美国大学生数学建模大赛A题一等奖.docx
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美国大学生数学建模大赛A题一等奖
2013年美国大学生数学建模大赛A题-一等奖
最终的布朗尼蛋糕盘
Team#23686
February5,2013
摘要Summary/Abstract
为了解决布朗尼蛋糕最佳烤盘形状的选择问题,本文首先建立了烤盘热量分布模型,解决了烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。
又建立了数量最优模型,解决了烤箱所能容纳最大烤盘数的问题。
然后建立了热量分布最优模型,解决了烤盘平均热量分布最大问题。
最后,我们建立了数量与热量最优模型,解决了选择最佳烤盘形状的问题。
模型一:
为了解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题,我们假设烤盘的任意一条边为半无限大平板,结合第三边界条件下非稳态导热公式,建立了不同形状烤盘的热量分布模型,模拟出不同形状烤盘热量分布图。
最后得到结论:
在烤盘由多边形趋于圆的过程中,烤焦的程度会越来越小。
模型二:
为了解决烤箱所能容纳最大烤盘数的问题,本文建立了随烤箱长宽比变化下的数量最优模型。
求解得到烤盘数目
随着烤箱长宽比和烤盘边数
变化的函数如下:
模型三:
本文定义平均热量分布
为未超过某一温度时的非烤焦区域占烤盘边缘总区域的百分比。
为了解决烤盘平均热量分布最大问题,本文建立了热量分布最优模型,求解得到平均热量分布随着烤箱长宽比和形状变化的函数如下:
结论是:
当烤箱长宽比为定值时,正方形烤盘在烤箱中被容纳的最多,圆形烤盘的平均热量分布最大。
当烤盘边数为定值时,在长宽比为1:
1的烤箱中被容纳的烤盘数量最多,平均热量分布
最大。
模型四:
通过对函数
和函数
作无量纲化处理,结合各自的权重
和
,本文建立了数量和热量混合最优模型,得到烤盘边数
随
值和
的函数。
当
,
时,此时的
。
Contents
Figure3半无限大平板加热过程中的温度分析
由上图可知,烤盘厚度为
时烤盘的加热情况:
第一阶段step1:
当烤制时间
时,空气流体不断的向烤盘内部导热,但是烤盘仍然有部分处于初始温度,未开始加热。
当
时,空气流体对烤盘的热量正好传到烤盘的内边缘;
第二阶段step2:
当
时,空气流体对整个烤盘加热的一段时间;
第三阶段step3:
当
时,烤盘的温度到达新的稳定状态。
烤盘的加热过程的微分方程[1]为:
其中,
为烤盘的温度,
为烤盘的初始温度,
为空气流体的温度,且
。
为空气流体与烤盘间的对流换热系数,且为常数。
为加热时间,
为烤盘边缘的厚度,
为热量传输系数(或导热系数)。
定解条件:
,
,
,
,
(对称性)
,
,
引入过余温度:
。
在此定解条件下微分方程解的结果为:
式中的
是下列超越方程的根,称为特征值。
从上式看出解得结果可表示为:
从上述的结果可知,烤盘的加热过程函数是一个无穷级数,计算工作量较大。
但对比计算表明,当傅里叶系数
时,采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的差别小
。
这样的误差在计算中是被允许的,因而当此
后可以采用以下简化结果:
(4)
其中特征值
的值与
有关。
从上式可知得当
以后平板中的任意一点的过余温度
与平板中心的过余温度
之比为:
(5)
非稳态导热的这一阶段就是所谓的导热正规状况或充分发展阶段。
确认正规状况阶段的存在具有重要的意义,因为本文计算中关心的非稳态导热过程常常处于正规状况阶段,此时的计算可以采用上述的简化公式。
为了便于计算,人们广泛采用按分析解的级数第一项而绘制的一些线算图(诺曼图)。
其中用以确定温度分布的线算图称为海斯勒(Heasler)图。
以无限大平板为例,它首先根据等式(4)中给出的
随
及
变化的曲线(此时
),然后再根据等式(5)确定
的值。
于是平板中任意一点的
值便为:
(6)
无限大平板的
和
的计算图[2]如图4和图5所示:
Figure4无限大平板中心无量纲温度图
Figure5无限大平板的
曲线图
3.3模型求解
设烤盘密度
,比热容
,导热率
,对流换热系数
,烤盘的宽度
,烤箱内的温度
。
当时间
时,根据图4和图5和等式(6)得到若干大平板的温度和大平板距离的散点数据,拟合出大平板的温度和大平板距离的曲线如图6所示:
Figure6大平板的温度和大平板距离的拟合曲线
3.4四边形烤盘情况
烤盘形状为四边形的受热情况:
Figure7烤盘形状为四边形的受热图
四边形的烤盘可以看做成由四个半无限大平板所围成的,根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果:
(7)
图像如图8所示:
Figure8四边形烤盘的热量分布图
3.5五边形烤盘情况
烤盘形状为五边形的受热情况:
Figure9烤盘形状为五边形的受热图
五边形的烤盘可以看做成由五个半无限大平板所围成的,根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果:
(8)
图像如图10所示:
Figure10五边形烤盘的热量分布图
3.6多边形烤盘情况
烤盘形状为
边形的受热情况:
:
Figure11烤盘形状为
边形的受热图
边形的烤盘可以看做成由
个半无限大平板所围成的,根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果:
(9)
图像如图12所示:
Figure12多边形烤盘的热量分布图
4烤盘数量最优模型
当用相同多的材料做成烤箱时,存在以下等式:
式中,
为烤箱的长度,
为烤箱的宽度,
为常数。
多边形的边长数为
。
当
时,多边形的形状可以近似看做其多边形的外圆。
则
边形的排列方式如图:
Figure13
边形的排列方式
其中,三角形的面积:
(10)
式中:
为多边形所外外接圆的半径;
经过推到可以得到多边形的面积为:
(11)
式中,
为烤盘的面积。
则:
(12)
每层的烤盘总数
:
烤箱有两层,则烤箱能够放的烤盘总数
:
化简得到:
(13)
当用相同多的材料做成烤箱时,存在:
。
可推出
(13.5)
结合式(13)和式(13.5)可得函数:
(13.55)
当
,
,做出烤盘总数
随着
和多边形的边数
而变化的曲线如图14所示:
Figure14烤盘总数
随着
和多边形的边数
而变化的曲线示意图
由此可得到结论为:
在区间
上,随着
的增大,烤箱内所容纳的烤盘数
随多边形
变化而变化的曲线将整体上移。
由此可知,
时,烤箱所盛的烤盘数最大。
当
的取值为某一定值时,烤箱内所能容纳的烤盘数
随着多边形边数
的增大而增大,其中,
。
特别的,当
时,烤盘数量
大于任意多边形的烤盘数,即正方形的烤盘在烤箱中的数目最多。
5烤盘热量最优模型
我们假设烤制时间为
时,蛋糕已经成熟。
烤盘温度超过某一温度(即烤焦overcooked的温度)的区域面积为
:
(14)
如图15所示:
Figure15烤焦区域面积图
用图像表示多边形随着边数
的变化引起的烤焦面积变化的趋势如图16所示:
Figure16多边形随着边数
变化引起的烤焦面积变化的示意图
每个烤盘的平均热量分布为
,考虑每个烤盘的各区域温度未超过某一温度(即烤焦overcooked的温度)的区域面积为总面积减去
,
表示如下:
(15)
当多边形的边数变化时,得到结果如图17所示:
Figure17每个烤盘的平均热量分布图
总的烤盘的平均热量分布
为每个烤盘的平均热量分布(H)和烤盘数量(N)的乘积,即:
(16)
根据式(13.55)和式(15)可得函数。
(16.5)
当
,
,做出烤盘热量平均分布随着
和多边形的边数
而变化的曲线:
Figure18烤盘热量平均分布随着
和
变化示意图
当
在区间
上时,随着
的增大,烤盘平均热量
分布随多边形
变化而变化的曲线将整体上移。
由此可知,
时,烤盘的平均热量分布
为最大。
当
的取值为某一定值时,烤盘平均热量
分布随着多边形边数
的增大而增大,其中,
。
且,当
时,烤盘平均热量
分布大于任意多边形的烤盘平均热量
分布,即圆形烤盘平均热量分布最多。
6烤盘数量与热量最优模型
分别将图14和图18做无纲量化处理,并放置在同一坐标系中,烤盘总数
和热量平均分布
随着
和多边形的边数
而变化的关系,如图19所示:
Figure19烤盘总数和热量平均分布随
和
变化示意图
无量纲化的
和
的权重分别为
和
,即:
(17)
此时,
和
比为:
(18)
权重比为的纵坐标之比,即:
(18.5)
即:
(19)
根据式(13),(13.5),(18),可得函数:
(20)
当
,
时,利用matlab作出以上函数,函数图象如下图所示:
Figure20烤盘边数
随
和
变化示意图
由此我们可以得到以下结论:
当
为定值时,
与
呈一一对应的关系,
值随
值的增加而减少;当
为定值时,
与
呈一一对应的关系,
值随
值的增加而增大。
通过确定
和
,可以得到相应的
值。
例如当
,
时,此时的
。
7.参考文献References
[1]沈巧珍,杜建明,冶金传输原理,北京:
冶金工业出版社,2006.8
[2]沈巧珍等,冶金传输原理,
[3]董霖,MATLAB使用详解,北京:
电子工业出版社,2009.1
[4]陈伟忠,林宏谕,北京:
中国铁道出版社,2007.9
[5]谢兆鸿,范正森,数学建模技术,中国水利水电出版社,2003
[6]王跃刚,动态数学模型测试建模方法,西安:
西安电子科技大学出版社,2012.3
[7]MarkM.Meerschaert,MathematicalModeling(ThirdEdition),北京:
机械工业出版社,2009.5
8.附录Appendixes
Appendix1——MatlabFigure6制作编程
f(x)=p1*x^2+p2*x+p3
Coefficients(with95%confidencebounds):
p1=20.82(19.66,21.98)
p2=4.872e-015(-0.2821,0.2821)
p3=169.3(169.1,169.5)
Appendix2——MatlabFigure18制作编程
ezplot('0.25*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(pi/n)*(sqrt(0.005/(n*sin(2*pi/n))-0.0005/cos(pi/n)))))',[4,50,50,200]);
holdon
ezplot('2/9*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(pi/n)*(sqrt(0.005/(n*sin(2*pi/n))-0.0005/cos(pi/n)))))',[4,50,50,200]);
holdon
ezplot('4/25*n*sin(2*pi/n)/0
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- 关 键 词:
- 美国 大学生 数学 建模 大赛 一等奖