数值计算方法答案.docx

数值计算方法答案.docx

《数值计算方法答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算方法答案.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数值计算方法答案

资料范本

本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载

数值计算方法答案

地点：

__________________

时间：

__________________

说明：

本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容

数值计算方法

习题一

（2）

习题二（6）

习题三（15）

习题四（29）

习题五（37）

习题六（62）

习题七（70）

2009．9，9

习题一

1．设>0相对误差为2%，求，的相对误差。

解：

由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

得

（1）时

；

（2）时

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）；

（2）；（3）。

解：

由教材关于型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：

3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算

（1）31.97+2.456+0.1352；

（2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：

（1）31.97+2.456+0.1352

=

=0.3457

（2）31.97+（2.456+0.1352）

=

=0.3456

易见31.97+2.456+0.1352=0.345612，故

（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？

解：

设该正方形的边长为，面积为，由

解得==0.5%

5．下面计算的公式哪个算得准确些？

为什么？

（1）已知，（A），（B）；

（2）已知，（A），（B）；

（3）已知，（A），（B）；

（4）（A），（B）

解：

当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。

故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。

（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。

故（B）算得准确些。

（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。

故（A）算得准确些。

（3）（A）中使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。

故（B）算得准确些。

（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。

故（B）算得准确些。

6．用消元法求解线性代数方程组

假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？

解：

使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为

（1）-

（2）得，即，把的值代入

（1）得；把的值代入

（2）得

解不满足

（2）式，解不满足

（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。

7．计算函数和处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。

哪个结果较正确？

解：

=

=

即，

而当时的精确值为1.6852，故的算法较正确。

8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：

（1）；

（2）。

解：

（1）=

（2）=

9．已知三角形面积，其中。

证明：

。

证明：

由自变量的误差对函数值的影响公式：

。

得

=

（当时，），命题得证。

习题二

1．找出下列方程在附近的含根区间。

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

解：

（1）设，则，，由的连续性知在内，=0有根。

同题

（1）的方法可得：

（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为；；

2．用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。

解：

令，则有，，，

所以函数在上严格单调增且有唯一实根。

本题中求根使得误差不超过，则由误差估计式

，所需迭代次数满足，即取便可，因此取。

用二分法计算结果列表如下：

由上表可知原方程的根

该问题得精确解为，故实际误差为

3．判断用等价方程建立的求解的非线性方程在1.5附近的根的简单迭代法的收敛性，其中

（A）；（B）；（C）

解：

取1.5附近区间来考察。

（A），显然当时，单调递减，而，，

因此，当时，。

又当时，，

由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。

（B），则，，

，

所以当时，。

又当时，，

由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。

（C），由于当时，有

，

所以对任意初值（原方程的根除外），迭代格式发散。

4．确定的简单迭代法的收敛区间。

如果收敛，试估计使精度达到时所需的迭代次数并进行计算。

（A）；（B）；（C）

解：

（A）方程为，设，则，

，故有根区间为，题中，

故迭代公式在含根区间内收敛。

（B）方程为，设，则，

，故有根区间为，题中，

故迭代公式在含根区间内收敛。

（C）方程为，设，则，

，故有含根区间，题中，

5．对下点列用埃特金方法加速。

解：

由埃特金加速公式计算，结果列下表：

6．令初值，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程的解。

解：

牛顿迭代法

，，满足，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为时迭代法收敛。

牛顿迭代格式为：

在第6部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化，故可取

双点弦割法

双点弦割法迭代格式为：

在第8部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化。

双点弦割法

双点弦割法迭代格式为：

以后，迭代点得小数点后11位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后11位

7．建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。

解：

牛顿迭代格式为：

令，因为当时，，，

故对于任何满足，

即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。

8．建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。

解：

牛顿迭代格式为：

令，因为当时，，

故对于任何满足，

即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。

9．判断用Newton迭代求解方程的收敛性。

解：

由，

当时，，，，要使Newton迭代法收敛对于初值，需满足，显然这样得初值是不存在的，故当时，Newton迭代法不收敛。

当时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当时，Newton迭代法也不收敛。

所以用Newton迭代求解方程不收敛。

10．写出求解方程的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性。

（1）；

（2）；（3）。

解：

牛顿迭代格式为：

解之得：

（1）当时，，，故迭代序列不收敛；

（2）当时，，，迭代序列收敛，但不收敛于方程的解；

（3）当时，，从而，，迭代序列收敛，且收敛于方程的解。

11．求分别用下列迭代格式求解方程时的收敛阶。

（1）Newton迭代格式；

（2）迭代格式。

解：

显然，否则没意义。

易知Newton迭代格式收敛于，又

（1）

Newton迭代格式的收敛阶为

（2）迭代格式

迭代格式的收敛阶为

12．当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组是否收敛？

若收敛，收敛于哪一个根？

（1）

（2）

解：

由下山Newton迭代格式

习题三

1．1分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）：

解：

高斯消元法：

=

高斯列选主元消元法

2．分别用高斯消元法和列选主元法解方程组

解：

高斯消元法

=

列选主元法

3.方程组Ax=b经过一次Gauss消元后,系数矩阵A=,变为,其中=为（n-1）（n-1）矩阵.其元素为

=-/,2,3,n.

证明下面结论:

（1）当A对称正定时,也对称正定;

（2）当A对角占优时,也对角占优.

证明:

（1）因为A对称,所以;

=-/==

故对称;

A正定,，又=

其中:

显然,非奇异;对任何x,有:

A正定,，正定;

又:

=而故正定;

当A对角占优时,

故对角占优

4.证明

（1）两个单位上（下）三角形矩阵的乘积仍为单位上（下）三角形矩阵;

（2）两个上（下）三角形矩阵的乘积仍为上（下）三角形矩阵.

证明:

（1）不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同

设AB=C其中:

当i

当时，

，所以,C为单位上三角矩阵

证明方法类似

（1）

5．证明单位上（下）三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上（下）三角形矩阵;

非奇异上（下）三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上（下）三角形矩阵;

证明:

……………………………………………………………………

6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组

（1）

解：

（2）

解：

（3）

解：

（4）

解

7．求解矩阵方程。

解；X==

8．用追赶法解线性代数方程组

。

解：

，，，

，

10证明等价关系：

证明：

又，所以

由Cauchy不等式知：

，所以：

综上说述，即证。

11证明由定义的|是中的范数。

证明：

显然：

且

任意常数

=||A||

||A+B||===+

12证明

证明：

对任何由于故

，因此，

另一方面：

设指标满足：

定义如下：

显然，=1

而且，

从而，

即成立：

综上得命题成立

13研究线形代数方程组的性态，并求精确解，设近似解，计算余量以及近似解的相对误差

解：

因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为：

条件数为4.0020e+003，远大于1。

所以其为病态的，其精确解为：

余量为：

r=

，，所以：

14．计算Hilbert矩阵

解：

先求出的逆矩阵

然后，计算得出：

15．求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解（取初始向量＝0）。

解：

（1）雅可比迭代式为：

，取

则

（2）雅可比迭代式为

取，则

16．若要求精度，仍用雅克比迭代求解15题，至少需迭代多少次？

解：

1）雅可比迭代矩阵为：

由公式知，需要10次迭代

（2）雅可比迭代矩阵为：

，同上，需要22次迭代。

17．求用高斯－塞德尔迭代求解15题的两次迭代解（取初始向量＝0）。

（1）高斯赛德迭代式

取，则

（2）高斯赛德迭代式

取则

18．求用SOR迭代（）求解15题的两次迭代解（取初始向量＝0）。

解：

（1）

k=0,1,

取，则

（2）k=0,1,

取则

19．设有线性代数方程组

判断雅克比迭代的收敛性；

判断高斯—塞德尔迭代的收敛性。

解：

（1）雅克比迭代矩阵

故雅克比迭代发散

（2）高斯—塞德尔迭代矩阵

==

，，故高斯—塞德尔迭代收敛

20．设矩阵A＝为二阶矩阵，且。

证明雅克比迭代和高斯－塞德尔迭代同时收敛或发散。

证明：

因为，所以

雅克比迭代矩阵

高斯－塞德尔迭代矩阵

，

所以，雅克比迭代和高斯－塞德尔迭代同时收敛或发散。

21．设线性代数方程组为

试用最速下降法求解（取初始向量＝，计算到）；

试用共轭梯度法求解（取初始向量＝）。

解：

（1）最速下降法

由和

K=0,1,2,3得0.5000

0.1667

0.5000

0.1667

（2）共轭梯度法

由

K=0,1得

，即为精确解

习题四

1.已知ln（2.0）=0.6931;ln（2.2）=0.7885,ln（2.3）=0.8329,

试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差

解：

线形插值：

取

=0.7410

抛物线插值：

=0.742

2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值

解：

解：

取

=

3.设函数f（x）在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f（a）=f（b）=0,

求证:

解：

取，

4.证明n次Lagrange插值多项式基函数满足

解：

取则

=0

所以即证

5.证明

证明：

、

取

则