魔方速成法则.docx
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魔方速成法则.docx
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魔方速成法则
魔方总变化数的道理
魔方总的变化数为
或者约等于4.3·1019。
三阶魔方总变化数的道理是这样:
六个中心块定好朝向后,我们就不可以翻转魔方了,而他们也正好构成了一个坐标系,在这个坐标系里,8个角色块全排列8!
,而每个角色块又有3种朝向,所以是8!
*38,12个棱色块全排列每个有2种朝向是12!
*212,这样相乘就是分子,而分母上3*2*2的意义是,保持其他色块不动,不可以单独改变一个角色块朝向,改变一个棱色块朝向,和单独交换一对棱色块或一对角色块的位置。
第一个道理:
为什么不能单独翻转一个棱色块。
想象我们对6个中心色块定好了我们喜爱的方向,我们就定好了一个坐标系,这个坐标系的原点就是魔方的体中心。
坐标有明确的正负方向。
我们可以看见魔方的每一个棱色块都是有一条棱的(这不废话么,呵呵),对应于水平、前后、竖直x,y,z三个轴,分别有4条棱和他们每一个平行,我们把这4条棱都标上一个箭头,指向正的方向。
现在如果你有一个魔方可以这样做一下。
我们现在想象空间中有了这样一个坐标系,和12个箭头。
考虑任意面的旋转,(我这里不考虑3个中面的旋转,(因为,1,这样动了坐标系,2,中面的旋转可以等效两个侧面的旋转。
),这时我们不考虑魔方,和魔方的花色,把他看成透明的,我们只考虑箭头,每次任意面旋转90度,我们都会让2个箭头改变方向(由正变负),我们只看结果,不考虑转的过程,不区分箭头哪来的。
翻转一个面90度是魔方的原子操作,他只能同时改变2个箭头的方向。
所以我们最后不可能得到其他块不变只有1个箭头被翻转,也就是不可能只有一个棱色块被翻转。
第二个道理:
为什么不能单独翻转一个角色块。
这个问题说起来,首先需要澄清角色块的方向是如何定义的。
因为角色块会处在8个不同的位置,他的方向却只有3种,我怎么定义一个移动的坐标,又能准确标示出这3种方向变化呢?
我这里建议一种:
首先让你的视线穿过一个角色块的顶点和整个魔方的体中心,你会看到一个Y是不是?
以你的视线为轴,这个角色块可以旋转,他有3个位置。
如下:
0°
120°
240°
试试转一个侧面,看看色块在新的位置朝向是怎样的?
如果你转一个魔方的右侧面90度,你会发现最靠近你眼睛的那个角色块的朝向转过了120度。
盯住这个色块,再转一下,他转到下面来了,为了仍然呈现一个Y,我们这时可以将魔方底面翻上来,这时我们发现这个角色块又转回了0如此等等。
重点是,你观察任何一面的90度旋转,4个角色块,他们的朝向旋转过的角度总和一定是360度的整数倍,准确的说就是120+240+240+120。
因为,转一个面是最小的原子操作,所以无论经过怎样多少步的操作,我们所有角色块角度变化和都是360*n,所以我们不可能只将一个色块旋转120度或者240,而让其他色块不变化,也因此我们证明了为什么不能单独翻转一个角色块。
第三个道理:
为什么不能只对调一对色块。
首先我们考虑1234四个数的排列问题。
1234变成4123,是所有数向右推移一位的变换。
大家联想一下魔方,每转一个面90度,4个角,4个棱都是这种变换是吧。
1234变4123我以后简称(1234),其实也好记,就是1to2,2to3,3to4,4to1,要是(1432)就是1到4,4到3,3到2,2到1,就是向左推移。
(1234)是由几个"交换两个数"的变换组成的呢。
这里直接给出答案(1234)=(12)(13)(14),(12)的意思就是1到2,2到1。
具体说,我们看1234变化的过程是这样:
∙(12)2134
∙(13)3124
∙(14)4123
正好就是变换(1234)。
这样我们知道(1234)是经过奇数个交换得到的。
任何一个变换都可以由若干个两两交换得到。
因为对于一个目标排列如2413,我怎么做呢,这里面内在的道理就涉及群论的初步。
这可能叫做循环群,我不确定,因为我没看过书。
1234全排列有4!
=24个,而对1234的变换也有24种。
他们构成一个群。
什么是群?
一个群就是有一堆元素。
我们还需要一个运算"*"。
他们满足:
1.封闭性:
a和b是群里的元素,那么a*b也是。
2.存在元素e(其实就是类比乘法里的1)。
a*e=e*a=a
3.每个元素a都有唯一逆元a-1,a*a-1=a-1*a=e
4.结合律(a*b)*c=a*(b*c)
好像很boring,我每次看都觉得,但是今天自己写一遍就不觉得。
这里面,我是说这件bo不boring的事里面是有道理的。
需要指出的是通常群并不满足交换律。
满足交换律的叫做abel群(等于什么都没说)。
为啥我说对1234的24个变换构成一个群呢。
我说的24个变换就是对应了1234的24种排列,每个变换就是把1234变到其中的一种排列所使用的变换。
对于这些变换的运算"*"就是做变换的先后顺序,a*b就是先做a再做b。
∙首先1234是一个排列,他对应了一种变换,就是不变,我用
(1)来表示,他就是满足定义第二条的元素e。
∙封闭性,这是显然的,因为只有24种排列,和对应的变换,跑不出去。
∙逆元都是有的,就是把每步逆序然后取反,肯定都在这24个变换当中。
∙结合律看似挺麻烦,其实是显然的,因为(a*b)*c,a*(b*c)的意思都是先a再b再c。
这样他们构成了一个群,
sowhat?
其实我现在也不好说构成了一个群就怎么样。
我只是说我可以用群的一些性质。
知道这个结构的一些特点了。
也可以用分析群的一些视角,一些想法来分析这个系统。
首先我们看这24个变换。
∙
(1),偶
∙(12),(13),(14),(23),(24),(34),奇
∙(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)偶
这是15个,还剩9个,如果不明白什么意思,看前面,我说一个(243)意思是2到4,4到3,3到2,他把1234的1不动,234三个数字轮换的向左推移一位变成1342。
还有显然的
∙(1234),(1432),奇
∙(14)(23),(13)(24),(12)(34)偶
还剩4个他们是
∙(13)(12)(24),(12)(14)(13),(14)(23)(12),(13)(24)(12)奇
我们叫有奇数个两两交换组成的变换为奇变换,反之为偶变换,其实就是把群元素标出奇偶性。
我们看到两个奇变换运算得到偶变换,而两个偶变换运算永远得不到奇数变换。
这样偶变换事实上构成了一个子群。
也就是说他们做运算是封闭的。
他们是
∙
(1),偶
∙(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)偶
∙(14)(23),(13)(24),(12)(34)偶
这12个元素构成了一个子群。
我好像想错了一些事情,呵呵。
不过前面写出的都是正确的。
我可能以后会用到回到为什么不能只对调一对色块。
为什么?
因为一个原子操作,将一个面旋转90度,将4个角做了(1234)或(1432)是一个3个交换的奇变换,4个棱同样是3个交换的奇变换,这样他对所有的色块做的变换总的效果是一个偶变换。
所以对于所有色块的排列,我们能够达成的都是偶变换,而只对调一对色块是一个奇变换。
不可能达成。
因此,我们证明了为什么不能只对调一对色块。
相关的问题(待发展)
(1)如果我翻转一个角色块一定使魔方不可解,那么我翻转2个会怎么样?
(2)同样的问题,我同时翻转两个棱色块会怎么样?
答案:
(1)2个角色块翻法有9种,其中有3种是可解的。
什么样的3种是可解的?
是(0,0),(120,240),(240,120),其他6种组合一定不可解。
但是这里面还有一个问题,我只是说这3种组合是可能可解的,没说必可解。
因为我现在只是说明了,总和为360度为可解的必要条件,并非充分条件,但是事实证明这三种就是必然可解的。
证明我还没想的太清楚。
(2)同时翻任何两个棱色块都是可解的。
因为2个棱翻转有4种可能,00,11,01,10,既然01,10不可解,00可解,11是可能有解的,事实证明也是一定有解的。
感谢本站网友Cielo给我提供证明的方法,下面我简单复述一下。
00,当然有解,为什么11一定有解呢?
可以这样证明,如果这两个被翻转的棱在同一个面上,我们就可以用高级玩法第二页的oll-39和oll-40,以及后面的pll的算法将其搞定,如果不在一个平面上,我们总可以用一步将其变到一个平面上,同样应用上面的过程,因为上面的过程相当于只是翻转了两个棱,而其他的色块都没有变动,所以最后加一步还原就行了。
这样我们就证明了任意翻转两个棱,一定就可以还原。
同理对于上面第一个问题,(0,0),(120,240),(240,120)为什么一定可解?
还是把被翻转的两个角凑到一个平面上,然后应用里的oll35-37算法,就可以将其翻转,然后再用刚才凑到一平面上的逆算法将其还原就ok了。
对于任意交换一对角或者一对棱,不可以还原,那么任意交换两对为什么就一定可以还原呢?
还是一样的道理,我们只需用几步准备算法把这几个要交换的棱色块变到一个面上,然后用pll算法将其交换,因为pll算法交换这些色块的同时,对其他色块一点影响也没有,所以我们就可以用开始准备算法的逆算法还原回去,这样也就证明了任意交换两对色块,就是一定可以还原的。
此页暂时借用魔方吧小白同志的标记图解,多谢多谢:
)
基本上很简单,大写的字母R,U之类就是转某个面,小写的r,u等就是同时转两层,带'就是逆时针转。
x、y、z就是整个魔方转,具体怎么转比较绕一点,x、y、z分别为水平,竖直和前后轴,标记x、y、z就是分别围着这三个轴顺时针转90°,加'就是逆时针。
具体碰到了大家也别自己想,看看动画就明白了,还是感性认识比较好。
另外括号的意思就是这几个动作是一组,可以很连贯很顺手的一起做,括号外面有个2就是括号里面的步骤做两次,大家再有不明白的看动画就行了。
有下划线的U'是用左手食指(其实我发现很多没有下划线的也得用左手食指,大家不用拘泥,具体可以参考视频),斜体的U'或者F'是用右手拇指。
具体的见下面的图解。
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