与圆的切线有关的计算与证明.docx
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与圆的切线有关的计算与证明
与圆的切线有关的计算与证明
类型之一与切线的性质有关的计算或证明
【经典母题】
如图Z12-1,0O的切线PC交直径AB的延长线于点P,C为切点,若/P=
30°,OO的半径为1,贝UPB的长为__1__.
【解析】如答图,连结0C
•••PC为00的切线,•••/PC390°,
在Rt△OCP中,v0C=1,ZP=30°,
•••0P=20C=2,
•••PB=OP-0B=2-1=1.
【思想方法】
(1)已知圆的切线,可得切线垂直于过切点的半径;
(2)已知
圆的切线,常作过切点的半径,得到切线与半径垂直.
【中考变形】
[2017天津]已知AB是O0的直径,AT是00的切线,/ABT=50°,BT交O0
于点C,E是AB上一点,延长CE交OO于点D
(1)如图Z12-2①,求/T和/CDB的大小;
(2)如图②,当BE=BC时,求/CDO的大小.
(3)
图Z12-2
解:
(1)如答图①,连结AC
•••AT是。
0的切线,AB是。
0的直径,
•••AT丄AB,即/TAB=90°,
•••/AB匸50°,AZT=90°—/AB匸40°,
由AB是OO的直径,得/AC*90°,
•••/CAB=90°—/ABC=40°,a/CD*/CAB=40°;
中考变形答图①中考变形答图②
⑵如答图②,连结AD,
在^BCE中,BE*BC,/EBC*50°,
/./BCE-/BEC*65°,a/BA—/BC*65°,
vOA*OD二/OD*/OA*65°,
•••/AD(*/ABC*50°,
•••/CD*/OD—/AD(*65°—50°*15°.
【中考预测】
[2017宿迁]如图Z12—3,AB与OO相切于点B,BC为。
O的弦,OCLOAOA
与BC相交于点P.
(1)求证:
AP*AB
(2)
ti
中考预测答图
若O44,AB=3,求线段BP的长.
图Z12-3
解:
(1)证明:
vO(*OB•••/OC*/OBC
vAB是OO的切线,二OBLAB,
•••/OBA=90°,•••/ABP^/OB*90°,
vOCLAQ•••/AOG90°,
:
丄OCB-ZCPO=90°,vZAPB=ZCPQ
•••/APB=ZABP二AP=AB;
⑵如答图,作OHLBC于H在Rt△OAB中,vOB=4,A吐3,
•••O心32+42=5,vAP=AB=3,
•••PO=2.
在Rt△POC中,PC=OC+OP=25,
11
v-PC-OHk-OC-OP
22'
OH=
OP-OC45
—PC_5—
•CH=oC—oH=855,
16亠5
~5~,
•BP=BC—PC=壓—2艮座
55
类型之二与切线的判定有关的计算或证明
【经典母题】
已知:
如图Z12—4,A是。
0外一点,AO的延长线交OO于点C,点B在圆上,
且A吐BC,ZA=30°,求证:
直线AB是O0的切线.
图Z12—4
证明:
如答图,连结OBvOB=OCA吐BC,ZA=30
•ZOBC=ZC=ZA=30°,
•••/AO圧/C+/OBG60
vZABO=180°—(/AO+ZA)=180°—(60°+30°)=90°,
•••AB丄OB又vOB为OO半径,二AB是OO的切线.
【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径,证垂直”或者“作垂
直,证半径”.
【中考变形】
1.
中考变形1答图
[2016黄石]如图Z12—5,OO的直径为丄CD
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
⑵若AC是ZDAB的平分线,求证:
直线
解:
(1)vAB是OO直径,C在OO上,•'•ZACB=90°,又vBC=3,AB=5,•••由勾股定理,得AC=4;
⑵证明:
如答图,连结OC
vAC是ZDAB的平分线,
•ZDAC=ZBAC
又vADLDC,•••/ADC=ZACB=90°,
•△ADSAACB•••/DCA^ZCBA又vOA=OC•ZOAGZOCA
vZOA(+ZOBC=90°,:
ZOC+ZAC4ZOC圧90°,
•直线CD是OO的切线.
2.[2017南充]如图Z12—6,在Rt△ACB中,ZACB=90°,以AC为直径作OO交AB于点D,E为BC的中点,连结DE并延长交AC的延长线点F.
(1)求证:
DE是OO的切线;
⑵若CF-2,DF=4,求。
0直径的长.
【解析】⑴连结0D欲证DE是。
O的切线,需证ODLDE即需证/0D490°,而/AC*90°,连结CD根据“等边对等角”可知/ODE^ZOCE=90°,从而得证;
(2)在Rt△ODF中,利用勾股定理建立关于半径的方程求解.
解:
(1)证明:
如答图,连结ODCD
•••AC是OO的直径,•••/ADJ90°.
•••ZBDG90°.又tE为BC的中点,
1
•DE=2BC*CE•••/EDC=ZECD
tOD=OC•••/OD*ZOCD
•ZEDOZOD*ZECDbZOC*ZAC*90°.
•ZOD*90°,•DE是OO的切线;
(2)设OO的半径为x.在Rt△ODF中,OD+DF*OF,即x2+42*(x+2)2,解得x*3.AOO的直径为6.
【中考预测】
如图Z12-7,AB是OO的直径,点C,D在OO上,ZA*2ZBCD点E在AB的延长线上,ZAED=ZABC
(1)求证:
DE与OO相切;
(2)若BF*2,DF*10,求OO的半径.
图Z12-7
中考预测答图
解:
(1)证明:
如答图,连结0D
•••AB是的直径,
•••/ACB=90°,
•••/A+/ABC=90°,
•••/BO圧2/BCD/A=2/BCD
•••/BO圧/A,
vZAED=ZABCBO+ZAED=90°,
•••/ODE=90°,即卩ODLDE二DE与OO相切;
⑵如答图,连结BD,过点D作DHLBF于点H
vDE与OO相切,•••/AC+ZBC亠ZOD+ZBDE=90vZAC亠ZOBDZOB圧ZODB/.ZBDE=ZBCDvZAED=ZABC/ZAFC=ZDBF
vZAFC=ZDFB•/△ACF与△FDB都是等腰三角形,
/FH=BH=2BF=1,/H亠DF—FH=3,
在Rt△ODH中,OH+DH=OD,即(OD-1)2+32=OD,
/•OD=5.即OO的半径是5.
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- 切线 有关 计算 证明