小学奥数数论讲义2拆填数讲义适合一年级到四年级1.docx
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小学奥数数论讲义2拆填数讲义适合一年级到四年级1
拆填数专题
目标:
1.数阵图的三种解法:
找突破口,重叠与方程思想。
其中前两种方法是特例,随意练练,方程思想解数阵图是核心。
2.竖式拆填法:
找突破口与方程思想。
3.横式拆填发:
A类学生:
在B类基础上,掌握方程思想的解答过程,这类思想解答过程中包括了把问题转化为数学式子,结合条件讨论式子成立和数字成立的可能性,对学生探索问题,解决问题能力有很大提升。
B类学生:
掌握找突破口的方法即可,明确点任何问题,都有其特殊有规律地方,这个特殊有规律地方可能就是思考的突破口。
同时掌握观察和分类讨论的逻辑顺序:
大小顺序,前后顺序,不同相同等顺序。
选突破口的原则:
那个产生的分类讨论最少,就选哪个,哪个相对稳定就选哪个。
拆填数本身可能是一个磨练大脑的坑,题目没意义,除了练脑子外,似乎找不到价值。
其实不然,练习数阵图和数字拆填,尤其是其中的找特殊位置、方程思想和分类讨论,是对分析问题的锻炼。
这个难度几乎与大学接轨,触摸到数学的核心。
一、数阵图前身
【适合一年级】
数学解题的思想,发现问题,也就是在一群内容中,发现与众不同的地方,这个地方就是解决问题的突破口。
数阵图表现得最为明显。
例如右图所示。
在正方形空格里填上适当的数,使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都得34。
小结:
如右图所示。
把适当的数填到三角形的空圈里,使每条直线上3个圈中的数相加都是10。
小结:
例如右图,把3、4、6、7四个数填在四个空格里,使横行、竖行三个数相加都得14。
怎样填?
二、数阵模型一
【适合二年级】
特点:
有重叠。
解法:
因为重叠,所以解答的关键在重叠。
例如右图所示。
把1、2、3、4、5五个数填入五个圆圈里,要求分别满足以下条件:
(1)使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于8;
(2)使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于9;
(3)使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于10。
解答提示:
独立+联合,联合点是关键,联合点共有
小结:
例(圈再多点)如图所示。
把1、2、3、4、5、6、7七个数填在右图中的七个圆圈里,每个数只能用一次,使每条线上的三个数相加之和都等于12。
解答提示:
无论圈多少,关键在于公共位置,不在于圈的数量。
小结:
例(公共的圈多点)如图所示。
把1、2、3、4、5、6六个数分别填入右图的圆圈里,使三角形每条边上三个数之和都等于9。
解答提示:
公共的多了,多了怎么办,就跟一筐苹果,3个人分一样,大家根据实际情况来分,有时候平分,有时候看功劳来分,有时候看实际需求来分,怎么分谁说的定呢。
所以,圈多了,没关系,分分就好
小结:
例(环环相扣)把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右图空白圆圈内,使每个大圆上四个小圆圈内的数的和都是29。
你能填吗?
解答提示:
一圈多次(≥3)重合,重合=一样,多次一样=平分
小结:
例(环环相扣,不扣一起)见图。
把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数分别填入圆圈里,使每个正方形的四个数相加之和都等于24。
解答提示:
只要重合,思路不变、
小结:
例见图。
把1、2、3、4、5、6、7填入右图圆圈中,使横行、竖行、斜行三个圆圈中的数相加之和都等于12。
小结:
三、数阵进阶
【适合二年级】
解决这类问题3种方法,一类是根据题目有选择性的找突破口;第二类是重叠法,针对超过3个重叠,方法无效;第三类是用方程的思想分类讨论,解决问题。
例重新按图9—10进行排列,使每边三张卡片上的数的和等于:
①13,②15.
例图是由八个小圆圈组成的,每个小圆圈都有直线与相邻的小圆圈相接连.请你把1、2、3、4、5、6、7、8八个数字分别填在八个小圆圈内,但相邻的两个数不能填入有直线相连的两个小圆圈(例如,你在最上头的一个小圆圈中填了5,那么4和6就不能填在第二层三个小圆圈中了).
例在图9—15,9—16中,只能用图中已有的三个数填满其余的空格,并要求每个数字必须使用3次,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都必须相等.
例图9—21是由四个三角形组成的,每个三角形上都有三个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填在九个小圆圈中,让每个三角形上的三个数之和都是15.
图9—22是由四个扁而长的圆圈组成的,在交点处有8个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填在8个小圆圈中.要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都等于18.
四.封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图
居然是解方程!
【适合四年】
例(封闭型数阵图)将1~8这八个自然数分别填入下图中的八个○内,使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填?
解答提示:
跟数的拆分一样,设定未知数,用未知数列方程组来思考问题。
无非把方程组做到极简单,搞定几个空,再拓展。
解答小结:
用方程思想,将问题转化为数学式子,解决数学式子解决问题。
核心:
对数字讨论。
例(辐射型数阵图)请你把1~7这七个自然数,分别填在下图
(1)的圆圈内,使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填?
解答提示:
跟数的拆分一样,设定未知数,用未知数列方程组来思考问题。
无非把方程组做到极简单,搞定几个空,再拓展。
只是讨论选择的点不同。
解答小结:
例(复合型数阵图)如下图
(1)所示,在每个小圆圈内填上一个数,使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.
解答提示:
跟数的拆分一样,设定未知数,用未知数列方程组来思考问题。
无非把方程组做到极简单,搞定几个空,再拓展。
只是讨论选择的点不同。
解答小结:
例(复合型数阵图)将1~16分别填入下图
(1)中圆圈内,要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34,图中已填好八个数,请将其余的数填完.
解答提示:
跟数的拆分一样,设定未知数,用未知数列方程组来思考问题。
无非把方程组做到极简单,搞定几个空,再拓展。
只是讨论选择的点不同。
解答小结:
五、有趣的数阵图(练)
【适合四年级】
解决这类问题3种方法,一类是根据题目有选择性的找突破口;第二类是重叠法,针对超过3个重叠,方法无效;第三类是用方程的思想分类讨论,解决问题。
本章节内容:
以练习巩固为主。
例下面图形包括六个加法算式,要在圆圈里填上不同的自然数,使六个算式都成立,那么最右边圆圈中的数最少是几?
例在下图中的各题中,将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中,要使每边上的数字之和都相等,中心处各有几种填法?
(每小题请给出一个解)
例在下左图的七个圆圈内各填上一个数,要求每条线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已填好两个数,求x是多少?
例将1~7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中,使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S,并指出这个定数S的取值范围,最小是多少,最大是多少?
并对S最小值填出数阵.
例把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中,使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.
例在一个立方体各个顶点上分别填入1~9这九个数中的八个数,使得每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等,并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.试求:
没有被标上的数字是多少?
并给出一种填数的方法.
例将1~8这八个数标在立方体的八个顶点上,使得每个面的四个顶点所标数字之和都相等.
例在下左图中,将1~9这九个数,填人圆圈内,使每个三角形三个顶点的数字之和都相等.
例在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内,填入1~9这九个自然数,使每一个正方形角上四个数字之和相等.
例将1~9这九个数字分别填入右图中的九个圆圈中,使各条边上的四个圆圈内的数的和相等.
例在右图的空白的区域内分别填上1、2、4、6四个数,使每个圆中的四个数的和都是15.
例将1~6六个自然数字分别填入下图的圆圈内,使三角形每边上的三数之和都等于定数S,指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.
例将1~10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内,使五边形每条边上的三数之和都相等,并使值尽可能大.
例将1~8填入上右图中圆圈内,使每个大圆周上的五个数之和为21.
七、幻方
【适合四年级】
解决这类问题3种方法,一类是根据题目有选择性的找突破口;第二类是重叠法,针对超过3个重叠,方法无效;第三类是用方程的思想分类讨论,解决问题
例将1~9这九个数,填入下左图中的方格中,使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等.
例在右图中的A、B、C、D处填上适当的数,使右图成为一个三阶幻方.
例将右图中的数重新排列,使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等.
例将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字,分别填入3×3阵列中的九个方格,使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍,第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.
八、加减法拆组
【适合一年级】
刚接触加减法拆分,主要还是以观察数的特征为主,从特殊点位置来解答问题。
例给你1、2、3、4、16、17、18、19这八个数,要求:
①把它们分成四组,使每组的两个数相加之和相等。
②再用这八个数组成如下的两个算式。
□+□-□=□
□+□-□=□
解答提示:
对这类题目一是要大胆尝试,边想边写,千万不要只想不写!
不断尝试,尝试的顺序无非就是:
大小顺序,加减顺序等等。
解题小结:
例在1、2、3、4、5、6、7之间放几个“+”号,使它们的和等于100,试试看。
1234567=100
解答提示:
对这类题目一是要大胆尝试,边想边写,千万不要只想不写!
不断尝试,尝试的顺序无非就是:
大小顺序,加减顺序等等。
解题小结:
例用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成五个数,使组成的两个两位数与三个一位数相加之和正好等于100,你能够办得到吗?
解答提示:
初级的竖式加减,解法两种,一类是方程思想,一年级显然没学,二就是观察尝试法,从特殊位置入手,所谓特殊位置:
首末位置+命题人故意放的特殊数。
解答小结:
人设计出来的,一定有漏洞,越特殊的地方,越是漏洞的地方。
九、竖式加减法
【适合三年级】
建议:
在解答竖式加减法问题时,以观察特点为主,解方程为辅,但是解方程的思路建议在此处就给学生讲讲,为后面的难度竖式加减准备。
例(基本问题)在下面算式的空格中,各填入一个合适的数字,使算式成立.
解答提示:
初级的竖式加减,解法两种,一类是方程思想,一年级显然没学,二就是观察尝试法,从特殊位置入手,所谓特殊位置:
首末位置+命题人故意放的特殊数。
练在下面算式的空格内各填入一个合适的数字,使算式成立。
解答提示:
初级的竖式加减,解法两种,一类是方程思想,一年级显然没学,二就是观察尝试法,从特殊位置入手,所谓特殊位置:
首末位置+命题人故意放的特殊数。
例(有条件拆填)用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字组成下面的加法算式,每个数字只许用一次,现已写出三个数字,请把这个算式补齐.
解答提示:
初级的竖式加减,解法两种,一类是方程思想,一年级显然没学,二就是观察尝试法,从特殊位置入手,所谓特殊位置:
首末位置+命题人故意放的特殊数。
有条件的竖式加减,需要在判定的时候,对附件条件判断讨论。
例(减法问题)在下面算式的空格内填上合适的数字,使算式成立。
练在下面的加法算式的空格内各填入一个合适的数字,使算式成立.
例(加减混合)在下面算式的空格内各填入一个合适的数字,使算式成立.
十、乘除法拆填数
【适合三年级】
解法同加减法拆填数,略
例(乘法)在右面算式的方框中填上适当的数字,使算式成立
例(除法)在右面算式的方框中填上适当的数字,使算式成立
十一、数字迷的拆填数(有条件的拆填数)
解答乘法有条件的拆填数问题两种思想方法:
一是观察发现特征,二是方程思想。
两类思想代表的思路和境界不同,对于A类学生两类都必须掌握,B类学生会发现特征即可。
B类学生解答此类问题,会比较困难。
除法的拆填数:
目前来看,发现特征是最简单的,方程思想相对复杂些,逆向方程解答也是可以的。
右面算式中每一个汉字代表一个数字,不同的汉字表示不同的数字.当它们各代表什么数字时算式成立?
例
例
例
例
例
练:
十二、填横式
【适合四年级】
找突破口:
大小顺序,前后顺序,难以顺序,特殊一般顺序等,原则:
那个分类讨论情况最少选哪个。
方程思想:
也不是所有题都容易解。
例将1~9这九个数字分别填入下面算式的九个□中,使每个算式都成立.
解答提示:
乘法是突破口,原因加减太多要思考,乘法需要分类讨论的比较少。
练:
将1~9分别填入下面算式的 中,使每个算式都成立,其中1,2,5已填出.
例将1~8这八个数字分别填入下面算式的□中,使每个算式都成立.
例(除法)将1~9这九个数字分别填入下面算式的空格内,其中有一个数字已经知道,每个空格内只许填一个数字,使算式成立:
练1~9这九个数字分别填入下面算式的空格中,每个空格只许填一个数字,使算式成立:
例(乘除法混合)下题是由1~9这九个数字组成的算式,其中有一个数字已经知道,请将其余的数字填入空格,使算式成立:
练:
是由1~9这九个数字组成的算式,请将这些数字填入空格,使算式成立.
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- 小学 数论 讲义 拆填数 适合 一年级 四年级