2020年山东省日照市高三一模数学试题(含答案解析).docx
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2020年山东省日照市高三一模数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知复数z满足z(1+2i)=i,则复数在复平面内对应点所在的象限是()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合,,则().
A. B. C. D.
3.南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:
“幂势既同,则积不容异”.其含义是:
夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为,则“总相等”是“相等”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知圆,直线.若直线上存在点,以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点,则的取值范围()
A. B.
C. D.
5.当时,在同一坐标系中,函数与的图像是()
A. B.
C. D.
6.已知定义在上的函数,,,,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
7.已知函数和()图象的交点中,任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到的图象,只需把的图象()
A.向左平移1个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移1个单位 D.向右平移个单位
8.如图,在直角坐标系中,一个质点从出发沿图中路线依次经过,,,,按此规律一直运动下去,则()
A.2017 B.2018 C.2019 D.2020
二、多选题
9.为了解运动健身减肥的效果,某健身房调查了20名肥胖者,测量了他们的体重(单位:
千克).健身之前他们的体重情况如三维饼图
(1)所示,经过半年的健身后,他们的体重情况如三维饼图
(2)所示,对比健身前后,关于这20名肥胖者,下面结论正确的是()
A.他们健身后,体重在区间内的人数不变
B.他们健身后,体重在区间内的人数减少了2个
C.他们健身后,体重在区间内的肥胖者体重都有减轻
D.他们健身后,这20位肥胖着的体重的中位数位于区间
10.为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都西安游学.在某景区,由于时间关系,每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览,高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的入选.据了解,若只游览甲、乙两个景点,有18人会选择甲,若只游览乙、丙两个景点,有19人会选择乙,那么关于这轮投票结果,下列说法正确的是()
A.该班选择去甲景点游览 B.乙景点的得票数可能会超过9
C.丙景点的得票数不会比甲景点高 D.三个景点的得票数可能会相等
11.若定义在上的函数满足,其导函数满足,则下列成立的有()
A. B.
C. D.
12.已知双曲线,不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点,,(在轴上方,在轴下方),与双曲线渐近线交于点,(在轴上方),为坐标原点,下列选项中正确的为()
A.恒成立
B.若,则
C.面积的最小值为1
D.对每一个确定的,若,则的面积为定值
三、填空题
13.已知向量,,若,则__________.
14.展开式中的常数项为__________.
15.若点在平面外,过点作面的垂线,则称垂足为点在平面内的正投影,记为.如图,在棱长为的正方体中,记平面为,平面为,点是棱上一动点(与不重合),,.给出下列三个结论:
①线段长度的取值范围是;②存在点使得平面;③存在点使得.其中正确结论的序号是_______.
四、双空题
16.直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,则__________,的最小值是__________.
五、解答题
17.的内角,,的对边分别为,,,且满足.
(1)求的值;
(2)若,,求的面积.
18.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知等差数列的公差,前项和为,若_______,数列满足,,.
(1)求的通项公式;
(2)求的前项和.
19.如图,已知四边形为等腰梯形,为正方形,平面平面,,.
(1)求证:
平面平面;
(2)点为线段上一动点,求与平面所成角正弦值的取值范围.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为,,以为圆心过椭圆左顶点的圆与直线相切于,且满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点,,问内切圆面积是否有最大值?
若有,求出最大值;若没有,说明理由.
21.每年的3月12日是植树节,某公司为了动员职工积极参加植树造林,在植树节期间开展植树有奖活动,设有甲、乙两个摸奖箱,每位植树者植树每满30棵获得一次甲箱内摸奖机会,植树每满50棵获得一次乙箱内摸奖机会,每箱内各有10个球(这些球除颜色外全相同),甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球,其中个红球,个黄球,5个黑球,乙箱内有4个红球和6个黄球,每次摸一个球后放回原箱,摸得红球奖100元,黄球奖50元,摸得黑球则没有奖金.
(1)经统计,每人的植树棵数服从正态分布,若其中有200位植树者参与了抽奖,请估计植树的棵数在区间内并中奖的人数(结果四舍五入取整数);
附:
若,则,
.
(2)若,某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会,求中奖金额(单位:
元)的分布列;
(3)某人植树100棵,有两种摸奖方法,
方法一:
三次甲箱内摸奖机会;
方法二:
两次乙箱内摸奖机会;
请问:
这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
22.已知函数在点处的切线方程为.
(1)求,;
(2)函数图像与轴负半轴的交点为,且在点处的切线方程为,函数,,求的最小值;
(3)关于的方程有两个实数根,,且,证明:
.
试卷第7页,总7页
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参考答案
1.D
【分析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,求出的坐标得答案.
【详解】
解:
由,得,所以
复数在复平面内对应的点的坐标为,在第四象限.
故选:
D.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.
2.B
【分析】
首先求出集合,然后再利用集合的交运算即可求解.
【详解】
由集合,,
所以.
故选:
B
【点睛】
本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法,属于基础题.
3.A
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义,结合祖暅原理进行判断即可.
【详解】
根据祖暅原理,当总相等时,相等,所以充分性成立;
当两个完全相同的四棱台,一正一反的放在两个平面之间时,此时体积固然相等但截得的面积未必相等,所以必要性不成立.
所以“总相等”是“相等”的充分不必要条件.
故选:
A
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断,属于基础题.
4.C
【分析】
由已知可得直线上存在点,使得,转化为圆心到直线的距离,求解即可.
【详解】
直线上存在点,以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点,
则,只需,
即圆的圆心到直线的距离,
或.
故选:
C.
【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,考查计算求解能力,属于基础题.
5.D
【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性,判断出正确选项.
【详解】
由于,所以为上的递减函数,且过;为上的单调递减函数,且过,故只有D选项符合.
故选:
D.
【点睛】
本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断,考查函数图像的识别,属于基础题.
6.D
【分析】
根据函数的解析式,求得函数为奇函数,化简,再结合函数的单调性,即可求解.
【详解】
由题意,定义在上的函数的定义域为,关于原点对称,
且,所以函数为奇函数,
所以
又由当时,结合初等函数的性质,可得函数为单调递增函数,
又由对数的运算性质可得,
所以,即.
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的综合应用,其中解答中熟记函数的奇偶性的转化思想,以及熟练应用函数的单调性及对数函数的图象与性质是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
7.A
【分析】
如图所示,计算得到,取靠近原点的三个交点,,,,得到,故,根据平移法则得到答案.
【详解】
如图所示:
,故,.
取靠近原点的三个交点,,,,
为等腰直角三角形,故,故,
故,,
故为了得到的图象,只需把的图象向左平移1个单位.
故选:
.
【点睛】
本题考查了三角函数图像,三角函数平移,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
8.C
【分析】
由已知点坐标,得出的前8项,归纳出数列项的规律,即可求解.
【详解】
由直角坐标系可知,
,,,,
,,即,,
,,,,,,…,
由此可知,数列中偶数项是从1开始逐渐递增的,
且都等于其项数除以2,每四个数中有一个负数,
且为每组的第三个数,每组的第一个数为其组数,
每组的第一个数和第三个数是互为相反数,
因为,则,所以
,,,
.
故选:
C.
【点睛】
本题考查归纳推理问题,关键是找到规律,属于基础题.
9.ACD
【分析】
根据饼图分别求出20名肥胖者在健身前和健身后在各区间体重的人数,逐项验证,即可得出答案.
【详解】
图
(1)中体重在区间,,
内的人数分别为8,10,2;
图
(2)中体重在区间,,
内的人数分比为为6,8,6;
故选:
ACD.
【点睛】
本题考查识图能力,考查统计知识,准确理解图形是关键,属于基础题.
10.AC
【分析】
根据已知可得出游览两个景点时乙和丙选择的人数,得出游览三个景点时,选择乙和丙的人数的范围,即可得出结论.
【详解】
由已知只游览甲、乙两个景点,有18人会选择甲,则选择乙的为9人,
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时,选择乙的小于等于9人;
若只游览乙、丙两个景点,有19人会选择乙,则选择丙的为8人,
则若在甲、乙、丙只游览一个景点时,选择丙的小于等于8人,
所以选择甲的一定大于等于10人.
故选:
AC.
【点睛】
本题以数学文化为背景,考查推理与证明,属于基础题.
11.AC
【分析】
构造函数由已知可得在R上单调递增,利用单调性对各个选项进行分析判断即可.
【详解】
根据题意设其导数为
由知在R上单调递增,
对于A,由函数单调性得即,即,即,又由,则,必有,故A正确,B错误;
对于C,,则,则有,即,即,故C正确,D错误;
故选:
AC
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性,常用解题方法构造新函数,考查学生推理能力和计算能力,属于中档题.
12.ABD
【分析】
对于A选项,设直线方程为,分别与双曲线方程以及双曲线的渐近线方程联立,求出中点坐标,并判断是否相等即可;对于B选项,由,得到,结合A选项的结果,即可判断选项B是否正确;对于C选项,设直线方程为,,直线分别与渐近线方程联立,求出坐标,进而求出的面积,根据的范围,求出的面积的范围即可;对于D选项,由已知可得,利用选项A的方程,得到关系,求出的面积即可.
【详解】
设,代入得,①
显然,,即,
设,,则,是方程①的两个根,
有,,
设,,由得,
由,得;
所以,所以和的中点重合,
所以,所以恒成立.故A正确.
因为和的中点重合为,所以,
又,所以,
所以,故B正确.
设直线方程为,,
由得,由得,
,,,
,故C错误.
因为,所以,得
,即,
所以,,又,,,
所以是定值.故D正确.
故
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