届高三数学第一轮知识点课后强化训练题37.docx
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届高三数学第一轮知识点课后强化训练题37
基础达标检测
一、选择题
1.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )
A.-37B.-29
C.-5D.以上都不对
[答案] A
[解析] f′(x)=6x(x-2),
∵f(x)在(-2,0)上为增加的,在(0,2)上为减少的,
∴当x=0时,f(x)=m最大,
∴m=3,f(-2)=-37,f
(2)=-5.
2.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像最有可能是( )
[答案] C
[解析] 由y=f′(x)的图像易知当x<0或x>2时,f′(x)>0,故函数y=f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增;当0 3.已知定义域为R的函数f(x)满足: f(4)=-3,且对任意x∈R总有f′(x)<3,则不等式f(x)<3x-15的解集为( ) A.(-∞,4)B.(-∞,-4) C.(-∞,-4)∪(4,+∞)D.(4,+∞) [答案] D [解析] 方法一(数形结合法): 由题意知,f(x)过定点(4,-3),且斜率k=f′(x)<3. 又y=3x-15过点(4,-3),k=3. ∴y=f′(x)和y=3x-15在同一坐标系中的草图如图, ∴f(x)<3x-15的解集为(4,+∞),故选D. 方法二: 记g(x)=f(x)-3x+15, 则g′(x)=f′(x)-3<0, 可知g(x)在R上为减函数. 又g(4)=f(4)-3×4+15=0, ∴f(x)<3x-15可化为f(x)-3x+15<0, 即g(x) 4.若函数f(x)= sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.仅有最大值的偶函数 C.既有最大值又有最小值的偶函数 D.非奇非偶函数 [答案] C [解析] f(x)=sinxcosx+sinx,则f′(x)=cosxcosx+sinx·(-sinx)+cosx=cos2x-sin2x+cosx=2cos2x+cosx-1,显然f′(x)是偶函数,又因为cosx∈[-1,1],所以函数f′(x)既有最大值又有最小值. 5.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)= 在区间(1,+∞)上一定( ) A.有最小值B.有最大值 C.是减少的D.是增加的 [答案] D [解析] ∵f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,∴a<1. ∴g(x)= =x+ -2a, 则g′(x)=1- = . ∵x∈(1,+∞),a<1,∴x2-a>0,即g′(x)>0. ∴g(x)在(1,+∞)上是增加的. 6.(文)如图,某农场要修建3个养鱼塘,每个面积为10000m2,鱼塘前面要留4m的运料通道,其余各边为2m宽的堤埂,则占地面积最少时,每个鱼塘的长、宽分别为( ) A.长102m,宽 mB.长150m,宽66m C.长、宽均为100米D.长150m,宽 m [答案] D [解析] 设鱼塘长、宽分别为ym、xm,依题意xy=10000. 设占地面积为S,则S=(3x+8)(y+6) =18x+ +30048, 令S′=18- =0,得x= .此时y=150. (理)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位: 太贝克)与时间t(单位: 年)满足函数关系: M(t)=M02- ,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年),则M(60)=( ) A.5太贝克B.75ln2太贝克 C.150ln2太贝克D.150太贝克 [答案] D [解析] 本题考查导数在生活中的应用. M′(t)=- ln2·2- ,∴M′(30)=- ln2=-10ln2,∴M0=600,∴M(t)=600·2- , ∴M(60)=600·2-2=150. 二、填空题 7.函数f(x)=x2-2lnx的最小值为________. [答案] 1 [解析] 由f′(x)=2x- =0,得x2=1.又x>0,所以x=1.因为0 (1)=1. 8.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=________. [答案] 32 [解析] 令f′(x)=3x2-12=0, 得x=-2或x=2, 列表得: 可知M=24,m=-8,∴M-m=32. 9.在直径为d的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁,则矩形面的长为________.(强度与bh2成正比,其中h为矩形的长,b为矩形的宽) [答案] d [解析] 下图为圆木的横截面, ∵b2+h2=d2, ∴bh2=b(d2-b2). 设f(b)=b(d2-b2),∴f′(b)=-3b2+d2. 令f′(b)=0,由于b>0,∴b= d,且在(0, d]上f′(b)>0,在[ d,d)上,f′(b)<0. ∴函数f(b)在b= d处取得极大值,也是最大值, 即抗弯强度最大,此时长h= d. 三、解答题 10.设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值; (2)讨论g(x)与g( )的大小关系; (3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)< 对任意x>0成立. [解析] (1)g′(x)= ,由g′(x)>0,得g(x)的单调增区间为(1,+∞);由g′(x)<0,得g(x)的单调减区间为(0,1).因此x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点.所以g(x)min=g (1)=1. (2)设h(x)=g(x)-g( ),则h′(x)=- , h′(x)≤0,∴h(x)在(0,+∞)上为减函数. 当x=1时,h (1)=0,即g(x)=g( ); 当0 (1)=0,即g(x)>g( ); 当x>1时,h(x) (1)=0,即g(x) ). (3)由 (1)知g(x)的最小值为1,所以g(a)-g(x)< ,对任意x>0成立⇔由g(a)-1< ,得0 能力强化训练 一、选择题 1.(2013·新课标Ⅱ)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( ) A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞) C.(0,+∞)D.(-1,+∞) [答案] D [解析] 由题意得,a>x-( )x (x>0), 令f(x)=x-( )x,则f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)min>f(0)=-1,∴a>-1,故选D. 2.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( ) A.1B. C. D. [答案] D [解析] |MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h′(x)=2x- = ,显然x= 是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t= . 二、填空题 3.(2014·广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________. [答案] 4 [解析] (构造法)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立; 当x>0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥ - .设g(x)= - , 则g′(x)= , 所以g(x)在区间(0, ]上单调递增,在区间[ ,1]上单调递减, 因此g(x)max=g( )=4,从而a≥4. 当x<0,即x∈[-1,0)时,同理a≤ - . g(x)在区间[-1,0)上单调递增, ∴g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4.综上可知a=4. 4.已知函数f(x)= 在[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围为________. [答案] [e,+∞) [解析] f′(x)= = ,因为f(x)在[1,+∞)上为减函数, 故f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立, 即lna≥1-lnx在[1,+∞)上恒成立. 设φ(x)=1-lnx,φ(x)max=1,故lna≥1,a≥e. 三、解答题 5.设f(x)=- x3+ x2+2ax. (1)若f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.
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- 届高三 数学 第一轮 知识点 课后 强化 训练 37