高考数学二轮复习专题突破练22圆锥曲线中的最值范围证明问题理.docx
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高考数学二轮复习专题突破练22圆锥曲线中的最值范围证明问题理
专题突破练22 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1.(2018山东烟台二模,理20)已知圆C:
(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆上一动点,点E在线段FP上,点Q在半径CP上,且满足=2=0.
(1)当P在圆上运动时,求点Q的轨迹Γ的方程;
(2)设过点A(2,0)的直线l与轨迹Γ交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线交l于点M,与y轴交于点H,若=0,求点M横坐标的取值范围.
2.(2018河南六市联考一,理20)已知抛物线C:
x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是45°时,AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).
(1)求p的值;
(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧MN的长度为S,当直线l绕F点旋转时,求的最大值.
3.已知椭圆C:
=1(a>0)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:
N,F,Q三点在同一条直线上.
4.(2018全国卷3,理20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:
=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:
k<-;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:
||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.
5.椭圆E:
=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
6.
(2018山东潍坊一模,理20)如图,椭圆C:
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A,B,P为椭圆C上任一点(不与A,B重合).已知△PF1F2的内切圆半径的最大值为2-,椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l过点B且垂直于x轴,延长AP交l于点N,以BN为直径的圆交BP于点M,求证:
O,M,N三点共线.
参考答案
专题突破练22 圆锥曲线中
的最值、范围、证明问题
1.解
(1)由题意知,直线EQ为线段FP的垂直平分线,所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QF|=4>|CF|=2.
所以点Q的轨迹是以点C,F为焦点,焦距为4,长轴为4的椭圆,
所以a=2,c=1,b=,
故点Q的轨迹Γ的方程为=1.
(2)由题意直线l的斜率存在,设为k,于是直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0),
设B(x1,y1),联立
得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.
因为A(x1,y1),由根与系数的关系得2x1=,∴x1=,y1=,
设M的横坐标为x0,则M(x0,k(x0-2)),MH所在直线方程为y-k(x0-2)=-(x-x0),
令x=0,得yH=
k+
x0-2k,
于是=(1-x1,-y1)·(1,-yH)=0,即1-x1+y1yH=1-
k+
x0-2k
=0,
整理得x0=,
∵k2≠0,(0,1),
2.解 (1)F 0, l的倾斜角是45°时,l的方程为y=x+,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立得x2-2px-p2=0. 则x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB的中点为D p,p AB中垂线为y-p=-(x-p),把x=0代入得y=p=5,∴p=2. (2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0. |AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,AB中点为D(2k,2k2+1). 令∠MDN=2α(弧度),S=2α|AB|=α·|AB|,=α. ∴D到x轴的距离|DE|=2k2+1, ∴cosα==1-,当k2=0时,cosα取最小值,α的最大值为,故的最大值为 3. (1)解∵椭圆=1(a>0)的焦点在x轴上,∴a2>7-a2,即a2>,
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