概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理.docx
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概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
2010-2011
学年第一学期期末复习资料
概率论与数理统计期末复习重要知识点
第二章知识点:
1.离散型随机变量:
设X是一个随机变量,如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个,则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布:
(1)两点分布(0-1分布):
若一个随机变量X
P{X=x1}=p,P{X=x2}=1-p只有两个可能取值,且其分布为(0
则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布:
两点分布的期望:
(2)二项分布:
P{X=x1}=p,P{X=x2}=1-p(0
D(X)=p(1-p)
若一个随机变量X的概率分布由式
给出,则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).
两点分布的概率分布:
二项分布的期望:
(3)泊松分布:
P{x=k}=Cnp(1-p)kkn-kkkn-k,k=0,1,...,n.P{x=k}=Cnp(1-p),k=0,1,...,n.E(X)=np;二项分布的方差:
D(X)=np(1-p)
lk
P{X=k}=e
若一个随机变量X的概率分布为
数为l的泊松分布,记为X~P(l)-lk!
l>0,k=0,1,2,...,则称X服从参
P{X=k}=e
泊松分布的概率分布:
泊松分布的期望:
4.连续型随机变量:
-llkk!
l>0,k=0,1,2,...E(X)=l;泊松分布的方差:
D(X)=l
如果对随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数
F(x)=P{X£x}=f(x),使得对于任意实数x,有òx
-¥f(t)dt,则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数,
简称为概率密度函数。
2010-2011
学年第一学期期末复习资料
5.常用的连续型分布:
(1)均匀分布:
ì1ï,
若连续型随机变量X的概率密度为f(x)=íb-a
ï0,î
a ,则称X在区间(a,b)上服 从均匀分布,记为X~U(a,b) ì1,均匀分布的概率密度: f(x)=ïíb-a ï0,î a+b2 a 均匀分布的期望: (2)指数分布: E(X)= ;均匀分布的方差: D(X)= (b-a)12 2 ìle-lx f(x)=í î0若连续型随机变量X的概率密度为 x>0l>0 ,则称X服从参数为 l 的指数分布,记为X~e(l) x>0 ìle-lx f(x)=í î0指数分布的概率密度: l>0 指数分布的期望: (3)正态分布: E(X)= 1 l ;指数分布的方差: D(X)= 1 l 2 f(x)= - (x-m)2s 2 2 -¥ 若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为 m 和s 2 ms2 的正态分布,记为X~N(,) -(x-m)2s 22 f(x)= 正态分布的概率密度: 正态分布的期望: E(X)=m -¥ D(X)=s -x 2 2 ;正态分布的方差: (4)标准正态分布: m=0,s 2 =1 j(x)= , 2 f(x)= x-¥ e - t 2 2 dt 标准正态分布表的使用: (1) x<0 f(x)=1-f(-x) 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 X~N(0,1) P{a =P{a X~N(m,s),Y=2 (2)X-m (3) P{a 2Y=ms定理1: 设X~N(,),则X-ms~N(0,1) 6.随机变量的分布函数: 设X是一个随机变量,称 分布函数的重要性质: 0£F(x)£1 P{x1 x1 F(+¥)=1,F(-¥)=0F(x)=P{X£x}为X的分布函数。 7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布 (1)由X的概率分布导出Y的概率分布步骤: ①根据X写出Y的所有可能取值; ②对Y的每一个可能取值yi确定相应的概率取值; ③常用表格的形式把Y的概率分布写出 (2)由X的概率密度函数(分布函数)求Y的概率密度函数(分布函数)的步骤: ①由X的概率密度函数 ②由FY(y)fX(x)随机变量函数Y=g(X)的分布函数FY(y)求导可得Y的概率密度函数 (3)对单调函数,计算Y=g(X)的概率密度简单方法: 定理1设随机变量X具有概率密度 有fX(x)xÎ(-¥,+¥),又设y=g(x)处处可导且恒g(x)>0’ (或恒有g(x)<0’ ),则Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为 ìf[h(y)]|h’(y)|,fY(y)=íî0a a=min(g(-¥),g(+¥)),b=max(g(-¥),g(+¥)) 练习题: 2.4第7、13、14 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 总习题第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19 第三章重要知识点: (1)要会由X与Y的联合概率分布,求出X与Y各自概率分布或反过来;类似P63例2 (2)要会在X与Y独立的情况下,根据联合概率分布表的部分数据,求解其余数据; 类似P71例3 (3)要会根据联合概率分布表求形如 P{a (4)要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。 2.二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度: 设(X,Y)为二维随机变量,F(x,y)为其分布函数,若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对 x y F(x,y)= -¥-¥任意实数(x,y),有,则称(X,Y)为二维连续型随机变量。 (1)要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限; òò f(s,t)dsdt (2)要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y),以及形如率值;P64例3 P{X (3)(4) 要会根据联合概率密度求出 x,y 的边缘密度;类似P64例4 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。 3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质: 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 (1)ååijpij=1ò; (2)ò-¥+¥+¥-¥f(x,y)dxdy=1 要会根据这些性质解类似P68第5,6题。 4.常用的连续型二维随机变量分布 二维均匀分布: 设G是平面上的有界区域,其面积为A。 若二维随机变量(X,Y)具有概率 ìAf(x,y)=íî0密度函数 5.独立性的判断: (x,y)ÎG,则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 定义: 设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为 意实数x,y,有FX(x),FY(y),若对任P{X£x,Y£y}=P{X£x}P{Y£y} (1)离散型随机变量的独立性: ①由独立性的定义进行判断; ②所有可能取值(xi,yj),有P(X=xiY,=yj)=PX(=xP)Y(y=)ji,pij=pi.p.j则X与Y相互独立。 (2)连续型随机变量的独立性: ①由独立性的定义进行判断; ②联合概率密度f(x,y),边缘密度fX(x),fY(y) "x,y有f(x,y)=fX(x)fY(y)几乎处处成立,则X与Y相互独立。 (3)注意与第四章知识的结合 E(XY)=E(X)E(Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y) Cov(X,Y)=0 X与Y相互独立ÞrXY=0 E(XY)¹E(X)E(Y) D(X±Y)¹D(X)+D(Y) Cov(X,Y)¹0 因此rXY¹0ÞX与Y不独立。 6.相互独立的两个重要定理 定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立,即,对任意实数集A,B,有P{XÎA,YÎB}=P{XÎA}P{XÎB} 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 定理2如果随机变量X与Y独立,则对任意函数 (1)要求会使用这两个定理解决计算问题 练习题: 习题2-3第3、4题习题2-4第2题 习题3.2第5,7,8题 总习题三第4,9 (1)-(4),12,13 g1(x) , g2(y) 相互独立。 第四、五章知识点 设总体密度函数如下,x1,x2,...xn是样本,试求未知参数的矩估计值,最大似然估计值。 p(x;q,m)= (1) E(X)= 2 1 q x-m e - x-m q x>m,q>0 òm +¥ x 1 q x 2 e - q dx= x-m ò +¥0 t 1 q e - t q dt+ 2 ò 1 +¥0- 1 q t me - t q dt=q+m +¥0 E(X)= òm +¥ 1 q e - q dx= ò +¥0 (t+m) q 2 e q dt= ò t 2 1 q e - t q dt+ ò +¥0 2mt 1 q - t q dt+ ò +¥0 m 2 1 q - t q dt=2q+2mq+m 22 D(X)=E(X)-[E(X)]=q,由此可推出q= Ù 22 m=E(X)-, 从而参数q,m的矩估计值为q=s,m=x-s (2)似然函数为: L(q)=()exp{- qq 1 n 1 n å(x i=1 n i -m)},x (1)>m å(x 其对数似然函数为: lnL(q,m)=-nlnq- i=1 i -m) q 由上式可以看出,lnL(q,m)是m的单调增函数,要使其最大,m的取值应该尽可能的大, Ù 由于限制x (1)>m,这给出的最大似然估计值为m=x (1)将lnL(q,m)关于q求导并令其为0得到关于q的似然方程 n n i2 Ùi dlnL(q,m) dq =- n å(x + i=1 -m) Ù å(x i=1 -m) =x-x (1) qq =0,解得q= n 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 第四章重要知识点: 1.随机变量X数学期望的求法: ¥ (1)离散型E(X)=å i=1 (2)连续型E(X)=xipi;ò+¥-¥xf(x)dx 2.随机变量函数g(X)数学期望的求法: ¥ (1)离散型E(X)=åg i=1 (2)连续型E(X)=x(ip)i;ò+¥-¥g(x)f(x)dx 3.二维随机向量期望的求法: ¥¥ ij (1)离散型E[g(X,Y)]=ååg(x,y j=1i=1)pij; (2)连续型E[g(X,Y)=]ò 4.随机变量X方差的求法: +¥-¥ò+¥-¥g(x,y)f(x,y)dxdy (1)简明公式D(X)=E[X-E(X)]2=E(X2)-E(X)2 ¥ (2)离散型D(X)=å i=1x[i-EX (2)p]i (3)连续型D(X)=ò+¥ -¥[x-E(X)]f(x)dx2 5.随机变量X协方差与相关系数的求法: (1)简明公式Cov(X,Y)=E{[X-E(X)]}{[Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y) (2)离散型Cov(X,Y)= (3)连续型Co(vX,Y)= (4)rXY=åi,jx[-EX(i+¥-¥y)]j-[EY]p(ij)E(Y)]f(x,y)dxdyòò-¥+¥[-xE(X)]-[y 6.数学期望、方差、协方差重要的性质: (1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) (2)设X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)(3) 若X与Y相互独立,则D(X±Y)=D(X)+D(Y) 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 (4)D(CX)=C2D(X) (5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)若X与Y相互独立,则Cov(X,Y)=0 (7)若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立,当且仅当rXY=07. n维正态分布的几个重要性质: Xi (1)n维正态变量(X1,X2,...,Xn)的每个分量 ( i=1,2,...n)都是正态变量,反之, 若X1,X2,...,Xn都是正态变量,且相互独立,则(X1,X2,...,Xn)是n维正态变量。 (2)n维随机向量(X1,X2,...,Xn)服从n维正态分布的充分必要条件是X1,X2,...,Xn的任意线性组合均服从一维正态分布l1X1+l2X2+...+lnXn均服从一维正态分布(其中 l1,l2,...ln 不全为零)。 (3)若(X1,X2,...,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,...,Yk是Xj(j=1,2,...n)的线性函数,则(Y1,Y2,...,Yk)服从k维正态分布。 (4)设(X1,X2,...,Xn)服从n维正态分布,则“X1,X2,...,Xn相互独立”等价于“X1,X2,...,Xn两两不相关”练习题: 1.设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=í解: E(X)= E(X)= 2 +¥ +¥ +¥-¥2 ì24(1-x)y,0 10x0 ,求CovX(Y,)及rXY 3 òò -¥+¥-¥ xf(x,y)dxdy=24ò 10 ò x0 (1-x)xydydx= 2 òò 10 12(1-x)xdx= 4 3525 òò -¥xf(x,y)dxdy=24ò 2 ò (1-x)xydydx= 1 12(1-x)xdx= D(X)=E(X)-E(X)= 2 321 -()=5525 10 x0 2 同理 E(Y)= òò -¥ +¥+¥-¥ xf(x,y)dxdy=24òò (1-x)ydydx= 2 25 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 E(Y)= 2 òò -¥ +¥+¥-¥ 1 xf(x,y)dxdy=24ò x0 10 ò x0 (1-x)ydydx=415415 3 15 又因E(XY)= òò xy[24(1-x)y]dydx= -625 =275 从而Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 27525 23 rXY= == 2.习题4.3第10题8.中心极限定理 (1)定理4(棣莫佛—拉普拉斯定理)设随机变量 n X1,X2,...Xn,... 相互独立,并且都服从参数为p的两点分布,则对任意实数x, å 有limPn®¥ Xi-np £x}= ò x-¥ - t 2 2 dt=F(x) (2)定理3(独立同分布的中心极限定理)设随机变量 X1,X2,...Xn,... 相互独立,服从同一分布,且 n E(Xi)=m,D(Xi)=s 2 (i=1,2,...), åX 则limPn®¥ i -nm£x}= ò x-¥ 1- t 2 2 dt 练习题: 习题4-411题12题总习题四24,25,26题 第五章重要知识点 确定或求证统计量所服从的分布1.三大分布 22222 (1)c分布: : 设X1,X2,...Xn是取自总体N(0,1)的样本,称统计量c=X1+X2+...+Xn 服从自由度为n的c分布。 (2)t分布: 设X~N(0,1),Y~c(n),且X与Y相互独立,则称t=n的t分布。 22 (3)F分布: 设X~c(m),Y~c(n),且X与Y相互独立,则称F= 2 2 服从自由度为 X/mY/n 服从自由度 为(m,n)的F分布。 2.三大抽样分布 2 (1)设总体X~N(m,s),X1,X2,...,Xn是取自X的一个样本,X为该样本的样本均值, 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 则有X~N(m,s 2 /n),U= X-m ~N(0,1) (2)定理2设总体X~N(m,s2),X1,X2,...,Xn,是取自X的一个样本,X与S2为该样本的样本均值与样本方差,则有c 2 = n-1 s 2 S= 2 1 n s 2 å(X i=1 i -X)~c(n-1), 22 X与S相互独立 2 (3)定理3设总体X~N(m,s2),X1,X2,...,Xn,是取自X的一个样本,X与S2为该样本的样本均值与样本方差,则有c= 2 1 n s 2 å i=1 (Xi-m)~c(n),T= 2 2 ~t(n-1) 练习题: 1.设X1,X2...X2n是来自正态总体X~N(0,1)的样本,求统计量 Y= 2 解: 因为X1+X3+...+X2n-1~N(0,ns)X+X+...+X~N(0,1) Xi s ~N(0,1),i=1,2,...2n 2 由样本的独立性及c分布的定义,有( X2 s 再由样本的独立性以及t分布的定义,有 )+( 2 X4 s )+...+( 2 X2n s )~c(n) 22 X+X+...+XY= = ~t(n) 2.总习题五14题 3.求样本函数相关的概率问题 练习题: 习题5-32总习题五16、17 第六章重要知识点: 1.矩估计的求法: 设总体X的分布函数 F(x;q1,...,qk) 中含有k个未知参数的函数 q1,...,qk ,则 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 (1)求总体X的k阶矩 m1,...mk 它们一般都是 是这k个未知参数的函数,记为 (2)从 (1)中解得(3)再用 mi=gi(q1,...qk),i=1,2,...k qj=hj(m1,...mk),j=1,2,...k 的估计量 mi(i=1,2,...k) Ai 分别代替上式中的 mi ,即可得 qj(j=1,2,...k) 的估计信度,又分别称 信上限。 (2)单侧置信区间: 设q为总体分布的未知参数, 1-a q _ 与q为q的双侧置信下限与双侧置 X1,X2,...Xn - - 是取自总体X的一个样本,对给定的数 ,
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