专题方案题 1.docx
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专题方案题 1.docx
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专题方案题1
方案设计型问题
这类问题不仅在中考中经常出现,大家在平时的练习中也会经常碰到。
它一般给出两种元素,利用这两种元素搭配出不同的新事物,设计出方案,使获利最大或成本最低。
解题时要根据题中蕴含的不等关系,列出不等式(组),通过不等式组的整数解来确定方案。
1.(2012•内江)某市为创建省卫生城市,有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉,搭配A、B两种园艺造型共60个,摆放于入城大道的两侧,搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示,结合上述信息,解答下列问题:
造型花卉
甲
乙
A
80
40
B
50
70
(1)符合题意的搭配方案有几种?
(2)如果搭配一个A种造型的成本为1000元,搭配一个B种造型的成本为1500元,试说明选用那种方案成本最低?
最低成本为多少元?
考点:
一元一次不等式组的应用。
专题:
应用题;图表型。
分析:
(1)设需要搭配x个A种造型,则需要搭配B种造型(60﹣x)个,根据“4200盆甲种花卉”“3090盆乙种花卉”列不等式求解,取整数值即可.
(2)计算出每种方案的花费,然后即可判断出答案.
解答:
解:
(1)设需要搭配x个A种造型,则需要搭配B种造型(60﹣x)个,
则有
,
解得37≤x≤40,
所以x=37或38或39或40.
第一方案:
A种造型37个,B种造型23个;
第二种方案:
A种造型38个,B种造型22个;
第三种方案:
A种造型39个,B种造型21个.
第四种方案:
A种造型40个,B种造型20个.
(2)分别计算三种方案的成本为:
①37×1000+23×1500=71500元,
②38×1000+22×1500=71000元,
③39×1000+21×1500=70500元,
④40×1000+20×1500=70000元.
通过比较可知第④种方案成本最低.
答:
选择第四种方案成本最低,最低位70000元.
点评:
此题考查了一元一次不等式组的应用,是一道实际问题,有一定的开放性,
(1)根据图表信息,利用所用花卉数量不超过甲、乙两种花卉的最高数量列不等式组解答;
(2)为最优化问题,根据
(1)的结果直接计算即可.
设计销售方案问题
在商品买卖中,更多蕴含着数学的学问。
在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中,大家不能被表象所迷惑,需要理智的分析。
通过计算不同的销售方案盈利情况,可以帮助我们明白更多的道理。
近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。
2.(2012•广安)某学校为了改善办学条件,计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑,经投标,购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元,购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元.
(1)求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元?
(2)根据该校实际情况,需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396,要求购买的总费用不超过2700000元,并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍,该校有哪几种购买方案?
(3)上面的哪种购买方案最省钱?
按最省钱方案购买需要多少钱?
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。
分析:
(1)设购买1块电子白板需要x元,一台笔记本电脑需要y元,由题意得等量关系:
①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元,②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元,由等量关系可得方程组,解方程组可得答案;
(2)设购买电子白板a块,则购买笔记本电脑(396﹣a)台,由题意得不等关系:
①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍;②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元,根据不等关系可得不等式组,解不等式组,求出整数解即可;
(3)由于电子白板贵,故少买电子白板,多买电脑,根据
(2)中的方案确定买的电脑数与电子白板数,再算出总费用.
解答:
解:
(1)设购买1块电子白板需要x元,一台笔记本电脑需要y元,由题意得:
,
解得:
.
答:
购买1块电子白板需要15000元,一台笔记本电脑需要4000元.
(2)设购买电子白板a块,则购买笔记本电脑(396﹣a)台,由题意得:
,
解得:
99≤a≤101
,
∵a为正整数,
∴a=99,100,101,则电脑依次买:
297台,296台,295台.
因此该校有三种购买方案:
方案一:
购买笔记本电脑295台,则购买电子白板101块;
方案二:
购买笔记本电脑296台,则购买电子白板100块;
方案三:
购买笔记本电脑297台,则购买电子白板99块;
(3)解法一:
购买笔记本电脑和电子白板的总费用为:
方案一:
295×4000+101×15000=2695000(元)
方案二:
296×4000+100×15000=2684000(元)
方案三:
297×4000+99×15000=2673000(元)
因此,方案三最省钱,按这种方案共需费用2673000元.
解法二:
设购买笔记本电脑数为z台,购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元,
则W=4000z+15000(396﹣z)=﹣11000z+5940000,
∵W随z的增大而减小,∴当z=297时,W有最小值=2673000(元)
因此,当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时,最省钱,这时共需费用2673000元.
点评:
此题主要考查了二元一次方程组的应用,不等式组的应用,关键是弄清题意,找出题目中的等量关系与不等关系,列出方程组与不等式组.
3.(2012•河池)随着人们环保意识的不断增强,我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.
(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆?
(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?
试写出所有可能的方案.
考点:
一元二次方程的应用;一元一次不等式组的应用。
分析:
(1)设年平均增长率是x,根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆,可求出增长率,进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆.
(2)设建x个室内车位,根据投资钱数可表示出露天车位,根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的3倍,可列出不等式组求解,进而可求出方案情况.
解答:
解:
(1)设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x,
则125(1+x)2=180,
解得x1=0.2=25%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)
∴180(1+20%)=216(辆),
答:
该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆;
(2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个,
则
,
由①得b=150﹣5a,
代入②得20≤a≤
,
∵a是正整数,
∴a=20或21,
当a=20时b=50,当a=21时b=45.
∴方案一:
建室内车位20个,露天车位50个;
方案二:
室内车位21个,露天车位45个.
点评:
本题考查了一元二次方程的应用,关键是先求出增长率,再求出2012年的家庭电动自行车量,然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解.
4.(2012•铁岭)为奖励在文艺汇演中表现突出的同学,班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品.小亮发现,如果买1个笔记本和3支钢笔,则需要18元;如果买2个笔记本和5支钢笔,则需要31元.
(1)求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元?
(2)班主任给小亮的班费是100元,需要奖励的同学是24名(每人奖励一件奖品),若购买的钢笔数不少于笔记本数,求小亮有哪几种购买方案?
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。
分析:
(1)每个笔记本x元,每支钢笔y元,根据题意列出方程组求解即可;
(2)设购买笔记本m个,则购买钢笔(24﹣m)个利用总费用不超过100元和钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得m的取值范围后即可确定方案.
解答:
解:
(1)设每个笔记本x元,每支钢笔y元
依题意得:
解得:
答:
设每个笔记本3元,每支钢笔5元.
(2)设购买笔记本m个,则购买钢笔(24﹣m)个
依题意得:
解得:
12≥m≥10
∵m取正整数
∴m=10或11或12
∴有三种购买方案:
①购买笔记本10个,则购买钢笔14个.
②购买笔记本11个,则购买钢笔13个.
③购买笔记本12个,则购买钢笔12个.
点评:
本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用,解题的关键是仔细的分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式.
5.(2012•南充)学校6名教师和234名学生集体外出活动,准备租用45座大车或30座小车.若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元;若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元.
(1)求大、小车每辆的租车费各是多少元?
(2)若每辆车上至少要有一名教师,且总租车费用不超过2300元,求最省钱的租车方案.
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。
分析:
(1)设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元.根据题意:
“租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元”;“租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元”;列出方程组,求解即可;
(2)根据汽车总数不能小于
(取整为6)辆,即可求出共需租汽车的辆数;设出租用大车m辆,则租车费用Q(单位:
元)是m的函数,由题意得出100m+1800≤2300,得出取值范围,分析得出即可.
解答:
解:
(1)设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元.
可得方程组
,
解得
.
答:
大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元.
(2)由每辆汽车上至少要有1名老师,汽车总数不能大于6辆;
由要保证240名师生有车坐,汽车总数不能小于
(取整为6)辆,
综合起来可知汽车总数为6辆.
设租用m辆甲种客车,则租车费用Q(单位:
元)是m的函数,
即Q=400m+300(6﹣m);
化简为:
Q=100m+1800,
依题意有:
100m+1800≤2300,
∴m≤5,
又要保证240名师生有车坐,m不小于4,
所以有两种租车方案,
方案一:
4辆大车,2辆小车;
方案二:
5辆大车,1辆小车.
∵Q随m增加而增加,
∴当m=4时,Q最少为2200元.
故最省钱的租车方案是:
4辆大车,2辆小车.
点评:
本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用和理解题意的能力,关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系,列出方程组和不等式求解.
6.(2012•朝阳)为支持抗震救灾,我市A、B两地分别有赈灾物资100吨和180吨,需全部运往重灾区C、D两县,根据灾区的情况,这批赈灾物资运往C县的数量比运往D县的数量的2倍少80吨.
(1)求这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是多少吨?
(2)设A地运往C县的赈灾物资数量为x吨(x为整数).若要B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍,且要求B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨,则A、B两地的赈灾物资运往C、D两县的方案有几种?
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。
专题:
调配问题。
分析:
(1)设运往C县的物资是a吨,D县的物资是b吨,然后根据运往两地的物资总量列出一个方程,再根据运往C、D两县的数量关系列出一个方程,然后联立组成方程组求解即可;
(2)根据A地运往C县的赈灾物资数量为x吨,表示出B地运往C县的物资是(160﹣x)吨,A地运往D县的物资是(100﹣x)吨,B地运往D县的物资是120﹣(100﹣x)=(20+x)吨,然后根据“B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍”列出一个不等式,根据“B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨”列出一个不等式,组成不等式组并求解,再根据x为整数即可得解.
解答:
解:
(1)设运往C县的物资是a吨,D县的物资是b吨,
根据题意得,
,
解得
,
答:
这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是160吨,120吨;
(2)设A地运往C县的赈灾物资数量为x吨,则B地运往C县的物资是(160﹣x)吨,
A地运往D县的物资是(100﹣x)吨,B地运往D县的物资是120﹣(100﹣x)=(20+x)吨,
根据题意得,
,
解不等式①得,x>40,
解不等式②得,x≤43,
所以,不等式组的解集是40<x≤43,
∵x是整数,
∴x取41、42、43,
∴方案共有3种,分别为:
方案一:
A地运往C县的赈灾物资数量为41吨,则B地运往C县的物资是119吨,
A地运往D县的物资是59吨,B地运往D县的物资是61吨;
方案二:
A地运往C县的赈灾物资数量为42吨,则B地运往C县的物资是118吨,
A地运往D县的物资是58吨,B地运往D县的物资是62吨;
方案三:
A地运往C县的赈灾物资数量为43吨,则B地运往C县的物资是117吨,
A地运往D县的物资是57吨,B地运往D县的物资是63吨.
点评:
本题考查了一元一次不等式组的应用,二元一次方程组的应用,找出题目中的数量关系是解题的关键,
(2)难点在于根据A地运往C县的赈灾物资数量为x吨,表示出运往其他县的物资是解题的关键.
7.(2012•温州)温州享有“中国笔都”之称,其产品畅销全球,某制笔企业欲将n件产品运往A,B,C三地销售,要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍,各地的运费如图所示.设安排x件产品运往A地.
(1)当n=200时,①根据信息填表:
A地
B地
C地
合计
产品件数(件)
x
2x
200
运费(元)
30x
②若运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元,则有哪几种运输方案?
(2)若总运费为5800元,求n的最小值.
考点:
一次函数的应用;一元一次不等式组的应用。
专题:
应用题。
分析:
(1)①运往B地的产品件数=总件数n﹣运往A地的产品件数﹣运往B地的产品件数;运费=相应件数×一件产品的运费;
②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元列出不等式组,求得整数解的个数即可;
(2)总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费,进而根据函数的增减性及
(1)中②得到的x的取值求得n的最小值即可.
解答:
解:
(1)①根据信息填表
A地B地C地合计
产品件数(件)200﹣3x
运费1600﹣24x50x56x+1600
②由题意,得
,
解得40≤x≤42
,
∵x为整数,
∴x=40或41或42,
∴有三种方案,分别是(i)A地40件,B地80件,C地80件;
(ii)A地41件,B地77件,C地82件;
(iii)A地42件,B地74件,C地84件;
(2)由题意,得30x+8(n﹣3x)+50x=5800,
整理,得n=725﹣7x.
∵n﹣3x≥0,
∴x≤72.5,
又∵x≥0,
∴0≤x≤72.5且x为整数.
∵n随x的增大而减少,
∴当x=72时,n有最小值为221.
点评:
考查一次函数的应用;得到总运费的关系式是解决本题的关键;注意结合自变量的取值得到n的最小值.
8.(2012•黔西南州)某工厂计划生产A,B两种产品共10件,其生产成本和利润如下表:
A种产品
B种产品
成本(万元/件)
2
5
利润(万元/件)
1
3
(1)若工厂计划获利14万元,问A,B两种产品应分别生产多少件?
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元,且获利多于14万元,问工厂有哪几种生产方案?
(3)在
(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?
并求出最大利润.
考点:
一次函数的应用;一元一次方程的应用;一元一次不等式组的应用。
分析:
(1)设生产A种产品x件,则生产B种产品有10﹣x件,根据计划获利14万元,即两种产品共获利14万元,即可列方程求解;
(2)根据计划投入资金不多于44万元,且获利多于14万元,这两个不等关系即可列出不等式组,求得x的范围,再根据x是非负整数,确定x的值,x的值的个数就是方案的个数;
(3)由已知可得,B产品生产越多,获利越大,因而B取最大值时,获利最大,据此即可求解.
解答:
解:
(1)设生产A种产品x件,则生产B种产品10﹣x件,于是有
x+3(10﹣x)=14,
解得:
x=8,
则10﹣x=10﹣8=2(件)
所以应生产A种产品8件,B种产品2件;
(2)设应生产A种产品x件,则生产B种产品有10﹣x件,由题意有:
,解得:
2≤x<8;
所以可以采用的方案有:
,
,
,
,
,
共6种方案;
(3)由已知可得,B产品生产越多,获利越大,所以当
时可获得最大利润,其最大利润为2×1+8×3=26万元.
点评:
本题考查理解题意的能力,关键从表格种获得成本价和利润,然后根据利润这个等量关系列方程,根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解,然后求出哪种方案获利最大从而求出来.
9.(2012•攀枝花)煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一,煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划.某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A、B两厂,通过了解获得A、B两厂的有关信息如下表(表中运费栏“元/t•km”表示:
每吨煤炭运送一千米所需的费用):
厂别
运费(元/t•km)
路程(km)
需求量(t)
A
0.45
200
不超过600
B
a(a为常数)
150
不超过800
(1)写出总运费y(元)与运往A厂的煤炭量x(t)之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)请你运用函数有关知识,为该煤矿设计总运费最少的运送方案,并求出最少的总运费(可用含a的代数式表示)
考点:
一次函数的应用;一元一次不等式组的应用。
分析:
(1)根据总费用=运往A厂的费用+运往B厂的费用.经化简后可得出y与x的函数关系式,
(2)根据图表中给出的判定吨数的条件,算出自变量的取值范围,然后根据函数的性质来算出所求的方案.
解答:
解:
(1)若运往A厂x吨,则运往B厂为(1000﹣x)吨.
依题意得:
y=200×0.45x+150×a×(1000﹣x)
=90x﹣150ax+150000a,
=(90﹣150a)x+150000a.
依题意得:
解得:
200≤x≤600.
∴函数关系式为y=(90﹣150a)x+150000a,(200≤x≤600).
(2)当0<a<0.6时,90﹣150a>0,
∴当x=200时,y最小=(90﹣150a)×200+150000a=120000a+18000.
此时,1000﹣x=1000﹣200=800.
当a>0.6时,90﹣150a<0,又因为运往A厂总吨数不超过600吨,
∴当x=600时,y最小=(90﹣150a)×600+150000a=60000a+54000.
此时,1000﹣x=1000﹣600=400.
答:
当0<a<0.6时,运往A厂200吨,B厂800吨时,总运费最低,最低运费120000a+18000元.
当a>0.6时,运往A厂600吨,B厂400吨时,总运费最低,最低运费60000a+54000.
点评:
本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题,一次函数是常用的解答实际问题的数学模型,是中考的常见题型,同学们应重点掌握.
10.(2012•凉山州)某商场计划购进冰箱、彩电进行销售.相关信息如下表:
进价(元/台)
售价(元/台)
冰箱
a
2500
彩电
a﹣400
2000
(1)若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等,求表中a的值.
(2)为了满足市场需要求,商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台,且冰箱的数量不少于彩电数量的
.
①该商场有哪几种进货方式?
②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出,获得的最大利润为w元,请用所学的函数知识求出w的值.
考点:
一次函数的应用;分式方程的应用;一元一次不等式组的应用。
专题:
应用题;图表型。
分析:
(1)分别表示冰箱和彩电的购进数量,根据相等关系列方程求解;
(2)设购买彩电x台,则购进冰箱(50﹣x)台.
①根据题意列表达式组求解;
②用含x的代数式表示利润W,根据x的取值范围和一次函数的性质求解.
解答:
解:
(1)根据题意得
=
.
解得a=2000.经检验a=2000是原方程的根;
(2)设购买彩电x台,则购进冰箱(50﹣x)台.
①根据题意得
.
解得:
25≤x≤
,
故有三种进货方式:
1)购买彩电25台,则购进冰箱25台;
2)购买彩电26台,则购进冰箱24台;
3)购买彩电27台,则购进冰箱23台.
②一个冰箱的利润为:
500元,一个彩电的利润为400元,
故w=400x+500(50﹣x)=﹣100x+25000,
w为关于x的一次函数,且为减函数,
而25≤x≤
,x取整数,
故当x=25时,获得的利润最大,最大为22500元.
点评:
此题考查了一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式的应用,解答本题的关键是求出a的值,利用函数及不等式的知识进行解答.
11.(2012•佳木斯)国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议,会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区.现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地,用大、小两种货车共18辆,恰好能一次性运完这批物资.已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆,运往甲、乙两地的运费如表:
运往地
车型
甲地(元/辆)
乙地(元/辆)
大货车
720
800
小货车
500
650
(1)求这两种货车各用多少辆?
(2)如果安排9辆货车前往甲地,其余货车前往乙地,设前往甲地的大货车为a辆,前往甲、乙两地的总运费为w元,求出w与a的函数关系式(写出自变量的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,若运往甲地的物资不少于120吨,请你设计出使总运费最少的货车调配方案,并求出最少总运费.
考点:
一次函数的应用;二元一次方程组的应用。
分析:
(1)设大货车用x辆,小货车用y辆,根据大、小两种货车共18辆,运输228吨物资,列方程组求解;
(2)设前往甲地的大货车为a辆,则前往乙地的大货车为(8﹣a)辆,前往甲地的小货车为(9﹣a)辆,前往乙地的小货车为[10﹣(9﹣a)]辆,根据表格所给运费,求出w与a的函数关系式;
(3)结合已知条件,求a的取值范围,由
(2)的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案.
解答:
解:
(1)解法一、设大货车用x辆,小货车用y辆,根据题意得
…(2分)
解得
答:
大货车用8辆,小货车用10辆.…(1分)
解法二、设大货车用x辆,则小货车用(18﹣x)辆,根据题意得
16x+10(18﹣x)=228…(2分)
解得x=8
∴18﹣x=18﹣8=10(辆)
答:
大货车用8辆,
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