排列组合的21种例题.docx

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排列组合的21种例题

高考数学复习解排列组合题的21种策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1.相邻问题捆绑法:

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.

五人并排站成一排，如果

必须相邻且

在

的右边，那么不同的排法种数有

A、60种B、48种C、36种D、24种

2.相离问题插空法:

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种

3.定序问题缩倍法:

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.

五人并排站成一排，如果

必须站在

的右边（

可以不相邻）那么不同的排法种数是

A、24种B、60种C、90种D、120种

4.标号排位问题分步法:

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有

A、6种B、9种C、11种D、23种

5.有序分配问题逐分法:

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例5.

（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是

A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有

A、

种B、

种C、

种D、

种

6.全员分配问题分组法:

例6.

（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为

A、480种B、240种C、120种D、96种

7.名额分配问题隔板法:

例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

9.多元问题分类法：

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例9.

（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有

A、210种B、300种C、464种D、600种

（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

10.交叉问题集合法：

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

.

例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

11.定位问题优先法：

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

12.多排问题单排法:

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.

例12.

（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是

A、36种B、120种C、720种D、1440种

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

抽取两类混合元素不能分步抽.

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

A、140种B、80种C、70种D、35种

14.选排问题先取后排:

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

例14.

（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

15.部分合条件问题排除法:

在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

例15.

（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有

A、70种B、64种C、58种D、52种

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

A、150种B、147种C、144种D、141种

16.圆排问题线排法:

把

个不同元素放在圆周

个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列

个普通排列：

在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，

个元素的圆排列数有

种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的

元素全排列.

例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

17.可重复的排列求幂法:

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地

个不同元素排在

个不同位置的排列数有

种方法.

例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

18.复杂排列组合问题构造模型法:

例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:

例20.

（1）30030能被多少个不同偶数整除？

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

21.利用对应思想转化法:

对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例21.

（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？

（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从

到

的最短路径有多少种？