等差数列教学设计.docx
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等差数列教学设计.docx
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等差数列教学设计
等差数列的教学设计
【教学目标】
(一)知识与技能
1.知识:
理解等差数列的定义及等差中项的定义;探索并掌握等差数列的通项公式(推导过程及思想);灵活应用等差数列能在具体的问题情境中发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题,初步掌握方程的思想求解等差数列的基本量(首项、公差、项数、指定的项)
2.过程与方法:
培养学生观察、分析、推理、归纳的能力;进一步合作探究、培养学生分析、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:
通过等差数列的学习培养学生主动学习、善于发现、敢于探索的精神,体验特殊到一般认知、渗透函数、方程思想,逐步养成良好的思维品质,以培养学生的应用、参与的意识。
【教学重点】
重点:
等差数列的概念的理解,掌握等差数列的通项公式的及其推导与应用。
难点:
用数学中的不完全归纳的方法推导等差数列的通项公式是一个难点,同时本节课中自然语言与符号语言的互译及等差数列函数特征的理解。
【教学方法】
1.针对班级的特点本节课将通过生活中的实例,环环相扣的问题、启发引导、自主探索、合作探究,讲练结合方式增强学生的求知欲,能积极主动的参与到教学的学习中,通过自己的独立思考与相互交流的形式进一步分析、解决问题。
2.学习指导:
(1)从四个现实问题引导下---学生观察、分析特点、归纳-----得出等差数列的概念---等差中项的概念---学生主动探索中获取概念的符号语言---进一步通过符号语言的分析--归纳—猜想(或应用迭加的方法法)得到等差数列的通项公式
(2)学生讨论—协作分析等差数列通项公式中的基本量凸显方程的思想来解决问题
(3)观察等差数列的结构特征,让学生去联想、探索
(4)其函数特征,进一步判断或证明数列为等差数列
【教学过程】
(一)创设情境引入
教学环节
教学过程学生的活动
设计意图
师教活动
设
置
疑
问
突出主题
上节课我们学习了数列.在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列.
由学生分析下列问题并得出答案:
1.我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列:
0,5,10,15,20,…
2.2012年,在伦敦.奥运会上,女子举重共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:
kg):
48,53,58,63.
3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:
m):
18,15.5,13,10.5,8,5.5
4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。
按照单利计算本利和的公式是:
本利和=本金×(1+利率×存期)。
例如,按活期存入10000元钱,年利率是0.72%,那么按照单利,5年内各年末的本利和(单位:
元)组成一个数列:
10072,10144,10216,10288,10360.
思考:
同学们观察一下上面的这三个数列:
(学生观察、回答.)
0,5,10,15,20,…①
48,53,58,63②
18,15.5,13,10.5,8,5.5③
10072,10144,10216,10288,10360④
此问题的设计的旨在说明等差数列贴近于实际生活培养学生用数学的意识
教师出示引例,并提出问题.学生探究、解答.
教师给出学生观察数列的方向:
从第二项起,后一项与前一项的差的特点?
教师总结特征.
概
念
介
绍
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).此数列称之为——等差数列
(学生思考定义的符号语)
事实上,等差数列的通项公式中共有四个变量,知道其中三个,便可求出第四个
或者
意在训练学生数学语言的互译,它是学好数学的关键,学生看得懂,说得出,写的准才可以
这是一个难点!
!
也告诉学生对一个数列是否为等差数列该怎么判断!
教师板书定义.并让学生思考定义的符号语言?
教师引导下得出等差数列的符号语言
(二)、强化概念
教学环节
教学过程
设计意图
师生活动
强
化
概
念
提
高
能
力
例1:
判断下列数列
是否为等差数列?
是、指出其公差?
(1).1,3,5,7,9,11,13
(2).5,-1,-7,-13,-19,-25
(3).2,2,2,2,2,2,2,2
(4).1,2,4,8,16,32
(5).1,2,3,2,3,4,3,4,5
(6).
(7).
(8)
(学生思考、抢答)
例2:
能否利用等差数列的定义证明下列数列为等差数列?
1.数列
的通项公式为
求证:
数列
为等差数列
(学生同桌之间合作探究.学生分析解题思路.)
2..数列
的通项公式为
(p,q为常数)
求证:
数列
为等差数列
(学生根据定义用符号语言给予证明)做练习
设计的意图旨在强调等差数列的定义从第二项起,每一项与前一项的差,同一个常数
对于*(8)只需判断即可
设计的意图旨让学生运用等差数列的定义的符号语言能对给出通项公式(或递推关系式))的数列规范地给予证明
让学生充分表达各自的意见更主动的接受和新知识,应用新知识,主动权给予学生
学生思考、抢答
.
多媒体出示答案.
学生核对、订正.
教师强调解题过程要规范、严谨.
教师出示例题.
教师引导证明证明数列是等差数列?
教师多媒体给出完整的解析过程
(三)、公式的推导思维拓展
教学环节
教学过程学生的活动
设计意图
教师的活动
思
维
拓
展
思
维
拓
展
如何根据等差数列的定义推导等差数列的通项公式?
已知数列{an}的首项为a1,且
(d为常数)数列{an}是否为等差数列?
若是,你能否根据上面的递推公式写出猜想出a2,a3,a4,,…,an(这里主要是用已知a1与d来表达)
(学生协作,用上一节的学过的递推公式
逐一推导而得)
,即
;
,即
;
,即
;
……
由此归纳等差数列的通项公式可得
.
∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项
和公差
,便可求得其通项
.
已知数列{an}的首项为
且
(d为常数)该数列是否为等差数列?
若是,你能否根据上面的递推公式直接推导出通项公式吗?
学生:
先给n赋值写一写,在观察特点?
观察我们能通过怎样的方法得到an与n的关系?
得出后
学生进一步分析公式中的量有哪些?
其中
为首项,d为公差,n为第n项
所在的项的序号
意在让学生通过不完全归纳的方法
研究讨论而得培养协作化解难点
强化概念的同时,给学生建设一个开放的、有活力的数学学习环境.课堂交流既能展示个人思维,又能照顾到各个层次的学生.
也意在通过迭加的方法进行推导公式扩散思维提升能力渗透思想
教师给出问题,
学生得到通项公式以后,教师用多媒体给以展示
教师让学生自主探索,学生自由展示成果,特别迭加后得出:
教师提出:
这是否是数列的通项公式?
是否对正整数n都满足?
(四)、强化应用课堂交流
教学环节
教学过程中学生的活动
设计意图
教师活动
思考1:
等差数列的通项公式中有几个量(习惯称之为数列的基本量)?
谁是常量?
谁是变量?
我们可由给定的几个已知量来求未知量?
试一试:
(学生分析在公式中已知了等差数列的哪些基本量?
求的未知量是谁?
)
例3:
(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)判断-401是不是等差数列–5,-9,-13…的项?
如果是,是第几项,如果不是,说明理由。
学生思考、说出已知、所求,代入通项公式.
学生写出解答过程
思考2:
等差数列中{an}中,
有同学认为an为n的一次函数?
你认为正确?
(学生回顾一次函数的知识给予回答)
d=0是数列{an}为常数数列,
d≠0数列{an}是n的一次函数
意在渗透给学生方程的思想求解数列的基本量
意在让学生学习数列别忽略函数的观点,渗透函数的思想
为下一步学习作铺垫
教师给出问题,学生思考应用
教师给出思考的问题1
教师引导分析基本量
教师引导学生分析本题,已知什么?
求什么?
怎么求?
强调:
通项公式是用含有n的式子表示an
多媒体展示具体过程订正,进一步规范学生的过程
教师给出思考的问题2,
(六):
归纳小结,课堂延展
教学环节
教学过程中学生的活动
设计意图
教师活动
归纳
小结
1学生试着小结:
通过本课的学习,首先是要让学生要理解和掌握等差数列的定义及其相应的符号语言.
:
即
(n≥2)
2.等差数列通项公式:
(n≥1)
3.其次要明确推导等差数列的通项公式的方法----累加法或不完全归纳法.
4.另一方面等差数列的通项公式的灵活应用,对于基本量的考察,应会用方程的思想,知三可求出另外一个基本量.
5.初步从函数的观点认识等差数列
引导梳理,学会总结相关的学习知识点和解题方法.
教师引导总结
巩
固
课
堂
延
展
1.P40页A组1.
(1)
(2)(3)(4).2.3
P41页B组2题课时练P25典例3
2.
(1)求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项;
(2)求等差数列10,8,6,…的第20项;
(3)100是不是等差数列2,9,16…的项?
如果是,是第几项?
如果不是,说明理由;
(4)已知等差数列
的公差为d.求证:
既能保证全体学生的巩固应用,又兼顾学有余力的学生,同时将探究的空间由课堂延伸到课外.
(七):
思维延伸
教学环节
教学过程中学生的活动
设计的意图
教师活动
思维
延伸
等差数列中
为n的函数,其通项公式是否一定可以写成
为常数)的形式?
那么它的图像特征与增减性会是怎样的?
与函数
y=ax+b的图像与单调性有什么关系
衔接下一节的学习
给出问题
附:
教学设计说明
1.教材地位分析
(1)本节课是高一年级第二学期必修5第二章第二节,主要是研究等差数列的概念、通项公式及应用,是本章的重点内容之一。
《数列》是高中数学的重要内容,是高考必考内容,是重点也是热点。
(2)是在学习数列的概念及表示的基础上进一步的深入和拓广,在具体实例的基础上引出概念,得出通项,给以应用。
意在培养学生的观察能力、归纳能力、应用能力。
(3)作为一个离散性的函数,起着承前启后的作用,在观察、分析、归纳、猜想、综合应用等方面是培养学生数学能力的很好的题材,同时在数列的学习中不可忽略函数的观点。
(4)作为特殊数列研究的开始,对进一步来类比学习等比数列很有意义。
2.学生现实分析
在本节课之前学生已经学习了数列的有关概念及递推公式,在教学过程中要注意引导和对比,加强学生的运算能力与知识的联系,特别是方法的渗透,以促进学生思维的发展,数学素养的形成。
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- 等差数列 教学 设计