八年级数学上册第二章实数知识点总结练习.docx
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八年级数学上册第二章实数知识点总结练习
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
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第二章:
实数
【无理数】
1.定义:
无限不循环小数的小数叫做无理数;注:
它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型:
(1)特殊意义的数,如:
圆周率以及含有的一些数,如:
2-,3等;
(2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):
如:
2.01001000100001…(两个1之间依次多1个0)等。
(3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如:
2-是无理数
(4)无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。
如2,
(5)开方开不尽的数,如:
等;应当要注意的是:
带根号的数不一定是无理数,如:
等;无理数也不一定带根号,如:
)
3.有理数与无理数的区别:
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;
(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
例:
(1)下列各数:
①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有____;是无理数的有___。
(填序号)
(2)有五个数:
0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有()个
【算术平方根】:
1.定义:
如果一个正数x的平方等于a,即,那么,这个正数x就叫做a的算术平方根,记为:
“”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。
例如32=9,那么9的算术平方根是3,即。
特别规地,0的算术平方根是0,即,负数没有算术平方根
2.算术平方根具有双重非负性:
(1)若有意义,则被开方数a是非负数。
(2)算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系:
算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。
因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:
;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:
。
例:
(1)下列说法正确的是()
A.1的立方根是;B.;(C)、的平方根是;(D)、0没有平方根;
(2)下列各式正确的是()
A、B、C、D、
(3)的算术平方根是。
(4)若有意义,则___________。
(5)已知△ABC的三边分别是且满足,求c的取值范围。
(6)(提高题)如果x、y分别是4-的整数部分和小数部分。
求x-y的值.
平方根:
1.定义:
如果一个数x的平方等于a,即,那么这个数x就叫做a的平方根;,我们称x是a的平方(也叫二次方根),记做:
2.性质:
(1)一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;
(2)0只有一个平方根,它是0本身;(3)负数没有平方根
例
(1)若的平方根是±2,则x= ;的平方根是
(2)当x时,有意义。
(3)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少?
这个正数是多少?
3.
(1)
(2)中,a可以取任意实数。
如
例:
1.求下列各式的值
(1)
(2)(3)
2.已知,那么a的取值范围是 。
3.已知2<x<3,化简 。
【立方根】
1.定义:
一般地,如果以个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)记为,读作,3次根号a。
如23=8,则2是8的立方根,0的立方根是0。
2.性质:
正数的立方根的正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。
立方根是它本身的数有0,1,-1.
例:
(1)64的立方根是
(2)若,则b等于
(3)下列说法中:
①都是27的立方根,②,③的立方根是2,④。
其中正确的有()A、1个B、2个C、3个D、4个
比较两个数的大小:
方法一:
估算法。
如3<<4方法二:
作差法。
如a>b则a-b>0.
方法三:
乘方法.如比较的大小。
例:
比较下列两数的大小
(1)
(2)
【实数】
定义:
(1)有理数与无理数统称为实数。
在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。
(2)实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质:
实数a的相反数是-a;实数a的倒数是(a≠0);实数a的绝对值|a|=,它的几何意义是:
在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则:
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:
即正数大于0,0大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。
(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。
对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算:
在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一
实数与数轴的关系:
每个实数与数轴上的点是一一对应的
(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
(2)数轴上的每个点都表示已个实数。
例:
(1)下列说法正确的是();
A、任何有理数均可用分数形式表示;B、数轴上的点与有理数一一对应;
C、1和2之间的无理数只有;D、不带根号的数都是有理数。
(2)a,b在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是()
A、B、C、D、
(3)比较大小(填“>”或“<”).
3,,,,
(4)数的大小关系是()
A.B.C.D.
(5)将下列各数:
,用“<”连接起来;______________________________________。
(6)若,且,则:
=。
【二次根式】
定义:
形如的式子叫做二次根式,a叫做被开方数
注意:
(1)从形式上看二次根式必须有二次根号“”,如是二次根式,而=3,3显然就不是二次根式。
(2)被开方数a可以是数,也可以是代数式。
若a是数,则这个数必须是非负数;若a是代数式,则这个代数式的取值必须是非负数,否则没有意义。
例:
下列根式是否为二次根式
(1)
(2)(3)(4)
二次根式的性质:
性质1:
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,运用这个性质也可以对二次根式进行化简。
性质2:
商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
最简二次根式:
被开方数中不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式。
例:
1.化简:
(1)
(2)(3)
2.计算:
3.已知:
,求代数式的值。
6.(提高题)观察下列等式:
回答问题:
①②
③,……
(1)根据上面三个等式的信息,请猜想的结果;
(2)请按照上式反应的规律,试写出用n表示的等式,并加以验证。
课后练习
一、重点考查题型:
1.-1的相反数的倒数是 2.已知|a+3|+=0,则实数(a+b)的相反数
3.数-3.14与-Л的大小关系是 4.和数轴上的点成一一对应关系的是
5.和数轴上表示数-3的点A距离等于2.5的B所表示的数是
6.在实数中Л,-,0,,-3.14,无理数有 个
7.一个数的绝对值等于这个数的相反数,这样的数是( )
(A)非负数 (B)非正数 (C)负数 (D)正数
8.若x<-3,则|x+3|= 。
9.下列说法正确是( )
(A)有理数都是实数(B)实数都是有理数
(B)带根号的数都是无理数 (D)无理数都是开方开不尽的数
10.实数在数轴上的对应点的位置如图,比较下列每组数的大小:
(1)c-b和d-a
(2)bc和ad
二、考点训练:
*1.判断题:
(1)如果a为实数,那么-a一定是负数;( )
(2)对于任何实数a与b,|a-b|=|b-a|恒成立;( )
(3)两个无理数之和一定是无理数;( )
(4)两个无理数之积不一定是无理数;( )
(5)任何有理数都有倒数;( )
(6)最小的负数是-1;( )
(7)a的相反数的绝对值是它本身;( )
(8)若|a|=2,|b|=3且ab>0,则a-b=-1;( )
2.把下列各数分别填入相应的集合里
-|-3|,21.3,-1.234,-,0,-,-,-,,(-)0,3-2,ctg45°,1.2121121112......中
无理数集合{ } 负分数集合{ }
整数集合{ } 非负数集合{ }
*3.已知1 4.下列各数中,哪些互为相反数? 哪些互为倒数? 哪些互为负倒数? -3,-1,3,-0.3,3-1,1+,3 互为相反数: 互为倒数: 互为负倒数: *5.已知x、y是实数,且(X-)2和|y+2|互为相反数,求x,y的值 6.a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是2, 求+4m-3cd=。 *7.已知=0,求a+b=。 三、解题指导: 1.下列语句正确的是( ) A、无尽小数都是无理数 B、无理数都是无尽小数 C、带拫号的数都是无理数 D、不带拫号的数一定不是无理数。 2.和数轴上的点一一对应的数是( ) A、整数 B、有理数 C、无理数 D、实数 2.零是( ) A、最小的有理数B、绝对值最小的实数 C、最小的自然数 D、最小的整数 4.如果a是实数,下列四种说法: (1)a2和|a|都是正数, (2)|a|=-a,那么a一定是负数, (3)a的倒数是,(4)a和-a的两个分别在原点的两侧,几个是正确的有个 *5.比较下列各组数的大小: (1) (2)a 6.若a,b满足=0,则的值是 *7.实数a,b,c在数轴上的对应点如图,其中O是原点,且|a|=|c| (1)判定a+b,a+c,c-b的符号 (2)化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8.数轴上点A表示数-1,若AB=3,则点B所表示的数为 9.已知x<0,y>0,且y<|x|,用"<"连结x,-x,-|y|,y。 10.最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么? 11.绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么? 12.把下列语句译成式子: (1)a是负数 ; (2)a、b两数异号 ;(3)a、b互为相反数 ; (4)a、b互为倒数 ;(5)x与y的平方和是非负数 ; (6)c、d两数中至少有一个为零 ;(7)a、b两数均不为0 。 *13.数轴上作出表示,,-的点。 四.独立训练: 1.0的相反数是 ,3-л的相反数是 ,的相反数是 ;-л的绝对值是 ,0 的绝对值是 ,-的倒数是 2.数轴上表示-3.2的点它离开原点的距离是 。 A表示的数是-,且AB=,则点B表示的数是 。 3 -,л,(1-)º,-,0.1313…,2cos60º,-3-1,1.101001000… (两1之间依次多一个0),其中无理数有 ,整数有 ,负数有 。 4.若a的相反数是27,则|a|=;5.若|a|=,则a= 5.若实数x,y满足等式(x+3)2+|4-y|=0,则x+y的值是 6.实数可分为( )A、正数和零B、有理数和无理数C、负数和零D、正数和
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- 八年 级数 上册 第二 实数 知识点 总结 练习
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