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大学生数学建模
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
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储药槽的设计
一、摘要
通过分析储药柜的设计和使用要求,本文对储药柜的结构以及储药槽的规格进行了设计,主要解决了以下几个问题:
1.为避免推送药盒时出现并排重叠、侧翻和水平旋转的情况,分析出储药槽的宽度必须小于其中最小药盒宽度的2倍,也必须小于其中药盒的最小长宽对角线长度和最小高宽对角线长度;
2.在考虑应留间隙的前提下,利用matlab程序逐步推导,设计出竖向隔板间距类型(即储药槽宽度类型)最少的方案:
5种类型分别为19mm,31mm,39mm,50mm,60mm;
3.在类型最少方案的基础上,采用逐步分裂的迭代算法,将可获得大幅宽度冗余降低率的竖向隔板间距类型进行拆分,以增加间距类型并减少总宽度冗余,计算出不同间距类型数量下的总宽度冗余值,并给出合理的竖向隔板间距类型数量为12种,其对应的宽度分别为19,22,24,25,28,31,35,39,45,50,55,60(单位mm)。
此外,也给出了每种类型对应的药品编号;
4.进一步考虑平面冗余,采用逐步分裂的迭代算法,将可获得大幅平面冗余降低率的横向隔板间距类型进行拆分,以增加间距类型并减少总平面冗余,计算出合理的横向隔板间距类型数量为13种,其对应的宽度分别为42,48,53,63,68,72,76,80,84,88,96,104,129(单位mm);
5.根据药品的需求量计算出每种药品所需的储药槽个数,并利用matlab程序实现穷举,给出储药槽在储药柜中的摆放方案,计算出最少需要的储药柜数量为2个。
此外,本文方法还能给出具体的摆放情况,即输出每个储药柜中每一排药品的编号及其储药槽数量。
关键词:
储药柜,宽度冗余,平面冗余,matlab
二、问题重述
目前,自动发药系统正在我国医院推广使用,它主要用来解决现在西药房管理混乱问题,例如药房日处理处方量大,药师工作时间长、取药易出错等。
其中,储药柜的作用十分重要,它必须将药品集中摆放,能顺利推送,便于取药和放药。
同时,储药柜的体积和数量还不能过多,影响系统的运行和购置成本。
基于上述要求,储药柜中的储药槽必须精心设计和使用:
为保证药品分拣的准确率,防止发药错误,一个储药槽内只能摆放同一种药品;为保证药品在储药槽内顺利出入,要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙;药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。
为了设计出合理的储药柜,必须解决以下几个问题:
1.在忽略储药槽横向和竖向隔板厚度的前提下,根据所给的药盒规格,设计出竖向隔板间距类型最少的储药柜方案,给出相应类型的数量和每种类型所对应的药盒规格。
2.为有效地减少宽度冗余,需适当增加竖向隔板间距类型的数量,但这也会增加储药柜的加工成本,降低储药槽的适应能力。
因此,需要设计出合理的竖向隔板间距类型的数量,使总宽度冗余尽可能小,同时类型数量也尽可能少。
3.进一步考虑平面冗余的计算,根据前述问题的结果,确定合理的储药柜横向隔板间距的类型数量,使得储药柜的总平面冗余量尽可能地小,且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。
4.根据每一种药品编号对应的最大日需求量,计算出每一种药品所需要的储药槽个数,并将所有药品的储药槽摆放到储药柜中以满足药房储药的需求。
同时,根据单个储药柜的规格,计算最少需要多少个储药柜。
三、问题的分析
本题的主要问题是设计储药柜的储药槽,使得槽内的药盒能够顺利推送并不会发生并排重叠、侧翻和水平旋转,这需要根据附件所给的药盒规格,设计出符合要求的储药槽宽度和高度。
参考在互联网上收索到的自动送药机及其储药柜,如图3.1和图3.2所示,可以得出药品在储药槽中一般是侧面摆放,将高和宽的一面朝外,使得所需储药槽的宽度最小。
此外,图中所示没有竖向支撑板影响储药槽的放置,这点与题目所给的图不同,本文将参照图3.1和图3.2的实际情况求解,忽略竖向支撑板,简化问题。
图3.1自动送药机的储药柜
图3.2自动送药机的储药柜
对于问题1,可采用matlab程序从最小宽度规格的药盒开始,分段设置储药槽宽度及其对应的药盒规格,使药槽能装最多的药盒并避免药盒的并排重叠、侧翻和水平旋转。
问题2引入了宽度冗余的概念,宽度冗余会随着储药槽宽度类型增加而降低,随着类型的减少而提高。
为了在宽度冗余和类型数量之间寻找合理点,需要计算每种类型数量下的宽度冗余值,并绘制变化曲线,通过曲线寻找合理的类型数量。
问题3则进一步引入了平面冗余的概念,这需要利用问题2的结论,在确定所有药品储药槽宽度及其类型的基础上,计算出每种高度类型下的平面冗余值,并寻找合理的类型数量。
问题3的优化目标虽然变为了平面冗余值,但其解题方法与问题2相似。
在问题4中,需要根据储药柜的规格尺寸,将所有药品所需的储药槽放入储药柜,并确定储药柜的最小数量。
由于问题2和3的目标是使得总平面冗余尽可能小,这与储药槽占储药柜空间尽可能小一致,也即所需储药柜数量少一致。
因此,问题4必须根据药品的需求量计算出每种药品所需的储药槽个数,然后利用问题2和3的结论得到每种药品的储药槽的规格(包括高度和宽度),最后在实用的前提下将储药槽摆放到储药柜中。
四、模型的假设
1.假设储药柜的横向和竖向隔板的厚度忽略不计;
2.假设只考虑药槽的横向和竖向隔板,不考虑储药柜的竖向支撑板;
3.假设储药柜的横向和竖向隔板不会影响药品的放入和取出;
4.储药柜药槽的放置参考医院的实际情况,以方便实用为优先;
5.假设药盒在药槽内移动时不会发生阻塞、挤扁和变形的情况;
6.假设药盒都为符合长、高、宽描述的方形;
7.假设药盒在药槽中露出的盒面不会影响药的取出和放入,即药盒在药槽中可以侧放、平放或竖向放置;
五、符号定义及说明
符号
含义
单位
K_min
药盒型号的最小宽度
mm
K_max
药盒型号的最大宽度
mm
C_K
药槽的竖向隔板间距类型数量
种
C_G
药槽的横向隔板间距类型数量
种
第j种储药槽中所有药品的宽度冗余之和
mm
第j种储药槽的宽度
mm
编号为i的药盒的宽度
mm
宽度冗余降低率
H
宽度冗余降低率门限值
S0
所有竖向隔板间距类型中所有药盒的总宽度冗余
mm
Gj
第j种储药槽中所有药品的高度冗余之和
mm
Tj
第j种储药槽的宽度
mm
DTi
编号为i的药盒的高度
mm
A0
总平面冗余
mm2
kj
平面冗余降低率
P
平面冗余降低率的门限值
编号为i的药盒在一个储药槽中数量
个
编号为i的药盒的长度
mm
编号为i的药盒所需的储药槽个数
个
编号为i的药品的最大日需求量
盒
六、模型的建立与求解
参考实际情况,由于药盒的侧面一般宽度较小,因此选择药盒侧放在储药槽中,露出其高和宽的一面,所需储药槽的宽度较小,可以在一定空间内放更多的药品。
在忽略横向和竖向隔板厚度、忽略隔板对放药与取药的影响的前提下,药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层隔板之间应留2mm的间隙,则药盒在药槽中至少要比储药槽宽度(即竖向隔板类型)和高度要小4mm才能顺利出入。
为了使药盒在储药槽内推送时不会出现并排重叠、侧翻和水平旋转的情况,储药槽宽度必须满足一定尺寸要求:
1.并排重叠情况
为防止并排重叠,储药槽宽度应小于2倍药盒宽度,具体原理如图6.1所示。
假设药盒宽度为D,储药槽宽度如果不小于2D,则槽内药盒会发生并排重叠;当储药槽宽度为2D-1时,就能避免这种情况。
图6.1药盒的并排重叠
2.侧翻情况
为防止侧翻情况,储药槽宽度(即竖向隔板类型)应大于药盒高和宽的对角线,具体原理如图6.2所示。
当储药槽宽度大于药盒型号高和宽的对角线时,药盒就可能发生侧翻。
图6.2药盒的侧翻
3.水平旋转情况
与防止侧翻的原理相同,为防止水平旋转情况,储药槽宽度应大于药盒长和宽的对角线。
6.1问题1
分析附件1中药盒的规格数据,可得药盒规格的最小宽度为K_min=10mm,最大宽度为K_max=56mm。
为了避免并排重叠的情况,储药槽宽度应小于2倍其中药盒宽度。
考虑到与两侧竖向隔板应留2mm的间隙,储药槽宽度应比其中药盒宽度至少大4mm。
假设此储药槽中所放的药盒的最小宽度为Dmin,最大宽度为Dmax,则储药槽宽度W存在以下关系:
(1)
(2)
为了使储药槽宽度(竖向隔板间距)类型最少,必须使储药槽在满足上述要求的情景下尽量放最多的药盒。
因此,可以从最小宽度药盒开始推导,到最大宽度药盒结束,得出以下几种类型:
1.类型1:
2*10-1=19mm,所放药盒宽度最大为
-4=15mm,即所放药盒宽度的规格为10mm~15mm;
2.类型2:
参考类型1,所放药盒宽度最小应为16mm,则
2*16-1=31mm,所放药盒宽度最大为
-4=27mm,则所放药盒宽度规格为16mm~27mm;
3.类型3:
参考类型2,所放药盒宽度最小应为28mm,则
2*28-1=55mm,所放药盒宽度最大为
-4=51mm,则所放药盒宽度规格为28mm~51mm;
4.类型4:
参考类型3,所放药盒宽度最小应为52mm,则
2*52-1=103mm,但药盒K_max=56mm,即所放药盒宽度最大为56mm,因此
=56+4=60,所放药盒宽度规格为52mm~56mm;
在上述推导过程中,还必须考虑避免侧翻和水平旋转的情况,因此储药槽宽度W还必须与药盒高宽对角线、长宽对角线长度进行对比,具体流程如图6.3所示,其matlab程序见附录1.1。
程序运行后,最后得出共有5种竖向隔板类型(储药槽宽度类型),这5种竖向隔板类型对应的药盒型号数量和药盒规格如表6.1所示。
表6.1竖向隔板间距类型最少时的情况
序号
竖向隔板类型
(储药槽宽度mm)
对应存放的药盒数量
规格(mm)
1
19
123
10~15
2
31
1078
16~27
3
39
303
28~35
4
50
297
36~46
5
60
118
47~56
图6.3竖向隔板间距类型最少的计算流程图
6.2问题2
由于药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分被视为宽度冗余,则储药槽宽度与所放药盒宽度之差大于4mm即为此药盒在此储药槽中的宽度冗余。
即第j个药槽类型中第i种药盒的宽度冗余为:
=
-
-4(3)
其中
为第j个药槽类型的宽度,
为其中第i种药盒的宽度。
因此,可计算得到每种类型储药槽中的总宽度冗余为:
=
=
(4)
根据问题一的情况,可计算得到问题一中竖向隔板间距类型最少时,每个类型所对应的总宽度冗余及其所占比例,如表6.2所示。
其matlab程序见附录1.1。
表6.2竖向隔板间距类型最少时的宽度冗余情况
储药槽宽度类型(mm)
存放的药盒数量
规格(mm)
冗余(mm)
冗余比例
19
123
10~15
95
0.97%
31
1078
16~27
6653
67.96%
39
303
28~35
1013
10.35%
50
297
36~46
1310
13.38%
60
118
47~56
718
7.33%
根据优化目标,问题2可以用模型描述为:
(5)
其中,C_K为药槽的竖向隔板间距类型数量。
竖向隔板间距类型最少时,5种类型的宽度冗余总量为9789mm。
为了减少冗余,必须增加储药槽的类型,即增加竖向隔板间距类型数量。
在问题一的基础上,可以选择将每种储药槽的类型拆分为2个,即将其对应的药盒规格由1段拆分为2段,例如16~27mm可以均匀拆分为16~21mm和22~27mm两段。
根据此原理,将冗余较大的类型进行拆分,具体步骤如下:
1.对于第j种类型的储药槽,根据公式(4)计算其中所有药品的宽度冗余为
;
2.对于所有类型的储药槽,计算总的宽度冗余为
=
3.将第j种类型的储药槽按药品规格拆分为2段,拆分后的宽度冗余分别为
和
,设置拆分后的宽度冗余降低率为
(6)
4.当宽度冗余降低率
>H时,其中H为预先设置的阈值,表示拆分所增加的储药槽类型会引起宽度冗余的大幅降低,必须保留此拆分的结果,即增加1个类型;
5.当宽度冗余降低率
<=H时,表示拆分所增加的储药槽类型仅会引起宽度冗余的小幅降低,不必保留此拆分的结果,即此储药槽类型不变;
6.按上述步骤,将所有的储药槽类型都进行拆分,最后得到更新后的储药槽类型,其数量的增加会引起总宽度冗余的降低。
如果预先设置的阈值H越小,则拆分出的类型越多,总的宽度冗余越小;H值设置越大,则拆分出的类型越少,总的宽度冗余越大。
根据上述方法,可分别设置不同的H值,获得不同数量的储药槽类型(竖向隔板间距类型),其matlab程序见附录1.2。
经程序处理,可发现由5种类型增加到6种类型时,储药槽类型由(19,31,39,50,60)变为了(19,25,31,39,50,60),这与31mm类型储药槽的宽度冗余最大(占总量的67.96%),必须优先拆分为2类,会大幅降低宽度冗余的事实相符合。
通过调解阈值H,增加储药槽宽度类型,可得不同类型数量下的总宽度冗余值如表6.3所示。
表6.3不同类型数量下的总宽度冗余
储药槽宽度类型数量
总的宽度冗余(mm)
5
9789
6
5475
10
2882
11
2417
12
2084
13
1919
14
1771
15
1671
16
1513
17
1362
20
1089
21
1035
23
953
26
782
将表6.3中的数据按下式进行归一化处理,将类型数量归一化为:
=
(7)
其中47为最多的类型(药盒类型共有47种)。
再将总宽度冗余归一化为:
=
(8)
其中类型数量最少时的总宽度冗余最大,即类型数量为5时的总宽度冗余9789。
利用上述归一化的数据,画出以下曲线图。
由曲线图可以看出,随着类型数量的增加,总宽度冗余一直在降低,且降低幅度越来越小。
两线相交的位置即为合理的竖向隔板间距类型(储药槽宽度类型)的数量,为12种类型(相交点的类型数量大于11,即取为12),此时总宽度冗余和类型数量都较小。
图6.4归一化总宽度冗余和类型数量曲线图
12种类型为合理的类型数量,其对应的储药槽宽度分别为19,22,24,25,28,31,35,39,45,50,55,60(单位mm)。
每种类型所对应的药品编号分别为:
(1)规格19mm储药槽:
461808487991071201221281511841972522532542552743033183323483723984054124564714765055205275395575705715726036096126206686696866876997027237317747758288348728758819099239289349629751016102210301032105110701071107910801081108210831092109711001133115311691177117912001297130013071321133513361352136713701423144914551464146514661471148214861490151915351540154715651591159416031604161216351751178517911792180718151827188719081917
(2)规格22mm储药槽:
18253448505762677091939711111211611712313013314014114516816917718519619819920923023323624024126026226326426526927227827928028729829930230830931031231331731933333433535436036136236837138439239640642443445345446147248549051251351551852152554655557657759660160661964167367968068468569669770071771872472573373474375876977377978078479279479779880180682182683283383584084885185385585786286686987087187787988089089189990291192192292793695095395497199099810041012101810231049105210531060106510691072107610851087111111321135114211521168117011711172117311751176118511871188119511981204120912121227125612581272127712781279129012911292129312961298130213181322133313431353136413691380140214091412141614241432143314391441145914601470147614801511153615371538155315661592160016101618162016271628162916311643164416521680169817021710171717371750175417711781179718301868189118941918
(3)规格24mm储药槽:
26892123242627313238404252687175787910310811311511812112512613113213513614716316518620320521021421521621722122522622824426827027527728328528829230432032432533634034234434534735135736336639039440140241342042542642843643944044946447349449650751651752352653053854254354855256959359560761762463163363763864765066266567468369169269369469569870470771271371473573774274575376176576677077178678778879079181581682383183884684985286187888691091291394294396796997798799910011002100910191020102710291033103610551059106210671074108810951099110311041116111811191120112211231125112611311146114911511156119912141217122512261241125412571260126212631280128113091314131513201331133213371342135513571360136113721374137613771378137913831384138913911394139714001401140414051406141514171418142514261428143014371444145014511452145314561457145814611463147214731477148314911507150915101512152415251530154615501554
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