
则将二次型化为标准型
工程数学作业(第三次)(满分100分)
第4章随机事件与概率
(一)单项选择题
⒈为两个事件,则( B)成立.
A.B.
C.D.
⒉如果( C)成立,则事件与互为对立事件.
A.B.
C.且D.与互为对立事件
⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为(D ).
A.B.C.D.
4.对于事件,命题(C )是正确的.
A.如果互不相容,则互不相容
B.如果,则
C.如果对立,则对立
D.如果相容,则相容
⒌某随机试验的成功率为,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为(D ).
A.B.C.D.
6.设随机变量,且,则参数与分别是(A ).
A.6,0.8B.8,0.6C.12,0.4D.14,0.2
7.设为连续型随机变量的密度函数,则对任意的,(A ).
A.B.
C.D.
8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B ).
A.B.
C.D.
9.设连续型随机变量的密度函数为,分布函数为,则对任意的区间,则( D).
A.B.
C.D.
10.设为随机变量,,当(C )时,有.
A.B.
C.D.
(二)填空题
⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为.
2.已知,则当事件互不相容时,0.8,0.3.
3.为两个事件,且,则.
4.已知,则.
5.若事件相互独立,且,则.
6.已知,则当事件相互独立时,0.65,0.3.
7.设随机变量,则的分布函数.
8.若,则6.
9.若,则.
10.称为二维随机变量的协方差.
(三)解答题
1.设为三个事件,试用的运算分别表示下列事件:
⑴中至少有一个发生;
⑵中只有一个发生;
⑶中至多有一个发生;
⑷中至少有两个发生;
⑸中不多于两个发生;
⑹中只有发生.
解:
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
2.袋中有3个红球,2个白球,现从中随机抽取2个球,求下列事件的概率:
⑴2球恰好同色;
⑵2球中至少有1红球.
解:
设=“2球恰好同色”,=“2球中至少有1红球”
3.加工某种零件需要两道工序,第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品;如果第一道工序出正品,则由第二道工序加工,第二道工序的次品率是3%,求加工出来的零件是正品的概率.
解:
设“第i道工序出正品”(i=1,2)
4.市场供应的热水瓶中,甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率.
解:
设
5.某射手连续向一目标射击,直到命中为止.已知他每发命中的概率是,求所需设计次数的概率分布.
解:
…………
…………
故X的概率分布是
6.设随机变量的概率分布为
试求.
解:
7.设随机变量具有概率密度
试求.
解:
8.设,求.
解:
9.设,计算⑴;⑵.
解:
10.设是独立同分布的随机变量,已知,设,求.
解:
工程数学作业(第四次)
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