西安电子科技大学运筹学862真题答案详解.docx

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西安电子科技大学运筹学862真题答案详解

西安电子科技大学硕士研究生入学考试

2007年运筹学试题参考解答

考试时间：

3小时

一、（25分）某医院在每天各时段内需护士人数如下表所示

时段

6:

00-8:

00

8:

00-14:

00

14:

00-16:

00

16:

00-22:

00

22:

00-6:

00（次日）

需护士数

25

35

32

28

22

该医院安排4个护士上班班次：

早班6:

00-14:

00，白班8:

00-16:

00，晚班14:

00:

22:

00，夜班22:

00-6:

00（次日）。

每名护士每天值一个班次。

（1）       该医院每天至少需要多少名护士才能满足值班需要？

（2）       有人提议为简化管理，只设早、晚、夜三个班，取消白班，这种情况下又需要多少名护士能满足值班需要。

对

（1）

（2）两种情况分别建立数学模型，需要求解。

但需作出直观判断，哪一种情况需要护士数多一些，为什么？

【解】

（1）       设早、白、晚、夜班上班人数依次为x1,x2,x3,x4，则有：

（2）       设早、晚、夜班上班人数依次为x1,x2,x3，则有:

直观判断：

3班制人数要多些，因为在第

（1）种情况下，第2班可调整两个时间段人力需求，而第

（2）种情况，每个班都要达到该班各时间段最大需求。

二、（25分）已知线形规划问题

用单纯形法求解时，其最终单纯形表如下：

x1

X2

X3

X4

X5

X1

X3

5/3

3

1

0

-1/3

1

0

1

1/3

-1/5

-1/3

2/5

cj-xj

0

-2

0

-1/5

-3/5

（1）       写出上述线形规划的对偶问题及其最优解；

（2）       若问题中x2列的系数由（1,3,4）T变为（3,2,3）T，求新的最优解；

（3）       若问题中约束（b）的右端项变为30，求解的最优解。

【解】

（1）       该问题对偶模型如下

原问题的检验数为对偶的最优解y1=1/5,y2=3/5

（2）

cj→

3

3

4

CB

xB

b

x1

X2

X3

X4

X5

3

4

X1

X3

5/3

3

1

0

-1/3

4/5

0

1

1/3

-1/5

-1/3

2/5

cj-xj

0

4/5

0

-1/5

-3/5

x2入基，继续迭代，x1=35/12,x2=15/4。

（3）       约束b变为30，没指明b1或b2假设为b1则：

cj→

3

1

4

CB

xB

b

x1

X2

X3

X4

X5

3

4

X1

X3

-5/3

7

1

0

-1/3

1

0

1

1/3

-1/5

-1/3

2/5

cj-xj

0

-2

0

-1/5

-3/5

由对偶单纯形法：

cj→

3

1

4

CB

xB

b

x1

X2

X3

X4

X5

3

4

X1

X3

-5/3

7

1

0

-1/3

1

0

1

1/3

-1/5

[-1/3]

2/5

cj-xj

0

-2

0

-1/5

-3/5

0

4

X5

X3

5

5

-3

6/5

1

3/5

0

1

-1

1/5

1

0

cj-xj

-9/5

-7/5

0

-4/5

0

新的最优解x1=x2=0,x3=5.资源2有5个单位剩余。

三、（25分）某公司承担4条航线的运输任务，已知：

（1）各条航线的起点城市和终点城市及每天的航班数（见本题表1）；

（2）各城市间的航行时间（见本题表2）；（3）所有航线都使用同一种船只，每次装船和卸船时间均为1天，问该公司至少应配备多少条船才能满足所有航线运输的需要？

表1

航线

起点城市

终点城市

每天航班数量

1

2

3

4

E

B

A

D

D

C

F

B

3

2

1

1

表2（航行时间：

天）

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

0

1

2

14

7

7

1

0

3

13

8

8

2

3

0

15

5

5

14

13

15

0

17

20

7

8

5

17

0

3

7

8

5

20

3

0

【解】建立余缺表：

到达

出发

余缺

A

B

C

D

E

F

0

1

2

3

0

1

1

2

0

1

3

0

-1

-1

2

2

-3

1

余视为产地，缺视为销地，建立产销平衡表与单位运价表：

A

B

E

可供

C

D

F

2

14

7

3

13

8

5

17

3

2

2

1

需求

1

1

3

由Vogel法给出初始方案：

A

B

E

可供

C

D

F

1

1

0

2

1

2

2

1

需求

1

1

3

建立位势检验数表：

A

B

E

ui

C

D

F

（2）

0

7

（3）

-4

7

（5）

（17）

（3）

0

12

-2

vj

2

3

5

调整方案：

A

B

E

可供

C

D

F

1

1

1

1

1

2

2

1

需求

1

1

3

建立位势检验数表：

A

B

E

ui

C

D

F

（2）

0

7

2

（13）

9

（5）

（17）

（3）

0

12

-2

vj

2

1

5

运行方案如下：

3条船给E，装满货物运往D，D装1船运往B，空船到B和E各1条，B装满货物2条运往C，C空船发往A和E各1条，A装货1条运往F，F装1条运往E（如图，粗线为载货，细线为空船）。

每天E发出的3条船，36天从D返回1条，42天从C返回1条，55天从F返回1条。

总共需要36+42+55=133条。

四、（25分）公司决定使用1000万元新产品基金开发A、B、C三种新产品。

经预测估计，开发A、B、C三种投资利润率分别为5%，7%，10%。

由于新产品开发有一定的风险，公司研究后确定了下列优先顺序目标：

第一，A产品至少投资300万元；

第二，为分散投资风险，任何一种新产品的开发投资不超过开发基金总额的35%；

第三，至少留有10%的开发基金，以备急用；

第四，使总的投资利润最大。

试建立投资分配方案的目标规划模型。

【解】设A、B、C产品投资额为x1,x2,x3

目标4：

若将利润率最低的A按投资额下限，即投资300万元，利润最高的C按投资额上限，投资350万元，再留出100万元应急，B产品只能投资250万元。

其利润为：

300×5%+250×7%+350×10%=67.5

以此为目标值，则有：

综上所述：

五、（25分）某大学计算机实验室聘用4名大学生（代号1，2，3，4）和两名研究生（代号5，6）值班答疑。

已知每人从周一至周五最多可安排的值班时间及每人每小时值班报酬如下表所示。

学生代号

报酬

（元/小时）

每天最多安排的值班时间/小时

周一

周二

周三

周四

周五

1

10.0

6

0

6

0

7

2

10.0

0

6

0

6

0

3

9.9

4

8

3

0

5

4

9.8

5

5

6

0

4

5

10.8

3

0

4

8

0

6

11.3

0

6

0

6

3

该实验室开放时间为上午8:

00至晚上10:

00，开放时间内须有且仅需一名学生值班。

又规定每名大学生每周值班不少于8小时，研究生每周不少于7小时，要求：

（a）       建立该实验室总支付报酬为最小的数学模型；

（b）       在上述基础上补充下面要求：

一是每名学生每周值班不超过2次，二是每天安排的学生不超过3人，据此重新建立数学模型。

【解】设xij为第i名学生星期j值班的小时数，bij为第i名学生星期j最多安排的值班时间，pi为第i名学生单位小时报酬。

则有：

，

六、（25分）说明梯度法、牛顿法的基本原理，并对这两种方法的迭代步骤适应范围和优缺点加以对比。

【解】

【梯度法】亦称最速下降法，由Cauchy提出，f（X0）（X0∈Rn），沿f（X）的负梯度方向下降最快。

设

根据泰勒公式：

式中 为梯度。

A取何向量时，下降最快？

答案是负梯度方向。

即：

于是，给定X0和允许误差ε，求A0、f（X0）、f（X1）

若｜f（Xk+1）-f（Xk）|<

normal">ε，迭代停止，否则令Xk+1=Xk+Ak继续迭代。

梯度法用于无约束极值的求解，方法简单，从局部看负梯度方向较好，但从全局来看，这个方向不一定就好。

【牛顿法】是将f（X）用二阶泰勒展开来近似代替。

式中 为二阶导数矩阵，称为Hesse阵。

若｜f（Xk+1）-f（Xk）|<

normal">ε，迭代停止，否则令Xk+1=Xk+Ak继续迭代。

Hesse阵要求非奇异外还要求为正定，才能保证算法收敛。

牛顿法也是用一无约束极值的求解。

对于二次函数，由于Hesse阵是一个常数矩阵，只需一次迭代即可找出最优点。

对于非二次函数，有时会使函数值上升。

西安电子科技大学硕士研究生入学考试

2008年运筹学试题解答

考试时间：

3小时

1.（25分）已知线性规划问题

用单纯形法求得最终表如表所示：

x1

X2

X3

X4

X2

X1

3/2

1

0

1

1

0

5/14

-1/7

-3/14

2/7

cj-xj

0

0

-5/14

-25/14

试用灵敏度分析的方法分别判断：

（1）       目标函数系数c1或c2分别在什么范围内变动，上述最优解不变；

（2）       当约束条件右端项b1，b2中一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变；

（3）       问题的目标函数变为maxz=12x1+4x2时，上述最优解发生如何变化；

（4）       当约束条件右端项变为b1=11,b2=19时，上述最优解发生如何变化。

【解】

（1）       考虑c1的变化范围。

计算非基变量检验数：

（2）       考虑b1的变化范围。

（3）      

x1

X2

X3

X4

X2

X1

3/2

1

0

1

1

0

【5/14】

-1/7

-3/14

2/7

cj-xj

0

0

12/7

-18/7

X3

X1

21/5

8/5

0

1

14/5

2/5

1

0

-3/5

7/35

cj-xj

0

-2/5

0

-77/35

（4）     

x1

X2

X3

X4

X2

X1

-2/14

27/7

0

1

1

0

5/14

-1/7

【-3/14】

2/7

cj-xj

0

0

12/7

-18/7

X3

X1

2/3

8/5

0

1

-14/3

4/3

-5/3

1/3

1

0

cj-xj

0

-25/3

-10/3

0

2.（25分）某公司准备为设在甲、乙两市的分公司招聘从事三个专业的职员共140名，具体情况见表：

城市

专业

拟招聘人数

甲

甲

甲

乙

乙

乙

生产

营销

财务

生产

营销

财务

20

20

35

15

30

20

应聘合格人数共160名。

按各人适合从事的专业、希望从事的专业以及希望去的城市，可分成6个类别，具体情况见表：

类别

人数

适合从事的专业

希望从事的专业

希望去的城市

1

2

3

4

5

6

25

20

30

25

30

30

生产、营销

生产、财务

生产、财务

营销、财务

营销、财务

营销

生产

生产

财务

营销

财务

营销

甲

乙

乙

甲

甲

乙

公司确定具体录用与分配的优先级顺序为：

P1：

公司录用的职员恰好适合从事该专业的工作；

P2：

80%以上录用人员从事本人希望从事的专业；

P3：

80%以上录用人员去本人希望去的城市工作。

据此建立该问题的数学模型，不必求解。

【解】设：

xij表示第i类别安排到甲城市从事第j种专业（j=1,2,3分别表示生产、营销、财务）

yij表示第i类别安排到甲城市从事第j种专业（j=1,2,3分别表示生产、营销、财务）

A=（aj）=（20,20,35）为甲城市生产、营销、财务拟招聘人数；

B=（bj）=（15,30,20）为乙城市生产、营销、财务拟招聘人数；

C=（ci）=（25,20,30,25,30,30）T为第i类别合格人数。

则有：

3．（25分）某运输公司现准备向五家用户送货。

已知公司有四辆卡车，卡车i的最大载重能力为vi，每次送货的固定运输费为ci（i=1,2,3,4）；如果卡车j给用户i运货，单位货物需收取附加费cij。

又知用户j的货物重wj个单位（j=1,2,3,4,5）。

出于路线的考虑，假定每辆车不能同时给用户1和3送货，同时也不能给用户2和5送货。

此问题的数学模型应如何建立。

如果每辆车在一天内的送货次数不能超过k次，其数学模型应如何修改。

【解】把卡车看成是产地，用户看成是销地，设xij为卡车i送货到j用户的数量，则有：

若每辆车送货次数不能超过k次，则应修改为：

4.（25分）已知某运输问题的供需关系表与单位运价表如表所示，试用表上作业法求此问题的最优解。

    销地

产地

A

B

C

D

产量

1

2

3

3

7

2

2

5

5

7

2

4

6

3

5

50

60

25

销量

60

40

20

15

若出于工艺、技术等原因，产地1，2，3的产量分别增至60，65，40.若产地i有一个单位物资未运出，则将储存。

假定产地1，2，3的单位产品储存费用分别为3,4,6。

又假定产地1的物资至少运出45个单位，产地2的物资必须全部运出，产地3的物资至少运出30个单位。

试给出此运输问题的产销平衡表（不必求解）。

【解】

（1）表上作业法求解：

由vogel法给出初始方案：

    销地

产地

A

B

C

D

产量

1

2

3

10

25

25

40

20

15

50

60

25

销量

60

40

20

15

位势法检验：

    销地

产地

A

B

C

D

ui

1

2

3

（3）

（7）

（2）

（2）

-2

4

10

（2）

8

8

（3）

8

0

5

-1

vj

3

2

-3

-2

闭回路法调整方案：

    销地

产地

A

B

C

D

产量

1

2

3

35

25

15

25

20

15

50

60

25

销量

60

40

20

15

再检验：

     销地

产地

A

B

C

D

ui

1

2

3

（3）

1

（2）

（2）

（5）

4

8

（2）

6

6

（3）

6

0

3

-1

vj

3

2

-1

0

调整后的方案为最优方案。

（2）此题最低运量为140，需求为135，无可行解。

其产销平衡与单位运价合并表如下：

     销地

产地

A

B

C

D

虚拟销地

产量

1

 1'

2

3

  3’

3

3

7

2

2

2

2

5

5

5

7

7

2

4

4

6

6

3

5

5

M

3

M

M

6

45

15

65

30

10

销量

60

40

20

15

30

5.（25分）某生产公司已签订一份有关下一年度1～6月份5种产品的交货合同。

已知这5种产品的订货量（件）、单件售价（元）、单件成本价（元）及生产每件产品所需的工时数（小时）分别为ki,pi,ci,hi（i=1,2,3,4,5）。

在1～6月份里，各月内该厂正常生产工时及最大允许加班工时数如表所示。

月份

1

2

3

4

5

6

正常生产工时数（小时）

最大允许加班工时数（小时）

12000

3000

11000

2500

13000

3300

13500

3500

13500

3500

14000

3800

一般地，工人加班需加付工人工资。

假设加班时间内生产产品，每件产品的生产成本增加c’i。

因生产准备及交货要求，产品2的生产时间最早只能从2月份开始生产；产品3需要在3月底前交货；产品5最早只可于3月份起开始生产，并要求4月底前全部交货。

若产品3和5延期交货，每拖一个月，每件产品需分别赔偿p’3和p’5元。

要求全部产品必须于6月底前全部交货。

请为该厂设计一个保证完成合同又能使盈利达到最大的生产计划安排（建立其数学模型，不必求解）。

【解】设：

xij为第i种产品第j月正常生产的数量，yij为第i种产品第j月加班生产的数量，tj为第j月正常生产时数，t’j为第j月加班生产时数。

6.（25分）试对惩罚函数、惩罚项及惩罚因子作以经济解释，并说明外点法和内点法的基本原理及适用条件。

【简单回答】

罚函数法：

它将有约束最优化问题转化为求解无约束最优化问题。

F（x,M）=f（x）+Mg（x）u（g）

其中F（x,M）称为罚函数；Mg（x）u（g）称为惩罚项，M为足够大的正数, 起"惩罚"作用, 称之为罚因子。

内点法是从可行域内部向最优点逼近；外点法是从可行域外部向最优点逼近。

西安电子科技大学硕士研究生入学考试

2009年运筹学试题解答

（1-3题）

考试时间：

3小时 

1.（25分）某食品公司下设三个工厂，分别生产熟食品、罐头食品和冷冻食品。

由于市场销售情况的变化影响产品价格波动，该公司需要不断修正各种产品的产量，以便充分利用其生产能力来获取最大利润。

三个工厂一共生产八种产品，消耗十种原材料。

其中有两种原材料是三个厂都要用到的，由于市场供应短缺，公司不得不从外地进货。

其余八种原材料每个工厂分别用其中若干种，互不影响。

表1-1，1-2，1-3，1-4分别给出了三个工厂生产的有关数据，要求建立这个问题的线性规划模型。

表1-1熟食品厂

       产品

原料

I

II

III

原料每天供应量

A

B

C

2

7

5

4

3

0

3

6

3

10

15

12

单位产品利润

8

5

6

表1-2罐头厂

       产品

原料

IV

V

VI

原料每天供应量

D

E

3

2

1

4

2

3

7

9

单位产品利润

9

7

9

表1-1冷冻食品厂

       产品

原料

VII

VIII

原料每天供应量

F

G

H

8

7

6

5

9

4

25

30

20

单位产品利润

6

5

表1-4三个工厂都用的原料数据

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

每天供应量

J

K

5

2

3

0

0

4

2

3

0

7

3

0

4

1

6

0

30

20

【解】设xj=生产第j种产品的数量。

    2.（25分）某厂准备生产A，B，C三种产品，它们都消耗劳动力和材料，有关数据见表2-1.

（1） 确定获利最大的产品生产计划；

（2） 产品A的利润在什么范围内变动时，上述最优计划保持不变；

（3） 如设计一种新产品D，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？

（4） 如劳动力数量不变，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元，问该厂要不要购进原材料扩大生产？

如需要，购买多少为宜？

表2-1消耗定额表

             产品

资源

A

B

C

拥有量（单位）

劳动力

材料

6

3

3

4

5

5

45

30

单位产品利润（元）

3

1

4

【解】

（1） 确定获利最大的产品生产计划；

X1

X2

X3

X4

X5

b

基

cj

3

1

4

0

0

X4

X5

0

0

6

3

3

4

5

[5]

1

0

0

1

45

30

cj-zj

3

1

4

0

0

0

X4

X3

0

4

[3]

3/5

-1

4/5

0

1

1

0

-1

1/5

15

6

cj-zj

3/5

-11/5

0

0

-4/5

24

X1

X3

3

4

1

0

-1/3

1

0

1

1/3

-1/5

-1/3

2/5

5

3

cj-zj

0

-2

0

-1/5

-3/5

27

最优生产计划：

x1=5,x3=3,z*=27

（2） 产品A的利润在什么范围内变动时，上述最优计划保持不变；

X1

X2

X3

X4

X5

b

基

cj

c

1

4

0

0

X1

X3

c

4

1

0

-1/3

1

0

1

1/3

-1/5

-1/3

2/5

5

3

cj-zj

0

c/3-4

0

4/5-c/3

c/3-8/5

27

（3） 如设计一种新产品D，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？

X1

X2

X3

X4

X5

X6