高中数学第一章集合与函数概念第3节函数的基本性质3教案.docx

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高中数学第一章集合与函数概念第3节函数的基本性质3教案

第一章第三节函数的基本性质第三课时

教学分析　　　　　

本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．

值得注意的问题：

对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y＝

与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．

三维目标　　　　　

1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．

2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．

重点难点　　　　　

教学重点：

函数的奇偶性及其几何意义．

教学难点：

判断函数的奇偶性的方法与格式．

课时安排　　　　　

1课时

导入新课　　　　　

思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？

（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？

（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：

喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？

下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？

（学生发现：

图象关于y轴对称）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．

思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x3的图象各有怎样的对称性？

引出课题：

函数的奇偶性．

推进新课　　　　　

（1）如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

图1

（2）那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？

填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？

表1

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

f（x）＝x2

表2

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

f（x）＝|x|

（3）请给出偶函数的定义？

（4）偶函数的图象有什么特征？

（5）函数f（x）＝x2，x∈[－1,2]是偶函数吗？

（6）偶函数的定义域有什么特征？

（7）观察函数f（x）＝x和f（x）＝

的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？

活动：

教师从以下几点引导学生：

（1）观察图象的对称性．

（2）学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：

这样的函数称为偶函数．

（3）利用函数的解析式来描述．

（4）偶函数的性质：

图象关于y轴对称．

（5）函数f（x）＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f（－2）不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f（－x）＝f（x）不恒成立．

（6）偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．

（7）先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．

给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；③具有奇偶性的函数的图象的特征：

偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．

讨论结果：

（1）这两个函数之间的图象都关于y轴对称．

（2）

表1

X

－3

－2

－1

0

1

2

3

f（x）＝x2

9

4

1

0

1

4

9

表2

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

f（x）＝|x|

3

2

1

0

1

2

3

这两个函数的解析式都满足：

f（－3）＝f（3）；

f（－2）＝f

（2）；

f（－1）＝f

（1）．

可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f（－x）＝f（x）．

（3）一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（4）偶函数的图象关于y轴对称．

（5）不是偶函数．

（6）偶函数的定义域关于原点对称．

（7）一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么f（x）就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．

思路1

例1判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；

（3）f（x）＝x＋

；

（4）f（x）＝

.

活动：

学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）．

解：

（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），

所以函数f（x）＝x4是偶函数．

（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f（－x）＝（－x）5＝－x5＝－f（x），

所以函数f（x）＝x5是奇函数．

（3）函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），对定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－x＋

＝－（x＋

）＝－f（x），

所以函数f（x）＝x＋

是奇函数．

（4）函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），对定义域内任意一个x，都有f（－x）＝

＝

＝f（x），所以函数f（x）＝

是偶函数．

点评：

本题主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f（－x）与f（x）的关系；

③作出相应结论：

若f（－x）＝f（x）或f（－x）－f（x）＝0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）＝－f（x）或f（－x）＋f（x）＝0，则f（x）是奇函数．

变式训练

设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（　　）

A．f（x）f（－x）是奇函数B．f（x）|f（－x）|是奇函数

C．f（x）－f（－x）是偶函数D．f（x）＋f（－x）是偶函数

解析：

A中设F（x）＝f（x）f（－x），则F（－x）＝f（－x）f（x）＝F（x），即函数F（x）＝f（x）f（－x）为偶函数；

B中设F（x）＝f（x）|f（－x）|，F（－x）＝f（－x）|f（x）|，此时F（x）与F（－x）的关系不能确定，即函数F（x）＝f（x）|f（－x）|的奇偶性不确定；

C中设F（x）＝f（x）－f（－x），F（－x）＝f（－x）－f（x）＝－F（x），即函数F（x）＝f（x）－f（－x）为奇函数；

D中设F（x）＝f（x）＋f（－x），F（－x）＝f（－x）＋f（x）＝F（x），即函数F（x）＝f（x）＋f（－x）为偶函数．

答案：

D

例2已知函数f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数．当x∈（－∞，0）时，f（x）＝x－x4，则当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝__________.

活动：

学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间（0，＋∞）上的自变量对应的函数值，转化为区间（－∞，0）上的自变量对应的函数值．利用偶函数的性质f（x）＝f（－x），将在区间（0，＋∞）上的自变量对应的函数值，转化为区间（－∞，0）上的自变量对应的函数值．

解析：

当x∈（0，＋∞）时，则－x<0.

又∵当x∈（－∞，0）时，f（x）＝x－x4，

∴f（x）＝f（－x）＝（－x）－（－x）4＝－x－x4.

答案：

－x－x4

点评：

本题主要考查函数的解析式和奇偶性．已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值．

变式训练

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2＋

，求f（x）．

解：

当x＝0时，f（－0）＝－f（0），则f（0）＝0；

当x<0时，－x>0，由于函数f（x）是奇函数，则

f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2＋

]＝－x2＋

，

综上所得，f（x）＝

思路2

例1判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝2x4，x∈[－1,2]；

（2）f（x）＝

；

（3）f（x）＝

＋

；

（4）f（x）＝

.

活动：

学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（－x）与f（x）的关系．在（4）中注意定义域的求法，对任意x∈R，有

>

＝|x|≥－x，则

＋x>0.则函数的定义域是R.

解：

（1）∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f（x）＝2x4，x∈[－1,2]既不是奇函数也不是偶函数．

（2）∵它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称，函数f（x）＝

既不是奇函数也不是偶函数．

（3）∵x2－4≥0且4－x2≥0，

∴x＝±2，

即f（x）的定义域是{－2,2}．

∵f

（2）＝0，f（－2）＝0，

∴f

（2）＝f（－2），f

（2）＝－f

（2）．

∴f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x）．

∴f（x）既是奇函数也是偶函数．

（4）函数的定义域是R.

∵f（－x）＋f（x）

＝

＋

＝

＝

＝0，

∴f（－x）＝－f（x）．

∴f（x）是奇函数．

点评：

本题主要考查函数的奇偶性．

定义法判断函数奇偶性的步骤是：

（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f（－x）与f（x）或－f（x）是否相等；

（2）当f（－x）＝f（x）时，此函数是偶函数；当f（－x）＝－f（x）时，此函数是奇函数；（3）当f（－x）＝f（x）且f（－x）＝－f（x）时，此函数既是奇函数又是偶函数；（4）当f（－x）≠f（x）且f（－x）≠－f（x）时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．

判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f（－x）＋f（x）来判断f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）是否成立．

变式训练

　函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g（x）＝

在区间（1，＋∞）上一定（　　）

A．有最小值　　　　　　　　　B．有最大值

C．是减函数D．是增函数

解析：

函数f（x）＝x2－2ax＋a的对称轴是直线x＝a，

由于函数f（x）在开区间（－∞，1）上有最小值，

所以直线x＝a位于区间（－∞，1）内，

即a<1.g（x）＝

＝x＋

－2，

下面用定义法判断函数g（x）在区间（1，＋∞）上的单调性．

设1

则g（x1）－g（x2）＝（x1＋

－2）－（x2＋

－2）

＝（x1－x2）＋（

－

）

＝（x1－x2）（1－

）

＝（x1－x2）

.

∵11>0.

又∵a<1，∴x1x2>a.

∴x1x2－a>0.

∴g（x1）－g（x2）<0.

∴g（x1）

∴函数g（x）在区间（1，＋∞）上是增函数，函数g（x）在区间（1，＋∞）上没有最值．

答案：

D

例2已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x>1时f（x）>0，f

（2）＝1，

（1）求证：

f（x）是偶函数；

（2）求证：

f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

（3）试比较f（－

）与f（

）的大小．

活动：

（1）转化为证明f（－x）＝f（x），利用赋值法证明f（－x）＝f（x）；

（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f（－

）和f（

）转化为同一个单调区间上的函数值．

解：

（1）证明：

令x1＝x2＝1，得f

（1）＝2f

（1），∴f

（1）＝0.

令x1＝x2＝－1，得f

（1）＝f[（－1）×（－1）]＝f（－1）＋f（－1），∴2f（－1）＝0.

∴f（－1）＝0.∴f（－x）＝f（－1·x）＝f（－1）＋f（x）＝f（x）．∴f（x）是偶函数．

（2）证明：

设x2>x1>0，则

f（x2）－f（x1）＝f（x1·

）－f（x1）＝f（x1）＋f（

）－f（x1）＝f（

）．

∵x2>x1>0，∴

>1.∴f（

）>0，即f（x2）－f（x1）>0.

∴f（x2）>f（x1）．∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

（3）由

（1）知f（x）是偶函数，则有f（－

）＝f（

）．

由

（2）知f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则f（

）>f（

）．∴f（－

）>f（

）．

点评：

本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值．

变式训练

已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）＝yf（x）＋xf（y）．

（1）求f

（1），f（－1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．

分析：

（1）利用赋值法，令x＝y＝1得f

（1）的值，令x＝y＝－1，得f（－1）的值；

（2）利用定义法证明f（x）是奇函数，要借助于赋值法得f（－x）＝－f（x）．

解：

（1）∵f（x）对任意x，y都有f（xy）＝yf（x）＋xf（y），

∴令x＝y＝1时，有f（1×1）＝1×f

（1）＋1×f

（1）．

∴f

（1）＝0.

∴令x＝y＝－1时，有f[（－1）×（－1）]＝（－1）×f（－1）＋（－1）×f（－1）．∴f（－1）＝0.

（2）是奇函数．

∵f（x）对任意x，y都有f（xy）＝yf（x）＋xf（y），

∴令y＝－1，有f（－x）＝－f（x）＋xf（－1）．

将f（－1）＝0代入得f（－x）＝－f（x），

∴函数f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数.

课本本节练习，1,2.

[补充练习]

1．设函数y＝f（x）是奇函数．若f（－2）＋f（－1）－3＝f

（1）＋f

（2）＋3，则f

（1）＋f

（2）＝__________.

解析：

∵函数y＝f（x）是奇函数，∴f（－2）＝－f

（2），f（－1）＝－f

（1）．

∴－f

（2）－f

（1）－3＝f

（1）＋f

（2）＋3.∴2[f

（1）＋f

（2）]＝－6.∴f

（1）＋f

（2）＝－3.

答案：

－3

2．已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝__________，b＝__________.

解析：

∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝

.

∴f（x）＝

x2＋bx＋1＋b.又∵f（x）是偶函数，∴b＝0.

答案：

　0

3．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），则f（6）的值为（　　）

A．－1　　　　　　　B．0　　　　　　　C．1　　　　　　　D．2

解析：

f（6）＝f（4＋2）＝－f（4）＝－f（2＋2）＝f

（2）＝f（2＋0）＝－f（0）．

又f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0.

∴f（6）＝0.故选B.

答案：

B

问题：

基本初等函数的奇偶性．

探究：

利用判断函数的奇偶性的方法：

定义法和图象法，可得

正比例函数y＝kx（k≠0）是奇函数；

反比例函数y＝

（k≠0）是奇函数；

一次函数y＝kx＋b（k≠0），当b＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．

课本习题1.3，A组，6，B组，3.

单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．

奇、偶函数的性质

（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立．

（3）f（－x）＝f（x）⇔f（x）是偶函数，f（－x）＝－f（x）⇔f（x）是奇函数．

（4）f（－x）＝f（x）⇔f（x）－f（－x）＝0，f（－x）＝－f（x）⇔f（x）＋f（－x）＝0.

（5）两个奇函数的和（差）仍是奇函数，两个偶函数的和（差）仍是偶函数．

奇偶性相同的两个函数的积（商、分母不为零）为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积（商、分母不为零）为奇函数；如果函数y＝f（x）和y＝g（x）的奇偶性相同，那么复合函数y＝f[g（x）]是偶函数，如果函数y＝f（x）和y＝g（x）的奇偶性相反，那么复合函数y＝f[g（x）]是奇函数，简称为“同偶异奇”．

（6）如果函数y＝f（x）是奇函数，那么f（x）在区间（a，b）和（－b，－a）上具有相同的单调性；如果函数y＝f（x）是偶函数，那么f（x）在区间（a，b）和（－b，－a）上具有相反的单调性．

（7）定义域关于原点对称的任意函数f（x）可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f（x）＝

＋

.

（8）若f（x）是（－a，a）（a＞0）上的奇函数，则f（0）＝0；

若函数f（x）是偶函数，则f（x）＝f（－x）＝f（|x|）＝f（－|x|）．

若函数y＝f（x）既是奇函数又是偶函数，则有f（x）＝0.

实习作业

作者：

曹齐平，福鼎一中教师．本教学设计获福建省教学大赛三等奖.

教学内容分析　　　

《普通高中课程标准实验教科书·数学

（1）》（人教A版）——《实习作业》．本节课程体现数学文化的特色，学生通过了解函数的发展历史进一步感受数学的魅力．学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中，对函数的概念有更深刻的理解，感受新的学习方式带给他们学习数学的乐趣．

学生学习情况分析　

该内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学

（1）》（人教A版）第一章末．学生第一次完成《实习作业》，积极性高，有热情和新鲜感，但缺乏经验，所以需要教师精心设计，作好准备工作，充分体现教师的“导演”角色．特别在分组时注意学生的合理搭配（成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等），选题时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶．

设计思想

《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学文化的价值．数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值．让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神．

教学目标

1．了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物．

2．体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐．

3．在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观．

重点难点

教学重点：

了解函数在数学中的核心地位，以及在生活中的广泛应用．

教学难点：

培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力．

课堂准备　　　　　

1．分组：

4～6人为一个实习小组，确定一人为组长．教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加．

2．选题：

根据个人兴趣初步确定实习作业的题目．教师应该到各组中去了解选题情况，尽量多地选择不同的题目．

参考题目：

（1）函数产生的社会背景；

（2）函数概念发展的历史过程；（3）函数符号的故事；（4）数学家（如：

开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、贝努利、欧拉、柯西、狄里克雷、罗巴契夫斯基等）与函数；（5）也可自拟题目．

3．分配任务：

根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务．

4．搜集资料：

针对所选题目，通过各种方式（相关书籍——《函数在你身边》《世界函数通史》《世界著名科学家传记》等；相关网页——、http：

//

实习报告　　　　　年　月　日

题目

组长及参加人员

教师审核意见及等级

正文

备注

（指出参考文献或相关网页）

5．投影仪、多媒体．

6．把各组的实习报告，贴在班级的学习栏内，让学生相互学习交流．

教学过程　　　　　

1．出示课题：

交流、分享实习报告．

2．交流、分享：

（由数学科代表主持．小组推荐中心发言人；以下记录均为发言概述）

（1）学生1：

函数小史

数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用．我们刚学过的函数就是这样的重要概念．在笛卡儿引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．最早提出函数（function）概念的是17世纪德国数学家莱布尼兹．最初莱布尼兹用“函数”一词表示幂.1755年，瑞士数学家欧拉给出了不同的函数定义．中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的．

我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展．

（2）教师带头鼓掌并简单评价．

（3）学生2：

函数概念的纵向发展：

该同学从早期函数概念——几何观念下的函数到十八世纪函数概念——代数观念下的函数，其中包括18世纪中叶著名的数学家欧拉对函数概念发展的贡献．接着又讲述了十九世纪函数概念——对应关系下的函数．以及现代函数概念——集合论下的函数．函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式．