专题74 二次函数在实际应用中的最值问题解析版.docx
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专题74二次函数在实际应用中的最值问题解析版
专题74二次函数在实际应用中的最值问题
1、某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种水果每次降价的百分率;
(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x<15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?
(3)在
(2)的条件下,若要使第15天的利润比
(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?
【答案】
(1)10%;
(2),第10天时销售利润最大;(3)0.5.
【详解】
解:
(1)设该种水果每次降价的百分率是x,10(1﹣x)2=8.1,x=10%或x=190%(舍去).
答:
该种水果每次降价的百分率是10%;
(2)当1≤x<9时,第1次降价后的价格:
10×(1﹣10%)=9,∴y=(9﹣4.1)(80﹣3x)﹣(40+3x)=﹣17.7x+352,∵﹣17.7<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=1时,y有最大值,y大=﹣17.7×1+352=334.3(元);
当9≤x<15时,第2次降价后的价格:
8.1元,∴y=(8.1﹣4.1)(120﹣x)﹣(3x2﹣64x+400)=﹣3x2+60x+80=﹣3(x﹣10)2+380,∵﹣3<0,∴当9≤x≤10时,y随x的增大而增大,当10<x<15时,y随x的增大而减小,∴当x=10时,y有最大值,y大=380(元).
综上所述,y与x(1≤x<15)之间的函数关系式为:
,第10天时销售利润最大;
(3)设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元,由题意得:
380﹣127.5≤(4﹣a)(120﹣15)﹣(3×152﹣64×15+400),252.5≤105(4﹣a)﹣115,a≤0.5.
答:
第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元.
2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:
(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式;
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a的值.(日获利=日销售利润﹣日支出费用)
【答案】
(1)p=﹣30x+1500;
(2)这批农产品的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大;(3)a=2.
【详解】
(1)假设P与的一次函数关系,设函数关系式,
则,解得,
∴,
检验:
当,当当,均符合一次函数解析式
∴所求的函数关系式,
(2)设日销售利润,
即,
当时,有最大值为3000元,
故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大,
(3)日获利,
即,
对称轴这,
若,则当时,有最大值,即(不合题意),
若,则当时,有最大值,
把代入,可得,
当时,,
解得,(舍去),
综上所述,的值为2.
3、怡然美食店的A、B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元、18元,这两种菜品每天的营业额共为1120元,总利润为280元.
(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份;
(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份,如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少.
【答案】
(1)60;
(2)316.
【详解】
解:
(1)、设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份,
根据题意得:
,
解得:
,
答:
该店每天卖出这两种菜品共60份;
(2)、设A种菜品售价降0.5a元,即每天卖(20+a)份,总利润为w元,
因为两种菜品每天销售总份数不变,所以B种菜品卖(40﹣a)份,每份售价提高0.5a元.
则w=(20﹣14﹣0.5a)(20+a)+(18﹣14+0.5a)(40﹣a)
=(6﹣0.5a)(20+a)+(4+0.5a)(40﹣a)=(﹣0.5a2﹣4a+120)+(﹣0.5a2+16a+160)
=﹣a2+12a+280=﹣(a﹣6)2+316,
当a=6,w最大,w=316
答:
这两种菜品每天的总利润最多是316元.
4、“五一”期间,恒大影城隆重开业,影城每天运营成本为1000元,试营业期间统计发现,影城每天售出的电影票张数y(张)与电影票售价x(元/张)之间满足一次函数:
y=﹣4x+220(10≤x≤50,且x是整数),设影城每天的利润为w(元)(利润=票房收入﹣运营成本).
(1)试求w与x之间的函数关系式;
(2)影城将电影票售价定为多少元/张时,每天获利最大?
最大利润是多少元?
【答案】
(1)w=﹣4x2+220x﹣1000;
(2)影城将电影票售价定为27或28元/张时,每天获利最大,最大利润是2024元.
【详解】
(1)根据题意,得:
w=(﹣4x+220)x﹣1000=﹣4x2+220x﹣1000;
(2)∵w=﹣4x2+220x﹣1000=﹣4(x﹣27.5)2+2025,∴当x=27或28时,w取得最大值,最大值为2024,答:
影城将电影票售价定为27或28元/张时,每天获利最大,最大利润是2024元.
5、把函数的图象绕点旋转,得到新函数的图象,我们称是关于点的相关函数.的图象的对称轴与轴交点坐标为.
(1)填空:
的值为 (用含的代数式表示)
(2)若,当时,函数的最大值为,最小值为,且,求的解析式;
(3)当时,的图象与轴相交于两点(点在点的右侧).与轴相交于点.把线段原点逆时针旋转,得到它的对应线段,若线与的图象有公共点,结合函数图象,求的取值范围.
【答案】
(1);
(2);(3)或或
【详解】
解:
(1)
顶点围绕点旋转180°的对称点为,
,函数的对称轴为:
,
,
故答案为:
;
(2)时,
,
①当时,
时,有最小值,
时,有最大值,
则,无解;
②时,
时,有最大值,
时,有最小值,
(舍去);
③当时,
时,有最大值,
时,有最小值,
,
解得:
或2(舍去0),
故;
(3),
,
点的坐标分别为,
当时,越大,则越大,则点越靠左,
当过点时,,解得:
,
当过点时,同理可得:
,
故:
或;
当时,
当过点时,,解得:
,
故:
;
综上,故:
或或.
6、湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同,放养天的总成本为万元;放养天的总成本为万元(总成本=放养总费用+收购成本).
(1)设每天的放养费用是万元,收购成本为万元,求和的值;
(2)设这批淡水鱼放养天后的质量为(),销售单价为元/.根据以往经验可知:
与的函数关系为;与的函数关系如图所示.
①分别求出当和时,与的函数关系式;
②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元,求当为何值时,最大?
并求出最大值.(利润=销售总额-总成本)
【答案】
(1)a的值为0.04,b的值为30
(2)①y=t+15,y=t+30②当t为55天时,W最大,最大值为180250元
【详解】
(1)由题意得
解得
答:
a的值为0.04,b的值为30.
(2)①当0≤t≤50时,设y与t的函数关系式为y=k1t+n1
把点(0,15)和(50,25)的坐标分别代入y=k1t+n1,得
解得
∴y与t的函数关系式为y=t+15
当50<t≤100时,设y与t的函数关系式为y=k2t+n2
把点(50,25)和(100,20)的坐标分别代入y=k2t+n2,得
解得
∴y与t的函数关系式为y=t+30
②由题意得,当0≤t≤50时,
W=20000×(t+15)-(400t+300000)=3600t
∵3600>0,∴当t=50时,W最大值=180000(元)
当50<t≤100时,W=(100t+15000)(t+30)-(400t+300000)=-10t2+1100t+150000=-10(t-55)2+180250
∵-10<0,∴当t=55时,W最大值=180250
综上所述,当t为55天时,W最大,最大值为180250元.
7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m.设饲养室为长为x(m),占地面积为.
(1)如图,问饲养室为长x为多少时,占地面积y最大?
(2)如图,现要求在图中所示位置留2m的门,且仍使饲养室占地面积最大.小敏说:
“只要饲养室长比
(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
【答案】
(1)x=25;
(2)小敏的说法不正确.
【详解】
(1)∵=,∴当x=25时,占地面积y最大;
(2)=,∴当x=26时,占地面积y最大.即当饲养室长为26m时,占地面积最大.∵26-25=1≠2,∴小敏的说法不正确.
8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀.小张购进一批食材制作特色美食,每盒售价为50元,由于食材需要冷藏保存,导致成本逐日增加,第x天(1≤x≤15且x为整数)时每盒成本为p元,已知p与x之间满足一次函数关系;第3天时,每盒成本为21元;第7天时,每盒成本为25元,每天的销售量为y盒,y与x之间的关系如下表所示:
第x天
1≤x≤6
6<x≤15
每天的销售量y/盒
10
x+6
(1)求p与x的函数关系式;
(2)若每天的销售利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出第几天时当天的销售利润最大,最大销售利润是多少元?
(3)在“荷花美食”厨艺秀期间,共有多少天小张每天的销售利润不低于325元?
请直接写出结果.
【答案】
(1)p=x+18;
(2)第13天时当天的销售利润最大,最大销售利润是361元; (3)第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元.
【详解】
(1)设p=kx+b(k≠0),∵第3天时,每盒成本为21元;第7天时,每盒成本为25元,∴,解得:
,所以p=x+18;
(2)1≤x≤6时,w=10[50﹣(x+18)]=﹣10x+320,6<x≤15时,w=[50﹣(x+18)](x+6)=﹣x2+26x+192,所以,w与x的函数关系式为,
当1≤x≤6时,∵﹣10<0,∴w随x的增大而减小,∴当x=1时,w最大为﹣10+320=310,6<x≤15时,w=﹣x2+26x+192=﹣(x﹣13)2+361,∴当x=13时,w最大为361,
综上所述,第13天时当天的销售利润最大,最大销售利润是361元;
(3)w=325时,﹣x2+26x+192=325,x2﹣26x+133=0,解得x1=7,x2=19,所以,7≤x≤13时,即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元.
9、2016年12月29日至31日,黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行,从中寻找到商机的人不断涌现,促成了罗甸农民工返乡创业热潮,某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销,若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”,共需120元;若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”,共需205元.
(1)设A,B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元,求a、b的值;
(2)B种“火龙果”每件的
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- 专题74 二次函数在实际应用中的最值问题解析版 专题 74 二次 函数 实际 应用 中的 问题 解析