立体几何大题练习文科.docx
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立体几何大题练习文科.docx
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立体几何大题练习文科
立体几何大题练习(文科):
1.如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是梯形,ABDC,∠ABC=90°AD=SD,BC=CD=寺检,侧面SAD丄底面ABCD.
(1)求证:
平面SBD丄平面SAD;
(2)若ZSDA=120°且三棱锥SBCD的体积为亜,求侧面厶SAB的面积.
12
【分析】
(1)由梯形ABCD,设BC=a,则CD=a,AB=2a,运用勾股定理和余弦定理,可得AD,由线面垂直的判定定理可得BD丄平面SAD,运用面面垂直的判定定理即可得证;
(2)运用面面垂直的性质定理,以及三棱锥的体积公式,求得BC=1,运用勾
股定理和余弦定理,可得SA,SB,运用三角形的面积公式,即可得到所求值.
【解答】
(1)证明:
在梯形ABCD中,ABDC,∠ABC=90°BC=CD=寺壮,设BC=a,贝UCD=a,AB=2a,在直角三角形BCD中,∕BCD=90°可得BD=任a,∠CBD=45°ZABD=45°
由余弦定理可得AD=二―:
・「一一=^a,
贝UBDIAD,
由面SAD丄底面ABCD.可得BD丄平面SAD,
又BD?
平面SBD,可得平面SBD丄平面SAD;
(2)解:
ZSDA=120°,且三棱锥SBCD的体积为二,
由AD=SD=I二a,
在^SAD中,可得SA=2SDsin60=.・a,
笃AD的边AD上的高SH=SDSin60O=
由SH丄平面BCD,可得
ad>a=,
32212
解得a=1,
由BD丄平面SAD,可得BDISD,
SB=JSD'+BD2=^2色右'=2a,
又AB=2a,
在等腰三角形SBA中,
贝好AB的面积为护A哪仔誓•
【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用,注意运用转化思想,考查三棱锥的体积公式的运用,以及推理能力和空间想象能力,属于中档题•
【分析】
(1)利用AB/EF及线面平行判定定理可得结论;
(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG/BC,贝UEG/AC,利用线面垂直的性质定理可知FGIAD,结合线面垂直的判定定理可知AD丄平面EFG,从而可得结论.
【解答】证明:
(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,所以AB/EF,
又因为EF?
平面ABC,AB?
平面ABC,
所以由线面平行判定定理可知:
EF//平面ABC;
(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG/C,贝UEGIAC,
因为BCJBD,FGBC,
所以FGJBD,
又因为平面ABD丄平面BCD,
所以FG丄平面ABD,所以FG⊥XD,
又因为AD⊥ΞF,且EFrFG=F,
所以AD丄平面EFG,所以ADJEG,故ADIAC.
【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题.
3
.如图,在三棱柱ABCAIBiCi中,CCi丄底面ABC,ACJCB,点M和N分别是BiCi和BC的中点.
(1)求证:
MB//平面ACiN;
ACiN;
(2)证明AC丄平面BCCiBi,即可证明ACJMB.
【解答】证明:
(i)证明:
在三棱柱ABCAiBiCi中,因为点M,N分别是BiCi,
BC的中点,
所以CiM/N,CIM=BN.
所以MCiNB为平行四边形.
所以CiNMB.
因为CiN?
平面ACiN,MB?
平面ACiN,
所以MB//平面ACiN;
(2)因为CCi丄底面ABC,
所以ACJCCi.
因为ACJBC,BCCCCi=C,
所以AC丄平面BCCiBi.
因为MB?
平面BCCiBi,
所以ACJMB.
【点评】本题考查线面平行的判定,考查线面垂直的判定与性质,考查学生分析
解决问题的能力,属于中档题.
4.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADllBC,PD丄底面
ABCD,
∠ADC=90°AD=2BC,Q为AD的中点,M为棱PC的中点.
(I)证明:
PA//平面BMQ;
(U)已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离.
【分析】(i)连结AC交BQ于N,连结MN,只要证明MN/PA,利用线面平行的判定定理可证;
(2)由
(1)可知,PA//平面BMQ,所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离.
【解答】解:
(1)连结AC交BQ于N,连结MN,因为∠ADC=90°Q为AD
的中点,所以N为AC的中点.…(2分)
当M为PC的中点,即PM=MC时,MN为APAC的中位线,
故MNPA,又MN?
平面BMQ,所以PA//平面BMQ.…(5分)
(2)由
(1)可知,PA//平面BMQ,所以点P到平面BMQ的距离等于点A到
平面BMQ的距离,所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ,
取CD的中点K,连结MK,所以MK/PD,MK令PD=1,…(7分)
又PD丄底面ABCD,所以MK丄底面ABCD.
又BC⅛AD=1,PD=CD=2,所以AQ=1,BQ=2,耐皿NQF,…(10分)所以VPBMQ=VABMQ=VMBBQ』•丄・江・:
•咽二二丄」_川「,…气11分)则点P到平面BMQ的距离d=一f-厂…(12分)
【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离.
5.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCIAC,D,E分别是AB,AC的中点.
(1)求证:
B1C1//平面A1DE;
(2)求证:
平面AiDE丄平面ACCιAι.
CI
C
【分析】
(1)证明BiCi/DE,即可证明BiCi//平面AiDE;
(2)证明DE丄平面ACCiAi,即可证明平面AiDE丄平面ACCiAi.
【解答】证明:
(i)因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DEBC,•••(2分)
又因为在三棱柱ABCAiBiCi中,BiCi/BC,所以BiCi/DE•••(4分)
又BiCi?
平面AiDE,DE?
平面AiDE,所以BiCi/平面AiDE•••(6分)
(2)在直三棱柱ABCAiBiCi中,CCi⊥底面ABC,
又DE?
底面ABC,所以CCiJDE•••(8分)
又BC⊥∖C,DE/BC,所以DE⊥AC,∙∙∙(i0分)
又CCi,AC?
平面ACCiAi,且CCi∩AC=C,所以DE丄平面ACCiAi∙∙∙(i2分)
又DE?
平面AiDE,所以平面AiDE丄平面ACCiAi…(i4分)
【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
6.在四棱锥PABCD中,PC丄底面ABCD,M,N分别是PD,PA的中点,AC
IAD,∠ACD=∠ACB=60°PC=AC.
(i)求证:
PA丄平面CMN;
(2)求证:
AM//平面PBC.
【分析】
(1)推导出MNAD,PCIAD,ADIAC,从而AD丄平面PAC,进而
ADJPA,MNJPA,再由CNJPA,能证明PA丄平面CMN.
(2)取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,推导出MQPC,从而MQ//平面PBC,再求出AQ//平面,从而平面AMQ//平面PCB,由此能证明AM//平面PBC.
【解答】证明:
(1)∙∙M,N分别为PD、PA的中点,
/MN为ΔPAD的中位线,∙∙∙MNAD,
••PC丄底面ABCD,AD?
平面ABCD,/PCJAD,
又∙∙ADJAC,PC∩AC=C,/AD丄平面PAC,
∙∙AD_1PA,/MN_1PA,
又∙∙PC=AC,N为PA的中点,/CN_1PA,
∙∙MN∩CN=N,MN?
平面CMN,CM?
平面CMN,
∙∙PA丄平面CMN.
解
(2)取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,
∙∙MQ是ΔPCD的中位线,/∙MQ/PC,
又∙∙PC?
平面PBC,MQ?
平面PBC,/MQ//平面PBC,
∙∙ADIAC,∠ACD=60°°/∙∠DC=30°
/∙∠AQ=∠ADC=30°°/∙∠AC=∠ACQ=60°°
/∙∠CB=60°°∙∙AQ/BC,
∙∙AQ?
平面PBC,BC?
平面PBC,.'AQ//平WPBC,
∙∙MQ∩AQ=Q,∙∙∙平面AMQ//平面PCB,
••AM?
平面AMQ,/AM/平面PBC.
【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想,是中档题.
7.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD丄
(1)求证:
EF//平面PAD;
(2)求证:
面PAB丄平面PDC.
【分析】
(1)连接AC,则F是AC的中点,E为PC的中点,证明EFPA,利用直线与平面平行的判定定理证明EF//平面PAD;
(2)先证明CDJPA,然后证明PAJPD.利用直线与平面垂直的判定定理证明PA丄平面PCD,最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB丄面PDC.
【解答】证明:
(1)连接AC,由正方形性质可知,AC与BD相交于BD的中点F,F也为AC中点,E为PC中点.所以在△CPA中,EFIPA,
又PA?
平面PAD,EF?
平面PAD,
所以EFI平面PAD;
(2)平面PAD丄平面ABCD
平面PAD∩面ABCD=AD?
CD丄平面PAD?
CDJPA
正方形ABCD中CDIADPA?
平面PADCD?
平面ABCD又-_,.i,所以PA2+PD2=AD2
所以ΔPAD是等腰直角三角形,且.∙:
F二——,即PAJPD.
因为CD∩PD=D,且CD、PD?
面PDC
所以PA丄面PDC
又PA?
面PAB,所以面PAB丄面PDC.
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定的应用,考查逻辑推理能力.
【分析】
(1)取PB的中点G,连接FG、AG,证得底面ABCD为正方形•再由中位线定理可得FGAE且FG=AE,四边形AEFG是平行四边形,则AG/FE,运用线面平行的判定定理可得EF//平面PAB,点F与点E到平面PAB的距离相等,运用线面垂直的判定和性质,证得AD丄平面PAB,即可得到所求距离;
(2)运用线面垂直的判定和性质,证得BC丄平面PAB,EF丄平面PBC,再由面面垂直的判定定理,即可得证.
【解答】
(1)解:
如图,取PB的中点G,连接FG、AG,
因为底面ABCD为菱形,且PA=AD=2
所以底面ABCD为正方形.
∙∙E、F分别为AD、PC中点,
∙∙FG/C,AE/BC,,捉令AD,
∙∙FGAE且FG=AE,
•••四边形AEFG是平行四边形,∙∙∙AG/E,
∙∙AG?
平面PAB,EF?
平面PAB,/EF//平面PAB,
•••点F与点E到平面PAB的距离相等,
由PA丄平面ABCD,可得PAIAD,又AD⊥∖B,PA∩AB=A,
AD丄平面PAB,
则点F到平面PAB的距离为EA=I.
(2)证明:
由
(1)知AGJPB,AG/EF,
∙∙PA丄平面ABCD,∙∙BCJPA,
∙∙BCJAB,ABΓBC=B,/BC丄平面PAB,
由AG?
平面PAB,
∙∙BCJAG,又VPBΓBC=B,
∙∙AG丄平面PBC,/EF丄平面PBC,
∙∙EF?
平面PCE,
【点评】本题考查空间点到平面的距离,注意运用转化思想,考查线面平行和垂直的判定和性质,以及面面垂直的判定,熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键,属于中档题.
9.在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=ZADC=90°°
DC=2AB=2AD,BCJPD,E,F分别是PB,BC的中点.
求证:
(1)PC//平面DEF;
(2)平面PBC丄平面PBD.
C'
【分析】
(1)由中位线定理可得PC/EF,故而PC//平面DEF;
(2)由直角梯形可得BCJBD,结合BCJPD得出BC丄平面PBD,于是平面PBC丄平面PBD.
【解答】证明:
(1)∙∙E,F分别是PB,BC的中点,
••PCEF,
又PC?
平面DEF,EF?
平面DEF,
••PC//平面DEF.
(2)取CD的中点M,连结BM,
贝UAB匚DM,又ADIAB,AB=AD,
•四边形ABMD是正方形,
∙∙BMJCD,BM=CM=DM=I,BD^:
∙∙BC=J,
∙∙BD2+BC2=CD2,
∙∙BCJBD,又BCJPD,BDPPD=D,
∙∙BC丄平面PBD,
又BC?
平面PBC,•平面PBC丄平面PBD.
10.如图,在三棱锥ABCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且BD//平面AEF.
(1)求证:
EF//平ABD面;
(2)若AE丄平面BCD,BDXD,求证:
平面AEF丄平面ACD.
【分析】
(1)利用线面平行的性质可得BD/EF,从而得出EF//平面ABD;
(2)由AE丄平面BCD可得AEXD,由BDJCD,BD/F可得EFJCD,从而
有CD丄平面AEF,故而平面AEF丄平面ACD.
【解答】证明:
(1)∙∙BD//平面AEF,BD?
平面BCD,平面BCD∩平面AEF=EF,
∙∙BDEF,又BD?
平面ABD,EF?
平面ABD,
∙∙EF//平ABD面.
(2)∙∙AE丄平面BCD,CD?
平面BCD,
∙∙AEJCD,
由
(1)可知BD匸F,又BDXD,
∙∙EFXD,
又AEΓEF=E,AE?
平面AEF,EF?
平面AEF,
•CD丄平面AEF,又CD?
平面ACD,
•••平面AEF丄平面ACD.
【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质,面面垂直的判定,属于中档题.
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