平面向量的概念及线性运算.docx

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平面向量的概念及线性运算

§5.1　平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）

平面向量是自由向量

零向量

长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±

平行向量

方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a＋b＝b＋a.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（　×　）

（2）|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．（　√　）

（3）已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.（　×　）

（4）△ABC中，D是BC中点，则

＝

（

＋

）．（　√　）

（5）向量

与向量

是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（　×　）

（6）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（　√　）

2．（2012·四川）设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使

＝

成立的充分条件是（　　）

A．a＝－bB．a∥b

C．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|

答案　C

解析　

表示与a同向的单位向量，

表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有

＝

，观察选项易知C满足题意．

3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2

＋

＋

＝0，那么（　　）

A.

＝

B.

＝2

C.

＝3

D．2

＝

答案　A

解析　由2

＋

＋

＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故

＝

.

4．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足

＋

＋

＝0，

＝λ

，则实数λ的值为________．

答案　－2

解析　如图所示，由

＝λ

，且

＋

＋

＝0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此

＝－2

，则λ＝－2.

5．设a、b是两个不共线向量，

＝2a＋pb，

＝a＋b，

＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________．

答案　－1

解析　∵

＝

＋

＝2a－b，又A、B、D三点共线，

∴存在实数λ，使

＝λ

.即

，∴p＝－1.

题型一　平面向量的概念辨析

例1

　给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则

＝

是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是________．

思维启迪　正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键．

答案　②③

解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

②正确．∵

＝

，∴|

|＝|

|且

∥

，

又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则

∥

且|

|＝|

|，因此，

＝

.故“

＝

”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．

③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，

∴b，c的长度相等且方向相同，

∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是②③.

思维升华　

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．

（4）非零向量a与

的关系：

是a方向上的单位向量．

　给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

③λa＝0（λ为实数），则λ必为零．

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．

②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．

③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.

④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．

题型二　平面向量的线性运算

例2

（1）如图，正方形ABCD中，点E是

DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么

等于（　　）

A.

－

B.

＋

C.

＋

D.

－

（2）在△ABC中，

＝c，

＝b，若点D满足

＝2

，则

等于（　　）

A.

b＋

cB.

c－

b

C.

b－

cD.

b＋

c

思维启迪　结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键．

答案　

（1）D　

（2）A

解析　

（1）在△CEF中，有

＝

＋

.

因为点E为DC的中点，所以

＝

.

因为点F为BC的一个三等分点，所以

＝

.

所以

＝

＋

＝

＋

＝

－

，故选D.

（2）∵

＝2

，∴

－

＝

＝2

＝2（

－

），

∴3

＝2

＋

，

∴

＝

＋

＝

b＋

c.

思维升华　

（1）解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．

（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．

（1）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2

＋

＝0，则

等于（　　）

A．2

－

B．－

＋2

C.

－

D．－

＋

（2）设P是△ABC所在平面内的一点，

＋

＝2

，则（　　）

A.

＋

＝0B.

＋

＝0

C.

＋

＝0D.

＋

＋

＝0

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）由2

＋

＝0得2

＋2

＋

＋

＝0，

∴

＝－2

－

＝2

－

.

（2）如图，根据向量加法的几何意义有

＋

＝2

⇔P是AC的中点，故

＋

＝0.

题型三　共线向量定理及应用

例3

　设两个非零向量a与b不共线，

（1）若

＝a＋b，

＝2a＋8b，

＝3（a－b），求证：

A、B、D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

思维启迪　解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．

（1）证明　∵

＝a＋b，

＝2a＋8b，

＝3（a－b），

∴

＝

＋

＝2a＋8b＋3（a－b）

＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5

.

∴

、

共线，又∵它们有公共点B，

∴A、B、D三点共线．

（2）解　∵ka＋b与a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即ka＋b＝λa＋λkb.∴（k－λ）a＝（λk－1）b.

∵a、b是不共线的两个非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.

思维升华　

（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

（2）向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a、b不共线．

（1）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若

＝a，

＝b，则

等于（　　）

A.

a＋

bB.

a＋

b

C.

a＋

bD.

a＋

b

（2）已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于（　　）

A．aB．bC．cD．0

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）如图，

＝

＋

，由题意知，

DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，

∴

＝

，

∴

＝

a＋

b＋

（

a－

b）＝

a＋

b.

（2）∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①

又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②

由①得：

b＝λ1c－a.

∴b＋c＝λ1c－a＋c＝（λ1＋1）c－a＝λ2a，

∴

，即

，

∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.

方程思想在平面向量的线性运算中的应用

典例：

（12分）如图所示，在△ABO中，

＝

，

＝

，AD与BC相交于点M，设

＝a，

＝b.试用a和b表示向量

.

思维启迪　

（1）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．

（2）既然

能用a、b表示，那我们不妨设出

＝ma＋nb.

（3）利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．

规范解答

解　设

＝ma＋nb，

则

＝

－

＝ma＋nb－a＝（m－1）a＋nb.

＝

－

＝

－

＝－a＋

b.[3分]

又∵A、M、D三点共线，∴

与

共线．

∴存在实数t，使得

＝t

，

即（m－1）a＋nb＝t

.[5分]

∴（m－1）a＋nb＝－ta＋

tb.

∴

，消去t得，m－1＝－2n，

即m＋2n＝1.①　[7分]

又∵

＝

－

＝ma＋nb－

a＝

a＋nb，

＝

－

＝b－

a＝－

a＋b.

又∵C、M、B三点共线，∴

与

共线．[10分]

∴存在实数t1，使得

＝t1

，

∴

a＋nb＝t1

，

∴

，消去t1得，4m＋n＝1.②

由①②得m＝

，n＝

，∴

＝

a＋

b.[12分]

温馨提醒　

（1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．

（2）易错点是，找不到问题