标题背景知识 分配律ab+c.docx
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标题背景知识分配律ab+c
1-1乘法公式─題型解析v04_0928
各位同學大家好,
歡迎再度來到線上數位課程,
在學過乘法公式的基本課程之後,
我們知道乘法公式可以化簡許多數的計算。
現在,
請各位同學翻開練習本,
讓我們一起來做一些練習…
1.第一小題中
(唸題目)
本題中前後兩組數相乘後相加
將乘法部份直接乘開,再做計算並不容易,
觀察發現
前後兩組數各有86,
就是分配律ab+ac中的a
將相同的部份86提出後,
原式=86x(981+19)(原式等於86乘以括號(981+19))
=86x1000(接著,小括號內先做計算得1000)
=86000(乘上86,得86000)
(本題中使用分配律將共同部份提出,讓計算變容易了…!
)
存檔…
第二小題,
本題中有四組乘法相加減
如果直接乘開再做加減計算,一樣不容易,
觀察發現,
(1296-196)x0.58(前面兩組有共同的0.58,依分配律的原則,將0.58提出,原式等於(1296-196)x0.58)
(1296-196)x0.42(後面兩組有共同的0.42,照樣將0.42先行提出去,得(1296-196)x0.42)
接著,括號內先算,得1100
=1100x0.58+1100x0.42(結果,式子就變成1100x0.58+1100x0.42)
=1000x(0.58+0.42)(再一次依分配律的原則,提出共同的1100,括號內為0.58+0.42)
=1100x1=1000#(小括號內相加等於1,1100x1=1)
(太棒了,使用分配律,求值變容易…)
存檔…
小試身手
1.觀察第一小題,直接乘開再相減並不容易,
2.如將前後相同的94依分配律原則先行提出,
3.原式等於(125-25)x94,
4.括號內先行計算,再乘以94,得最後的結果。
第二小題
1.觀察本題中型式,與上面例題中相似,
2.故參考上面的分組,前兩組提出共同的部份0.36,後兩組也提出共同的商份0.64(寫出右式()x0.36+()x0.64)
4.括號內則為764–264=500
5.再一次使用分配律,將500提出後,計算得到結果。
小試身手部份,請同學們自行計算,並參考本頁提供的答案。
2.本題為─利用分配律求值的問題
(唸題目)
這是兩個小數的乘法
要求,可以直接乘開是一個方法,但並不容易,
觀察此兩數均與10接近
(10+0.5)(10+0.2)(如將此兩數分別表示為10+0.5,10+0.2)
=100+2+5+0.1(再利用直接分配
10x10得100,10x0.2得2,0.5x10得5,0.5x0.2得0.1)
=107.1(最後,將分配後的四個數相加,得107.1)
接著來看
小試身手
1.本題為帶分數相乘,直接乘開真是不容易
2.如將帶分數的整數與分數部份分開,得(+)(+)
3.再依直接分配原則,得到四個數後相加,即得計算結果。
本頁中
我們學得一個經驗:
兩個小數(或帶分數)相乘時,如覺得不太容易計算,
可以試著利用分配律,先將整數部份與小數部份(或分數部份)分開,再依直接分配的原則計算,就可能可以得到比較容易計算的結果。
3.本題為利用和的平方求值問題
第一小題要求這個式的值是多少?
我們觀察到兩個平方數(635^2,365^2)
加上中間是+2乘上一些數,
我們聯想到和的平方公式a^2+2ab+b^2(指到公式)
如果將635設為a,365設為b,則中間部分剛好為2ab
符合和的平方公式,故
原式=(635+365)^2(原式等於(a+b)^2)
=(1000)^2(括號內數字相加得1000)
=1000000(1000的平方為1000000)
接著,在第二小題中要求式子中x的值
觀察等號右邊有兩個平方數60^2和0.4^2
而如將等號左邊的60.4^2表示成(60+0.4)^2
依照和的平方公式展開
(60.4)^2=60^2+2x60x0.4+0.4^2(就會得到60^2&0.4^2這兩個平方數)
=60^2+2x60x(x)+0.4^2(對照題目中未知數x的位置)
x=60x0.4=24.(得到x=60x0.4=24)
小試身手第一小題
1.此式中觀察到兩個平方數63^2,17^2
和中間部分為正值且與63,17有關
2.如果將63設為a,17設為b
3.中間部分34x63=2x17x63剛好=2ab
原式符合和的平方公式
4.等於(a+b)^2=(63+17)^2
在第二小題中
1.等號的左邊400^2,右邊則有394^2,
2.如果要將400^2利用和的平方公式展開,
並於等式右邊要產生394^2
要將400^2表示為(394+6)^2
3.利用和的平方公式展開,得
394^2+2x394x6+6^2
4.對應未知數x的位置,即可求出x的值.
本頁中我們學到求值時,首先觀察式子中的平方數是否有兩個;接著觀察中間部份剛好或可表示為2ab者,就可以使用和的平方公式求值。
4.本題為利用差的平方求值問題
第一小題求式子的值是多少?
在未學習過乘法公式前,
我們可能會很困難地直接將這三部份分別乘開後加減。
但我們觀察到兩個平方數12.5^2和7.5^2,
且中間部份是-2,且與12.5,7.5這兩個數有關(–2x12.7x7.5)
聯想到差的平方公式a^2–2ab+b^2
如果將12.5設為a,7.5設為b
中間的數剛好為2ab
符合差的平方公式
原式等於(a(12.5)-b(7.5))^2=5^2=25
第二小題,中
同樣觀察到兩個平方數,
中間的數是負數且可表示為與64,14有關的式子
,也就是-2x14x64
聯想到差的平方公式
如果將64設為a,14設為b,則中間數剛好為-2ab
則原式等於a^2-2ab+b^2
等於=(a–b)^2=(64–14)^2=50^2=2500
小試身手
(991/2)^2直接乘開不易
但因為991/2接近100,
我們可將(991/2)^2表示為(100–1/2)^2
符合差的平方公式(a-b)^2
原式等於100^2–2x100x1/2+(1/2)^2
分別求出三數,相加減即得。
在第二小題中
我們只觀察到一個平方數(98^2),
但是最後面的64也可表示為8^2
所以此式有兩個平方數98^2和8^2
如果將98設為a,8設為b,中間部份可表示為-2x8x98剛好是-2ab
符合差的平方公式,a^2–2ab+b^2
原式等於(98–8)^2直接算出即得計算結果
本頁學習求值時:
觀察兩個平方數a^2,b^2、中間數剛好等於,或可表示為-2ab時,即可利用差的平方公式來求值。
5.差的平方應用
我們要求小於9.8^2的最大整數。
首先我們要先算出9.8的平方
因為9.8^2直接乘開不容易,
但是9.8接近10,
可將 9.8^2表示成(10-0.2)^2(再利用 差的平方公式 展開)
=10^2–2x10x0.2+0.2^2(三數分別算出,得)
=100–4+0.04(相加減,得)
=96.04
題中要求小於96.04的最大整數,
就是去掉小數的部份,得96。
在小試身手中,與例題一樣的題型,
99(1/4)接近100,
利用差的平方公式
(991/4)^2=(100–3/4)^2
展開,得100^2–2x100x3/4+(3/4)^2,
分別算出三數,相加減後,
再將分數的部份去掉
即可求得小於這個數(99(1/4))^2的最大整數。
6.為差的平方的應用
(唸題目)
99x99+199=99^2+199
其中,99的平方不是很好計算,
將99表示成(100-1).
原式等於
(100-1)^2+199.(直接用差的平方公式展開得)
=100^2–2x100x1+1^2+199
=10000–200+1+199 (相加減後,消掉200,得)
=10000
(同學們還可以想到其他的方法算出本題嗎?
)
例如:
將99x99+199=99x99+(100+99)
同學可以去算算看…
小試身手
提示:
將47表示為(50-3).
原式等於(50-3)^2+291
再利用差的平方公式
將(50-3)^2展開後,相加減即得。
7.本題為利用平方差公式求值
在第一小題中,
直接計算995^2與994^2後相減求值,計算不容易。
觀察到本題是兩個平方數相減,(就是平方差)
我們可利用平方差公式,
995^2–994^2
=(995+994)(995-994)(平方差公式)
=1989x1
=1989#
在第二小題中
首先觀察到的是沒有平方數,
但相乘的兩個帶分數均接近100
如果將前後兩個帶分數分別表示為
(100+1/4)(100–1/4)(即符合平方差公式(a+b)(a-b))
=100^2–(1/4)^2(結果就等於100^2–(1/4)^2)
=10000–(1/16)(兩數分別算出,得)
=9999+1–(1/16)=9999(15/16)(最後,將10000表為9999+1,1–(1/16)=15/16,再加前面的9999,得到結果)
小試身手
第一小題,同上面例題,
題目形式為兩個平方數相減(即平方差),
利用平方差公式
原式等於(888+887)(888-887)
前後分別算出後相乘,即可算出答案.
第二小題中,兩個小數直接乘開不容易
觀察前後兩數,都接近50
所以,嘗試著將之表示為(50-0.5)(50+0.5)
即符合平方差公式(a-b)(a+b)
再利用平方差公式得a^2-b^2,即可輕鬆求得計算結果。
8.平方差應用─求圖形面積
(唸題目)
觀察的結果,
著色部分的面積=大正方形面積–小正方形面積
而正方形的面積為:
邊長的平方
所以著色區域的面積等於
=75.5^2–24.5^2(利用平方差公式a^2-b^2等於)
=(75.5+24.5)(75.5–24.5)(前後分別算出100,51,相乘,得)
=100x51
=5100(同學們要注意結果要註明單位(cm2)哦)
接下來看小試身手
(唸題目)
著色區域的面積=大圓面積–小圓面積
而圓面積=半徑^2xpi
所以著色區域的面積=762π-242π(大圓面積-小圓面積)
把π提出來,就變成(762-242)π,
同學們再利用平方差公式,將括號內算出來,再乘以pi
就可求出著色區域的面積了。
(請同學參考計算結果)
9.本例題為平方差的應用
觀察本題,中間部份很難計算,
但是2005,2006,2007這三個數中,2006為中間數
分子可以表示為(2006+1)(2006-1),
再利用平方差公式得到=2006^2–1^2
以上是經由觀察後可以進行的第一個步驟
所以,原式就等於1/2006+(2006^2-1^2)/2006-1911
接著,將中間的部份分開
=1/2006+2006^2/2006-(1/2006)–1911
=2006^2/2006-1911(1/2006消掉,同時,分子分母約分,得2006)
=2006–1911(結果就是2006-1911,得)
=95#
(本題中,我們先觀察到可以使用乘法公式的部份先算,
再進行下一步的觀察,通常是不錯的解題策略哦!
)
各位同學可以試著做做看小試身手
本題題型與例題一樣,
我們可以先觀察到(497,498,499)這三個數中,498是中間數。
分子就可以表示為(498+1)(498-1),
利用平方差公式得到=498^2–1^2
接下去的步驟與上面例題相同,請同學們做做看,並參考答案。
10.本題為平方差的應用(唸題目)
我們觀察到等號左邊很多9(例如:
9+1,9^2+1…),
而前面兩數相乘為8
如果我們把8表示為(9-1)
與後面(9+1)就符合平方差公式,
(9-1)(9+1)(9^2+1)(前面兩個符合平方差,計算結果為9^2-1)
=(9^2-1)(9^2+1)(其結果再一次與後面9^2+1符合平方差公式,得)
=(9^2)^2–1^2(運用指數律,指數部份為2x2=4)
=9^4–1
對照本題中,考慮以3為底的指數形式,故將9^4寫成(3^2)^4
=(3^2)^4–1(接著,再運用指數律,指數部份為2x4=8,得)
=3^8–1
最後,對照題目中所要求的A的位置,得A=8#
小試身手中
觀察此題的形式與上面例題之形式相同,同時我們觀察到很多5
如將4表示成(5-1),6表示成(5+1),
接著,可以使用多次平方差公式
例如前面的(5-1)(5+1)=(5^2-1),(5^2-1)(5^2+1)=5^4-1等
最後等號左邊可以化簡為5B-1的格式,對照題中B的位置,即得B
(請同學們將算式一步步寫好,並參考老師提供的答案)
11.乘法公式綜合求值應用
觀察題目中給我們的已知條件a+b,ab,
本小題中所要求的數為a^2+b^2,
考慮這三者之間的關係,可用和的平方來表示:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(將2ab移項,將已知的條件放在等號同一邊)
得a^2+b^2=(a+b)^2–2ab(將a+b,ab分別代入,等於)
=7^2–2x12(兩數分別為49,25,相減,得)
=25#
第二題中,同樣考慮要求的(a-b)^2與ab,a+b(或a^2+b^2)的關係
可用差的平方公式來表示
(a-b)^2=a^2+b^2–2ab(其中ab已知,a^2+b^2則由題1得到,代入,得)
=25–2x12(兩數相減)
=1#
由上面我們已知a+b,ab,a^2+b^2
利用分配律,將題目表示成
4(a^2+b^2)–3ab(接著,將a^2+b^2,ab分別代入,等於)
=4x25-3x12
=100-36=64#
小試身手
第一小題觀察已知條件a-b,ab,和a^2+b^2的關係
可用差的平方來表示
(a-b)^2=a^2–2ab+b^2
移項,得a^2+b^2=(a-b)^2+2ab
並代入(a-b=3,ab=4)得#
第二小題請同學觀察a+b,a^2+b^2,ab的關係
可用和的平方表示
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
代入已知數值a^2+b^2及ab得
(a+b)^2=25
同學們要注意,25=(±5)^2
所以,括號內的a+b等於± 5
第三小題我們將a^4表示為(a^2)^2,b^4表示為(b^2)^2
和的平方公式(a^2+b^2)^2
=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2
運用指數律a^2b^2=(ab)^2,移項,得
a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2(代入已知數值a^2+b^2,ab,得)
為了增加同學們的信心,以下是一些基測題目練習,
同學們會發現,只要基本原理充分理解,
加上適當的練習,都可以拿到分數哦!
12.平方差面積應用
(唸題目─要仔細)
本題所求的面積,就是綠色部份的面積,
我們將大的正方形-四個小正方形面
也就是27.6^2–4x3.8^2就是答案了。
題目很簡單,但重點在4這個數字上,4=2^2
所以原式=27.6^2–(2^2x3.8^2)(運用指數律,將指數2提出去)
=27.6^2–(2x3.8)^2
=27.6^2–7.6^2(現在就符合平方差公式(a^2-b^2),等於)
=(27.6+7.6)(27.6–7.6)(分別算出前35.2後20,再相乘,得)
=35.2x20
=704(cm^2)(記得寫單位)
(此題利用平方差公式,及指數律,希望各位同學能融會貫通哦)
13.平方差應用
觀察此題,直接可以計算的部份是平方差
所以我們先將
1999^2–2000^2依平方差公式,等於
=(1999+2000)(1999-2000)(前後分別計算前3999後-1)
=3999x(-1)(相乘,得)
=-3999
=1333a(等於題目所述)
故a=(-3999)/1333=-3#
(此題將觀察到可以進行乘法公式的部份先行計算,再進行下一步的觀察與計算,通常都可以得到解題的線索。
這是我們在這裡學習到的寶貴經驗,各位同學一定要記起來哦)
14.平方差應用
此題可以先就直接觀察到的部份平方差(320^2-160^2),
進行計算,原式等於
=(320+160)(320–160)x(1/160)(前面480,後面為160,太棒了 )
=480x160x(1/160)(我們可以約分消去160,得到答案)=480
(此題經驗也是一樣,先觀察到的乘法公式部份可以先行計算...接著,就可以迎刃而解了)
15.平方差應用
(唸題目)
此題為帶分數相乘,
依前面的例題經驗,兩數都接近70,可以將此兩帶分數表示成
(70–6/23)(70+6/23)
如此便符合平方差公式,所以,就等於
=70^2–(6/23)^2(70^2=4900,減去(6/23)^2)
=4900–(6/23)^2好
算到這裡,同學可不要冒然寫a=4900哦!
因為還有a,b的條件限制!
為了讓0
原式=4899+[1–(6/23)^2]
這時,0
(本題學習到的經驗是:
同學要仔細標出題目的各個條件,到題目的最後,一定要檢查各個條件是否符合!
)
16.很顯然
的,是平方差應用
(唸題目)
由於選項(A)~(D)都是平方差,
我們先算出各個的值
再觀察各結果的情況...(但不急著乘開,這可要一些經驗!
)
(A)=(777+27)(777-27)=804x750
(B)=(852+48)(852–48)=900x804
(C)=(1001+599)(1001–599)=1600x402=800x804
(D)=(1006+604)(1006–604)=1610x402=805x804
各選項都有804,乘以最大數900的數為最大,選(B)
(同學們記得不要將數字乘開哦...)
17.平方差的應用
(唸題目)
A=100^2–21^2
觀察此數a是兩個數的平方差
直接算出平方,再相減,
不如應用平方差公式,通常都能簡化計算。
所以我們決定用平方差公式試試...
先算出100^2–21^2=(100+21)(100-21)
=121x79
=11^2x79(其中11和79都是質數,也是a的質因數)
題目問我們a的因數,其中11是a的質因數,故也是因數,選(A)。
(質因數複習...)
(經驗:
乘法公式通常可以化簡數的計算...)
18.(唸標題及解釋題目)
觀察15^2,25^2,35^2...
都是100x(十位數)x(十位數+1)+5^2(=25)
故95^2=100x9x(9+1)+25=9025#
兩位數a|5可以表示成10a+5(尾數是5)
故(10a+5)^2(尾數是5的數的平方,依和的平方公式等於)
=(10a)^2+2x10ax5+5^2(分別算出,為100a^2,100ª,25)
=100a^2+100a+25(前面兩項提出100a,得)
=100a(a+1)+25
(10ª+5)^2等於100x(十位數)x(十位數+1)+25)
但,這個結果不只可用於兩位數,
只要尾數是5的數的平方都適合,
例如:
105^2=100x10x(10+1)+25=11025
995^2=100x99x(99+1)+25=990025
同學們是不是覺得很奇妙呢?
19.平方差─思考題
(唸題目)
設此兩數為a,b
則依題意a–b=0.1
a^2–b^2>100(?
)
表面上看起來a,b的差很小,
平方差應該會更小吧!
怎麼可能大於100呢?
但是我們來思考一下...依據平方差公式
a^2–b^2=(a+b)(a-b)
=(a+b)x0.1>100(a-b=0.1代入)
則經移項法則,得
a+b>100/0.1=1000
結果我們發現,只要a+b>1000
其平方差a^2-b^2就會大於100!
(本題提醒同學們,在解數學題目時,每一個步驟都要有「根據」哦!
)
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