数学建模D题.docx

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数学建模D题

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

D

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

Y5016

所属学校（请填写完整的全名）：

陕西工业职业技术学院

参赛队员（打印并签名）：

1.黄攀

2.杨博

3.徐彬人

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

高汝林

日期：

2012年9月10日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

机器人避障问题

摘要

本文主要研究了机器人在有十二个障碍物的一定区域中安全行进，避障的最短路径和最短时间路线问题。

在问题一中，我们应用拉线原理通过AutoCAD软件精准的画出路线图形，并精确的测量出圆弧和直线的长度，通过类比法选定最小路径。

在问题二中，我们应用三角函数原理及圆弧与切线的关系，再根据两坐标点的距离关系，建立模型,通过C语言求解。

问题一，我们应用几何学原理通过AutoCAD软件做出几种可能最小的路径，通过类比得到最短路径：

O-A的最短路径为：

471.04

O-B的最短路径为：

853.71

O-C的最短路径为：

1088.26

O-A-B-C-O的最短路径为：

2730

问题二，应用几何学由C语言求得最优结果：

方案一：

总路程：

472.303551

总时间：

94.523344

方案二：

总路程：

472.646

总时间：

94.529

关键词：

最短路径最短时间几何学原理AutoCADC语言

一、问题重述

1.1.背景资料与条件

图1是一个800×800的平面场景图，在原点O（0,0）点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。

图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：

编号

障碍物名称

左下顶点坐标

其它特性描述

1

正方形

（300,400）

边长200

2

圆形

圆心坐标（550,450），半径70

3

平行四边形

（360,240）

底边长140，左上顶点坐标（400,330）

4

三角形

（280,100）

上顶点坐标（345,210），右下顶点坐标（410,100）

5

正方形

（80,60）

边长150

6

三角形

（60,300）

上顶点坐标（150,435），右下顶点坐标（235,300）

7

长方形

（0,470）

长220，宽60

8

平行四边形

（150,600）

底边长90，左上顶点坐标（180,680）

9

长方形

（370,680）

长60，宽120

10

正方形

（540,600）

边长130

11

正方形

（640,520）

边长80

12

长方形

（500,140）

长300，宽60

在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。

规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。

机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。

为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。

机器人直线行走的最大速度为

个单位/秒。

机器人转弯时，最大转弯速度为

，其中

是转弯半径。

如果超过该速度，机器人将发生侧

翻，无法完成行走。

请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。

对场景图中4个点O（0,0），A（300,300），B（100,700），C（700,640），具体计算。

注：

要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。

1.2.需要解决的问题

（1）机器人从O（0,0）出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。

（2）机器人从O（0,0）出发，到达A的最短时间路径。

二、问题分析

1.1.问题的思路分析

问题一：

要解决问题一，只需用AutoCAD软件把图一所示的平面场景还原出来，将各种可行的路线都找出来，利用拉绳原理将所有测量计算作比较选出最小即可。

问题二：

同问题一一样还原平面场景，再根据

对路径的影响。

最大，最小转弯半径既反映了机器人的灵敏性能，又影响机器人从出发点到目标地的路线长短与所用时间的多少。

当转弯半径逐渐增大时，速度

由最小值

逐渐增大并无限趋近于

。

通过AutoCAD软件作图，应用几何原理并通过C语言计算出最优路线。

三、基本假设

1）机器人在行走过程中以最大速度行进。

2）机器人抽象成点来进行处理，不考虑其形状大小等因素的影响

3）在直线与圆弧的切点处，机器人速度变化所用的时间忽略不计

4）机器人在行进过程中不受外界因素的干扰

5）机器人在行进过程中不会发生机械故障

四、符号说明

……

圆弧

α圆弧对应的角度

圆弧长度

A点对应的直线长度

O点对应的直线长度

上切点

下切点

r、R、

、

圆弧半径

圆心坐标

圆弧对应时间

A对应直线的时间

O对应直线的时间

t总时间

v直线最大速度

、

圆弧最大速度

五、模型的建立与求解

问题一

1.模型一概述

通过几何分析并应用CAD软件做出路程较短的多个模型，应用类比法比较多个模型取路程最优路线。

2.模型一的运用与求解

（1）O-A路线：

O（0,0）、A（300,300）

通过CAD软件对各种可行的路线进行测量比较，得出的最优路线（见下图）

圆弧f1

起点：

（70.506,213.1406）、坐标：

（76.6064,219.4066）、圆心（80,210）。

O到A的最短线路长度为：

224.5+9.05+237.49=471.04

O—A

（2）O-B路线：

O（0,0）、B（100,700）

通过CAD软件对各种可行的路线进行测量比较，得出的最优路线（见下图）：

圆弧fn

起点坐标

终点坐标

圆心

1

（50.1353,301.6396）

（51.6795,305.547）

（60,300）

2

（141.6795,440.547）

（147.9621,444.7901）

（150,435）

3

（222.0379,460.2099）

（230,470）

（220,470）

4

（230，530）

（225.4967,538.3538）

（220,530）

5

（144.5033，591.6462）

（140.6916,596.3458）

（150,600）

O到B的最短线路长度为：

4.23+7.78+13.66+9.89+6.15+305.78+162.25+75.66+60+96.95+111.36=853.71

O—B

（3）O-C路线：

O（0,0）、C（700,640）

通过CAD对各种可行的路线进行测量比较，得出的最优路线（见下图）：

圆弧fn

起点坐标

终点坐标

圆心坐标

1

（232.1149,50.2262）

（232.1693,50.2381）

（230,60）

2

（412.1693,90.2381）

（418.3448,94.4897）

（410,100）

3

（491.6552,205.5103）

（492.0623,206.0882）

（500,200）

4

（727.9377,513.9178）

（730，520）

（720,520）

（730,600）

（727.7178,606.3589）

（720,600）

O到C的最短线路长度为：

0.06+7.69+0.7+6.54+6.89+237.49+184.45+133.04+387.81+80+43.59=1088.26

O-C

（4）O-A-B-C-O路线：

O（0,0）;

通过CAD对各种可行的路线进行测量比较，得出的最优路线：

（见下图）：

圆弧fn

起点坐标

终点坐标

圆心

1

（70.506,213.14）

（76.71,219.44）

（80,210）

2

（294.34,295.04）

（300.60，307.49）

（291.06，304.48）

3

（229.53，533.00）

（225.49，538.35）

（220，530）

4

（144.50，591.64）

（140.86，595.93）

（150，600）

5

（98.95，690.06）

（108.96，704.08）

（108.1，694.127）

6

（270.86，689.96）

（272，689.798）

（270，680）

7

（368，670.202）

（370，670）

（370，680）

8

（430，670）

（435.58，671.70）

（430，680）

9

（534.41,738.29）

（540,740）

（540,730）

10

（670,740）

（679.77,732.11）

（670,730）

11

（699.21,642.25）

（701.31，637.96）

（709,644.37）

12

（727.67,606.41）

（730,600）

（720,600）

13

（730,520）

（727.93,513.91）

（720,520）

14

（492.06,206.08）

（491.65,205.51）

（500,200）

15

（418.34,94.48）

（412.16,90.23）

（410,100）

16

（232.16,50.23）

（232.11,50.22）

（230,60）

回路最短线路长度为：

：

224.5+9.17+230.38+15.42+236.44+6.84+5.7+96.95+20.77+103.03+162.52+1.14+97.98+2.01+5.93+5.93+13.58+4.83+6.96+6.54+0.7+7.69+0.06+60+119.16+130+91.94+41.11+80+387.81+133.04+184.39+237.49=2730

O-A-B-C-O

问题二

模型一的建立

1）模型一概述

将圆弧的圆心固定在（80,210）的坐标点上时，通过AutoCAD软件可精确的做出图形，从而准确的确定R的范围在10-55之间，根据三角形勾股定理以及圆弧与切线的关系，再根据两坐标点的距离关系，由此综合题意建立几何模型。

2）模型一的运用与求解

由上图结合CAD建立的模型关系建立几何模型：

通过C语言运算得（见附录）

为：

94.52334

半径：

11.412712

圆心：

（80,210）

起点：

（70,215.5）

终点：

（74.5,220）

3）模型一结果

为：

94.52334

半径：

11.412712

圆心：

（80,210）

起点：

（70,215.5）

终点：

（74.5,220）

模型二的建立

1.模型二概述

将圆弧的半径、圆心，圆弧与两直线的切点均设为动态的变量或移动点，应用AutoCAD软件可以测出所给这些量的取值区间，再通过C语言程序编程利用穷举法可求出最短时间路线等。

2.模型二的运用与求解

通过上图及几何关系可可建立以下模型：

7<=

<=209

0<=

<=86

194<=

<=286

42<=

<=261

通过C语言运算得（见附录）：

半径：

82.5

圆心：

（148.839,192.649）

起点：

（71,218）

终点：

（72,219）

总路程：

472.646

总时间：

94.529

3.模型二结果

半径：

82.5

圆心：

（148.839,192.649）

起点：

（71,218）

终点：

（72,219）

总路程：

472.646

总时间：

94.529

六、模型的分析

1.模型的合理性分析

用CAD软件绘出的图形精度高且容易测量；在模型中使用了C语言编程，使用穷举的方法，可以得到非常好的结果。

在条件允许的情况下，将可获得理想方案的解。

2.原理误差分析

此模型误差来源有以下几个方面：

1）CAD软件操作过程中存在精度误差；

2）编程步长方面存在误差不能过小；

3）由于有小数位的存在，在编程计算时，不可避免的会存在或多或少的误差

七、模型的推广

1）应用于地质救援寻找最佳路线；

2）用于道路建设以节省成本；

3）在生产中生产流水线的设计；

八、模型的评价与优化

1.模型的优缺点分析：

优点：

1）模型运用解析几何进行优化求解，精确度高。

2）多条路径的比较得出最优解。

3）运用CAD软件，作图简单，距离测试方便且精确度足够。

4）使用C语言进行编程，用穷举的方法找出合理的所有点，且使运算过程快捷。

缺点：

1）使用C语言编程时，在减小运行时间的同时也减小了结果的精确度。

2）当障碍物过多时，模型需要进一步改进

2.模型的优化

在求直线方程和坐标取值范围时自己动手计算并检验，在求得的结果后应尽量不将其小数化，最好使用分数或其它等式代替，在最后一步时才整体计算，以减小误差的积累。

同时可先用大步长循环来确定其范围，在这一确定范围内减小步长来提高计算精度。

依此类推，将会求得一个无限接近最优方案的方案。

九、附录

参考文献：

[1]吴建国，数学建模案例精编，北京，中国水利水电出版社；2005

[2]王庚、王敏生，现代数学建模方案，北京，科学出版；2008

[3]陈恩水、王峰，数学建模与实验，北京，科学出版社；2008

[4]姜启源，数学建模，第二版、北京，高等职业教育出版社；1993

附件

1.附件一

2.附件二

3.