六年级上册奥数试题第12讲 比和比例 全国通用含答案.docx
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六年级上册奥数试题第12讲比和比例全国通用含答案
第12讲 比和比例
知识网络
比和比例问题是一类与数量之间的正反比例关系相关的应用题。
它包括以下几个主要内容:
(1)两个数的比实际就是这两上数的商。
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数叫做比例的项,比例中两个外项的积等于两个内项的积。
(2)如果两种相关量x、y,可以写成
,其中k是一个定值,那么称x、y为成正比例的量。
(3)如果两种相关联的量x、y,可以写成x×y=k,其中k是一个定值,那么称x、y为成反比例的量。
(4)两上以上的数的比叫做连比。
连比满足比例的基本性质,也就是a∶b∶c=na∶nd∶nc
(n≠0)。
重点·难点
比和比例问题的重点在于正确找出两种相关的量,并明确二者之间的比例关系。
例如:
1.常见的正比例关系
(1)亩产量一定时,播种面积和总产量成正比例的关系,即
(2)工作效率一定时,工作总量与工作时间成正比例的关系,即
(3)速度一定时,路程与时间成正比例的关系,即
2.常见的反比例关系
(1)平行四边形的面积一定时,它的底和高成反比例的关系,即
底×高=平行四边形的面积(一定)
(2)总时间一定时,制造成零件个数和制造每个零件所用的时间成反比例的关系,即
制造每个零件所用的时间×零件个数=总时间(一定)
(3)两上互相啮合的齿轮,当齿轮转过的齿数一定时,齿数与转数成反比例的关系,即
齿轮的齿数×转数=齿轮转过的齿数(一定)
学法指导
解答正、反比例的应用题时,首先要找出题中相关联的量,即两个变量,再确定题中隐含着的定量,判断两个变量间的比例关系,建立正确的比例式。
经典例题
[例1]猎犬发现在离它10米远的前方有一只狂跑着的野兔,立刻追赶。
猎犬的步子大,它跑2步的路程,兔子要跑3步;但是兔子的动作快,猎犬跑3步的时间,兔子能跑4步。
问猎犬至少要跑多少米方能追上野兔?
思路剖析
从猎犬开始追兔子到追上兔子,猎犬和兔子所用的时间相等,即时间一定,因此,它们跑的速度与距离成正比例的关系。
要求出猎犬跑的距离,关键是求出猎犬与兔子的速度之比。
解答
因为兔子3步距离等于猎犬2步距离,不妨设兔子一步为2距离单位,则猎犬一步为3距离单位;又因为兔子4步的时间等于猎犬3步的时间,所以可设兔子每跑一步需3时间单位,猎犬每跑一步需4时间单位,根据
有
所以兔子与猎犬的速度之比为
设猎犬至少要跑过x米才能追到兔子,则此时兔子跑过(x-10)米,根据时间一定,速度和距离成正比,可列出比例式
8∶9=(x-10)∶x
8x=9(x-10)
x=90
答:
猎犬至少要跑过90米才能追上兔子。
[例2]如图1所示,甲、乙、丙三个齿轮啮合,当甲轮转7圈时,乙轮恰好转8;圈;当乙轮转5圈时,丙轮恰好转14圈,求当甲轮转5圈时,丙轮转几圈?
思路剖析
为方便叙述,我们用甲表示甲的齿轮齿数,类似地,用乙、丙分别表示乙、丙的齿轮齿数。
由已知甲∶乙=8∶7,乙∶丙=14∶5。
这是由于两上互相啮合的齿轮,齿数与转数成反比例的关系,所以本题的关键是求出甲∶丙。
解答
由已知甲∶乙=8∶7=16∶14,又乙∶丙=14∶5
所以甲∶乙∶丙=16∶14∶5,即甲∶丙=16∶5
因此当甲轮转5圈时,丙轮恰好转16圈
答:
甲轮转5圈时,丙轮恰好转16圈。
[例3]如图2所示,在三角形ABC中,DC∶BC=2∶5,BO∶OE=4∶1,求AE和EC的比。
思路剖析
要求AE∶EC,注意到△AOE和EOC的高相等,而△ABE和△BEC的高也相等,根据“在三角形中,如果高相等时,那么它的面积和底成比例关系”可以知道
,从而将线段长度之比转化为面积之比来求解.
解答
连接OC,因为BO∶OE=4∶1,所以OE∶BE=1∶5.
所以
(1)
又因为DC∶BC=2∶5
所以
(2)
比较
(1)与
(2),有
从而有AO=OD
所以
答:
AE和EC的比是3∶5。
[例4]一条路全长为30公里,分为上坡、平路和下坡三段,各段路程长的比是1∶2∶3,某人走各段路程所用的时间之比是4∶5∶6,已知他上坡的速度是每小时3公里。
问此人走完全程共用了多少时间?
思路剖析
因为已知此人走三段路程的时间之比,所以要求出此人走完全程的时间,只要根据已知条件求出此人走上坡路所用的时间,从而只要求出此人上坡的速度和上坡的路程即可。
又知道全程30公里且上坡、平路和下坡三段路程比是1∶2∶3,从而求出上坡的路程。
解答
上坡路的路程为
走上坡路所用的时间为
上坡路所用时间与全程所用时间之比为
走完全程所用的时间为
答:
此人走完全程共用
。
[例5]在某商店购买A、B两种类型的钢笔共100支,已知A钢笔每支3元,B钢笔每支7元,并且购买A、B两种钢笔所用的钱数一样多,求A、B两种钢笔各买了多少支?
思路剖析
由已知,对A、B两种钢笔来说,所用的钱数是一样多的,由这个不变量可知,购买钢笔的数量与其单价成反比例关系。
解答
由已知,A、B两种钢笔的单价之比是3∶7,并且它们所用总钱数一亲多,根据购买数量与其单价成反比例关系,可以知道A、B两种钢笔的数量之比为7∶3,所以A钢笔有
,B钢笔有100-70=30(支)。
答:
买进A、B两种钢笔的数量分别是70支和30支。
[例6]师徒两人一直加工200个零件,师傅加工一个零件要用3分钟,徒弟加工一个零件要用5分钟。
试问,当完成任务时,两人各加工多少个零件?
思路剖析
由已知,师傅加工一个零件用3分钟,那么他每分钟可以加工
个零件;徒弟加工一个零件要用5分钟,所以他每分钟可以加工
个零件。
从而师徒二人的工作效率之比为
。
在本题中,师徒二人的工作时间一样,是题中的不变量,由
,所以工作量和工作效率成正比例关系。
解答
☆解法一:
由于师徒两人工作效率的比是
。
在本题中,所以他们的工作量之比也是
。
因此师傅加工的零件个数是
,徒弟加工的零件个数是200-125=75(个)。
☆解法二:
设师傅加工x个零件,则徒弟加工(200-x)个零件。
当工作时间一定时,工作量与工作效率成正比例的关系,得
☆解法三:
因为师傅每分钟加工
个零件,徒弟每分钟加工
个零件,所以每分钟师徒二人可加工
个零件,因此当完成任务时,师徒二人所用的时间是
。
师傅每分钟加工
个零件,因此最终师傅加工的零件数是
,徒弟加工的零件数是200-125=75(个)。
答:
某洗衣机厂原计划20天生产洗衣机1600台,生产5天后由于改进技术,效率提高25%,请问完成计划还需要多少天?
思路剖析
在本题中,工作效率和工作时间是两个变量,而不变量是计划生产5天后剩下的台数。
从工作效率上看,有原来的工作效率1600÷20=80(台/天),又有提高后的效率80×(1+25%)=100(台/天)。
从时间上看,有原来计划的天数,又有效率提高后还需要的天数。
根据工作效率和工作时间成反比例的关系,得
提高后的效率×所需要天数=剩下的台数
解答
☆解法一:
设完成计划还需要x天,则
1600÷20×(1+25%)×x=1600-1600÷20×5
80×1.25×x=1600-80×5
100×x=1600-400
x=12
☆解法二:
提高后的效率是原来效率的
倍,把原来的效率看作“1”,则提高后效率与原来的效率之比是
。
因为工作效率和工作时间成反比例的关系,所以实际时间与计划时间之比是4∶5,如果设实际还需要量x天,而原来计划的时间是20-5=15(天),因此
4∶5=x∶15
5x=60
x=12
答:
完成计划还需12天。
[例8]甲容器中有纯酒精11升,乙容器有水9升。
第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精和水混合;第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。
这样,甲容器中纯酒精含量为62.5%,乙容器中纯酒精含量为25%,那么,第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升?
思路剖析
本题的关键在乙容器。
第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器中,并不改变乙容器中酒精纯度。
这是问题解决的突破口。
由题意,“乙容器中纯酒精的含量即为25%”。
由此可知:
第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器,乙容器中酒精与水的比为25%∶(1-25%)=1∶3
原来乙容器有水9升,可以知道第一次甲容器倒入乙容器的酒精为9×1÷3=3(升),因此甲容器中酒精与水的比为62.5%∶(1-62.5%)=5∶3。
把这时甲容器的液体看成两部分:
一部分是原来的8升纯酒精;另一部分是从乙容器倒过来的混合液。
由乙容器中酒精与水的比为1∶3,便可以求出混合液的体积。
解答
☆解法一:
由已知,第一次和第二次乙容器中酒精含量都为25%,故乙容器酒精与水的比为25%∶(1-25%)=1∶3,从而第一次从甲容器倒入乙容器的酒精为9×1÷3=3(升)。
甲容器剩下的酒精为11-3=8(升)。
第二次倒后,甲容器中酒精与水的比为62.5%∶(1-62.5%)=5∶3。
设倒过来的这部分混合液中的酒精为1份,水看成3份,与混合后甲容器中纯酒精与水的比例5∶3比较知:
8升酒精是5-1=4(份),混合液是1+3=4(份)或(3+5)-4=4(份)。
再由8升纯酒精是4份,反过来4份混合液是8升。
☆解法二:
与解法一相同,可知乙容器中纯酒精与水的比是1∶3;甲容器中的纯酒精与溶液重量的比是5∶8。
设第二次从乙容器中倒入甲容器中的混合液是x升,依题意,列出方程
答:
第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是8升。
点津
解答比和比例问题的关键是要找出题中的不变量。
以例8而言,解题技巧在于:
找到乙容器酒精含量在第一次和第二次倒的过程中不变这一突破口;对于几分之几,要把它化成几份对几份。
这种技巧类似于分数应用题和工程应用题中的假设单位1。
发展思维训练
1.甲桶油比乙桶油多3.6千克,从两桶中各取出1千克以后,乙桶时剩下油的
相当于甲桶里剩下油的
,那么甲桶中现有油______千克。
2.四个数依次相差
,它们的比是1∶3∶5∶7,那么这四个数的和是______。
3.有一堆围棋棋子,其中黑子与白子个数的比是4∶3。
从中取出91枚棋子,且黑子与白子个数的比是8∶5,而剩下的棋子中黑子与白子个数的比是3∶4。
那么这堆围棋共有多少枚?
4.一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高20%,则可以比原定时间提前一个小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可以提前40分钟到达。
求甲乙两地间的距离。
5.甲容器有8%的食盐水300千克,乙容器中有12.5%的食盐水120千克。
现往甲、乙两个容器中倒入等量的水,使两个容器中食盐水浓度一样。
问倒入的水是多少千克?
6.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比是3∶2。
他们第一次相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%。
这样,当甲到达B地时,乙离A地还有14千米。
求A、B两地之间的距离是多少千米?
7.有两块地共90公亩,第一块地的
和第二块地的
种茄子,两块地余下的共45公亩种西红柿。
求第一块地有多少公亩?
8.如图3所示,甲齿轮有60个齿,乙齿轮有36个齿,为了使甲轮转动15圈带动乙轮转动8圈,在甲、乙齿轮间连接一个丙齿轮。
丙齿轮是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮。
丙轮上大轮与甲轮啮合,小轮与乙轮啮合,求丙轮上大、小齿轮数最少应分别是多少?
参考答案
发展思维训练
1.解:
从两桶中各取出1千克后,甲桶油仍比乙桶油多3.6千克。
设甲桶油现有油x千克,则乙桶现有油
,从而
即x=10.8(千克)
2.解:
设第一个数为x,则这四个数分别是x、3x、5x、7x,其和为x+3x+5x+7x=16x,再由已知
,即
。
所以四个数的和为
。
3.解:
设这堆围棋棋子中黑子4x枚,那么白子3x枚。
而在取出的91枚中,黑子有
。
由题意
(4x-56)∶(3x-35)=3∶4
9x-105=16x-224
即x=17
答;这堆围棋子共有7x=7×17=119(枚)。
4.解:
车速提高20%后,现在车速与原来车速之比为(1+20%)∶=6∶5,因此现在行完全程的时间与原来时间的比为速度比的反比5∶6,而现在车速行完全程可以提前一小时到达,所以原车速行完全程用6小时。
车速提高25%后,现在车速与原来车速之比为(1+25%)∶1=5∶4。
行相同路程所用时间比为4∶5。
现在用的时间缩短到原来的
,若一开始便提速25%,行完全程可提前
。
但现在只提前40分钟,即
小时,则提前了
。
这是因为前120千米是按原速行驶的,那么速度提高25%后行驶120千米可提前
小时。
设甲、乙两地相距x千米,则有
解得
答:
甲乙两地相距270千米。
5.解:
由已知,甲容器有食盐300×8%=24(千克),乙容器有食盐120×12..5=15(千克)。
设倒入的水是x千克,有
答:
倒入180千克水。
6.解:
设A、B两地之间的距离是x千米,并且出发时甲、乙的速度分别是3y和2y。
那么相遇提速后,甲、乙的速度分别是
。
相遇时甲、乙各走的路程是
,
从而
答:
A、B两地相距45千米。
7.解:
设第一块地有x公亩,则第二块地有(90-x)公亩,依题意,有
答:
第一块地有36公亩。
8.解:
记丙轮上大、小齿轮数分别为
,甲转动15圈时丙轮所转的圈数为
,由齿数与转数成反比,有
。
即
化为连比
所以
因此大小齿轮齿数最少要分别是25齿和8齿。
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