北师版八年级上册知识点集锦.docx
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第一章勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系,a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数:
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。
第二章实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
2、无理数:
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如
等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如
+8等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函数值,如sin60o等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
(|a|≥0)。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:
记作“
”,读作根号a。
性质:
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根:
一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:
正数a的平方根记做“
”,读作“正、负根号a”。
性质:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方:
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意
的双重非负性:
》0
3、立方根
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。
表示方法:
记作
性质:
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
1、实数比较大小:
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
a-b≥0则a≥b
a-b≦0则a≦b
(3)求商比较法:
设a、b是两正实数,a÷b≥1则a≥ba÷b≤1则a≤b
(4)绝对值比较法:
设a、b是两负实数,则|a|≥|b|则a≤b
(5)平方法:
设a、b是两负实数,。
a2≥b2则a≤b
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“
”;被开方数a必须是非负数。
2、运算结果若含有“
”形式,必须满足:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
(1)六种运算:
加、减、乘、除、乘方、开方
(2)实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
(3)运算律
加法交换律a+b=b+a
加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律ab=ba
乘法结合律(ab)c=a(bc)
乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac
第三章位置与坐标
一、在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。
它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:
x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,当
时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
(1)、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限x>oy>o
点P(x,y)在第二象限x
点P(x,y)在第三象限x 点P(x,y)在第四象限x>oy (2)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上 x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数 (3)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 (4)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y) 点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y) 点P与点p’关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y) (5)、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x轴的距离等于 (2)点P(x,y)到y轴的距离等于 三、坐标变化与图形变化的规律: 坐标(x,y)的变化 图形的变化 x×a或y×a 被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍 x×a,y×a 放大(缩小)为原来的a倍 x×(-1)或y×(-1) 关于y轴或x轴对称 x×(-1),y×(-1) 关于原点成中心对称 x+a或y+a 沿x轴或y轴平移a个单位 x+a,y+a 沿x轴平移a个单位,再沿y轴平移a个单 第四章一次函数 一、函数: 一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。 二、自变量取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。 三、函数的三种表示法及其优缺点 (1)关系式(解析)法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤 (1)列表: 列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点: 以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (3)连线: 按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k不等于0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。 特别地,当一次函数y=kx+b中的b=0时(即y=kx)(k为常数,k不等于0),称y是x的正比例函数。 2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征: 一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的直线。 k的符号 b的符号 函数图像 图像特征 k>0 b>0 y 0x 图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。 b<0 y 0x 图像经过一、三、四象限,y随x的增大而增大。 K<0 b>0 y 0x 图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小 b<0 y 0x 图像经过二、三、四象限,y随x的增大而减小。 注: 当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质 一般地,正比例函数y=kx有下列性质: (1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大; (2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质 一般地,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)有下列性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大 (2)当k<0时,y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx(k不等于0)中的常数k。 确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b。 解这类问题的一般方法是待定系数法。 7、一次函数与一元一次方程的关系: 任何一个一元一次方程都可转化为: kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k≠0).当函数值为0时,即kx+b=0就与一元一次方程完全相同. 结论: 由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为: 当一次函数值为0时,求相应的自变量的值. 从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值. 第五章二元一次方程组 1、二元一次方程 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。 4二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。 5、二元一次方程组的解法 (1)代入(消元)法 (2)加减(消元)法 6、一次函数与二元一次方程(组)的关系: 一次函数与二元一次方程的关系: 直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解 当函数图象有交点时,说明相应的二元一次方程组有解;当函数图象(直线)平行即无交点时,说明相应的二元一次方程组无解。 第六章数据的分析 1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量: 平均数、众数、中位数 2、平均数 (1)平均数: 一般地,对于n个数 我们把1/n(x1+x2......+xn) (2)叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为 。 (2)加权平均数: 3、众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 4、中位数 一般地,将一组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 第七章相交线与平行线 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表: 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。 ∠3+∠4=180° 注意点: ⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角; ⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。 2、垂线 ⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。 符号语言记作: 如图所示: AB⊥CD,垂足为O ⑵垂线性质1: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2: 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 简称: 垂线段最短。 3、垂线的画法: ⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意: ①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。 画法: ⑴一靠: 用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移: 移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画: 沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。 PO是垂线段。 PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段区别: 垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。 联系: 具有垂直于已知直线的共同特征。 (垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离区别: 两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。 联系: 都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。 5.2平行线 1、平行线的概念: 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线 与直线 互相平行,记作 ∥ 。 2、两条直线的位置关系 在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种: ⑴相交;⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线) 判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定: ①有且只有一个公共点,两直线相交; ②无公共点,则两直线平行; ③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线) 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论: 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 如左图所示,∵ ∥ , ∥ ∴ ∥ 注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。 5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。 如图,直线 被直线 所截 ①∠1与∠5在截线 的同侧,同在被截直线 的上方, 叫做同位角(位置相同) ②∠5与∠3在截线 的两旁(交错),在被截直线 之间(内),叫做内错角(位置在内且交错) ③∠5与∠4在截线 的同侧,在被截直线 之间(内),叫做同旁内角。 ④三线八角也可以成模型中看出。 同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。 6、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。 例如: 如图,判断下列各对角的位置关系: ⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。 我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。 如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。 注意: 图中∠2与∠9,它们是同位角吗? 不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。 7、两直线平行的判定方法 方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行 简称: 同位角相等,两直线平行 方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行 简称: 内错角相等,两直线平行 方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行 简称: 同旁内角互补,两直线平行 几何符号语言: ∵ ∠3=∠2 ∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行) ∵ ∠1=∠2 ∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行) ∵ ∠4+∠2=180° ∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行) 请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。 平行线的判定是写角相等,然后写平行。 注意: ⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。 上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。 ⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种: ①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。 ②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。 典型例题: 判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正: ⑴不相交的两条直线必定平行线。 ⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。 ⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行 解答: ⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。 “在同一平面内”是一项重要条件,不能遗漏。 ⑵正确 ⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。 因为如果这一点不在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的。 典型例题: 如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么? 解答: ⑴由∠2=∠B可判定AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行; ⑵由∠1=∠D可判定AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行; ⑶由∠3+∠F=180°可判定AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行。 5.3平行线的性质 1、平行线的性质: 性质1: 两直线平行,同位角相等; 性质2: 两直线平行,内错角相等; 性质3: 两直线平行,同旁内角互补。 几何符号语言: ∵AB∥CD ∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥CD ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等) ∵AB∥CD ∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补) 2、两条平行线的距离 如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。 注意: 直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。 3、命题: ⑴命题的概念: 判断一件事情的语句,叫做命题。 ⑵命题的组成 每个命题都是题设、结论两部分组成。 题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。 命题常写成“如果……,那么……”的形式。 具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。 有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显。 对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式。 注意: 命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。 4、平行线的性质与判定 ①平行线的性质与判定是互逆的关系 两直线平行 同位角相等; 两直线平行 内错角相等; 两直线平行 同旁内角互补。 其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。 典型例题: 已知∠1=∠B,求证: ∠2=∠C 证明: ∵∠1=∠B(已知) ∴DE∥BC(同位角相等, 两直线平行) ∴∠2=∠C(两直线平行 同位角相等) 注意,在了DE∥BC,不需要再写一次了,得到了DE∥BC,这可以把它当作条件来用了。 典型例题: 如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65° 求∠2、∠3的度数 解答: ∵DE∥BC(已知) ∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥DF(已知) ∴AB∥DF(已知) ∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115° 5.4平移 1、平移变换 ①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。 ②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点 ③连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征: ①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,
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