中考数学相似三角形专题练习附答案.docx
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中考数学相似三角形专题练习附答案
相似三角形50题一、选择题:
1.如图,DE∥BC,在下列比例式中,不能成立的是()A.=B.=C.=D.=
2.如图,点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点,则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为()A.1:
2B.1:
3C.1:
4D.1:
1
3.两个相似多边形一组对应边分别为3cm,4.5cm,那么它们的相似比为()
4.如图,F是平行四边形ABCD对角线BD上的点,BF:
FD=1:
3,则BE:
EC=()
5.如图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()A.B.C.D.
6.下列各组数中,成比例的是()A.-7,-5,14,5B.-6,-8,3,4C.3,5,9,12D.2,3,6,127.如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)()A.4mB.6mC.8mD.12m8.下列四组图形中,一定相似的是()A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形
9.如图所示,在▱ABCD中,BE交AC,CD于G,F,交AD的延长线于E,则图中的相似三角形有()A.3对B.4对C.5对D.6对
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为()A.6B.5C.4D.3
11.如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:
3,已知AB=4,则DE的长等于()A.6B.5C.9D.
12.如图,正方形ABCD的边长为4cm,动点P、Q同时从点A出发,以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动,设运动时间为x(单位:
s),四边形PBDQ的面积为y(单位:
cm2),则y与x(0≤x≤8)之间函数关系可以用图象表示为()A.B.C.D.
13.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是()A.B.C.D.
14.如图,△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,BC分别与AD、AE相交于点F、G.图中共有n对三角形相似(相似比不等于1),则n的值是()A.2B.3C.4D.5
15.如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的正半轴上,正方形A/B/C/D/与正方形ABCD是以AC的中点O/为中心的位似图形,已知AC=3,若点A/的坐标为(1,2),则正方形A/B/C/D/与正方形ABCD的相似比是()A.B.C.D.
16.如图,三个正六边形全等,其中成位似图形关系的有()A.4对B.1对C.2对D.3对
17.如图,△ABC和△AMN都是等边三角形,点M是△ABC的重心,那么的值为()A.B.C.D.
18.将一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放,点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C,将△EDF绕点D顺时针方向旋转α(0°<α<60°),DE′交AC于点M,DF′交BC于点N,则的值为()A.B.C.D.
19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.P是AB边上一动点,PD⊥AC于点D,点E在P的右侧,且PE=1,连结CE.P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动.在整个运动过程中,阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是()A.一直不变B.一直减小C.一直增大D.先减小后增大20.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC.给出下列结论:
①∠DAC=∠ABC;②AD=CB;③点P是△ACQ的外心;④AC2=AE•AB;⑤CB∥GD,其中正确的结论是()A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④
二、填空题:
21.若△ABC与△A1B1C1的相似比为2:
3,△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2:
3,那么△ABC与△A2B2C2的相似比为
22.如图,
(1)若AE:
AB=________,则△ABC∽△AEF;
(2)若∠E=_______,则△ABC∽△AEF.
23.如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,P是BC边中点,AP交BD于点Q.则的值为________.
24.在△ABC中,已知AB=3,BC=5。
在△A/B/C/中,已知A/B/=6,若△ABC∽△A/B/C/,则B/C/=
25.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,与BC边的交点为D,且3DC=BC,DE∥AC,与AB边的交点为E,若DE=4,则BE的长为.
26.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有对.
27.如图所示,在正方形ABCD中,点E是BC边上一点,且BE:
EC=2:
1,AE与BD交于点F,则△AFD与四边形DFEC的面积之比是.
28.如图,AB与CD相交于点O,AD∥BC,AD∶BC=1∶3,AB=10,则AO的长是___________.
29.如图,已知AD∥EF∥BC,AE=3BE,AD=2,EF=5,那么BC=.30.如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知折痕AE=5cm,且tan∠EFC=0.75,则矩形ABCD的周长为
31.如图在□ABCD中,点E在边DC上,DE:
EC=3:
1,连接AE交BD于点F,若△DEF的面积为18,则□ABCD的面积为.
32.矩形纸片ABCD,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P重合,折痕所在直线交矩形两边于点E,F,则EF长为.
33.如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=5,P为CD边上的动点,当△ADP与△BCP相似时,DP=.
34.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,AE⊥CD于点E,交BC边于点F,若AF=4,AB=8,则线段EF的长为.35.在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2).延长CB交x轴于点A1,作第1个正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2,作第2个正方形A2B2C2C1,…,按这样的规律进行下去,第2016个正方形的面积是.36.如图,已知两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:
3把线段AB缩小,则点A的对应点坐标是___________.
37.如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则AB离地面的距离为______m.
38.如图,正方形OEFG和正方形ABCD是位似形,点F的坐标为(1,1),点C的坐标为(4,2),则这两个正方形位似中心的坐标是.
39.如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为.
40.如图,边长为6的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是AB上一点.点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上,FG交DE于点H.点M为AD的中点,若MH=,则EG.
三、解答题:
41.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M是BC的中点,过点A作AM的垂线,交CB的延长线于点D.求证:
△DBA∽△DAC.
42.如图,在边长为2的圆内接正方形ABCD中,AC是对角线,P为边CD的中点,延长AP交圆于点E.
(1)∠E=度;
(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形,并说明理由;(3)求弦DE的长.
43.小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度:
如图,在地面上放一面镜子(镜子高度忽略不计),他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B,他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米,以及他与镜子的距离CE=2.5米,已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米,请你帮助小强计算出教学楼的高度。
(根据光的反射定律:
反射角等于入射角)
44.如图△ABC中,AB=8,AC=6,如果动点D以每秒2个单位长的速度,从点B出发沿BA方向向点A运动,同时点E以每秒1个单位的速度从点A出发测AC方向向点C运动,设运动时间为t(单位:
秒).问t为何值时△ADE与△ABC相似.
45.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AB的中点,点E在DC的延长线上,且CD=3CE,过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F,交AC的延长线于点G.
(1)求证:
AB=BG;
(2)若点P是直线BG上的一点,试确定点P的位置,使△BCP与△BCD相似.
46.如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.
(1)求证:
∠FBC=∠FCB;
(2)已知FA•FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.
47.如图,抛物线y=ax2+2.5x-2与x轴相交于点A(1,0)与点B,与y轴相交于点C.
(1)确定抛物线的解析式;
(2)连接AC、BC,△AOC与△COB相似吗?
并说明理由;(3)点N在抛物线的对称轴上,在抛物线上是否存在点M,使得以点N、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出对应的点M、N的坐标;若不存在,请说明理由.
48.如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°,【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q.在旋转过程中,如图2,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系?
并给出证明.【操作2】在旋转过程中,如图3,当时EP与EQ满足怎样的数量关系?
,并说明理由.【总结操作】根据你以上的探究结果,试写出当时,EP与EQ满足的数量关系是什么?
其中m的取值范围是什么?
(直接写出结论,不必证明).
49.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB也向点B方向运动,如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动时间为t秒.求:
(1)当t=3秒时,这时,P,Q两点之间的距离是多少?
(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少秒时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?
50.如图,抛物线y=0.5x2+mx+n与直线y=�0.5x+3交于A,B两点,交x轴与D,C两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:
(1)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:
是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似?
若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?
参考答案1.B2.B3.A4.A5.B6.B7.C8.D9.D10.D11.A12.B13.B14.B15.B16.D17.B18.C19.B20.D21.略22.略23.24.略25.答案为:
8.26.答案为:
4.277.28.答案为:
2.529.答案为:
630.答案为:
36;31.答案为:
112;32.解:
如图1,当点P在CD上时,∵PD=3,CD=AB=9,∴CP=6,∵EF垂直平分PB,∴四边形PFBE是正方形,EF过点C,∴EF=6,如图2,当点P在AD上时,过E作EQ⊥AB于Q,∵PD=3,AD=6,∴AP=3,∴PB===3,∵EF垂直平分PB,∴∠1=∠2,∵∠A=∠EQF,∴△ABP∽△EFQ,∴,∴,∴EF=2,综上所述:
EF长为6或2.故答案为:
6或2.33.答案为:
1或4或2.5;34.解:
如图,取BF的中点H,连接DH.设EF=x,CE=y.∵∠ACB=90°,AD=DB,∴CD=AD=DB=4,∵AD=DB,FH=HB,∴DH=AF=2,DH∥EF,∴=,∴=,∴y=2x,∵AF⊥CE,∴∠CEA=∠CEF=90°,∵∠ACE+∠CAE=90°,∠ACE+∠ECF=90°,∴∠ECF=∠CAE,∴△ACE∽△CFE,∴=,∴y2=x(4�x),∴4x2=x(4�x),∵x≠0,∴x=0.8,∴EF=0.8,故答案为0.8.35.答案为5×(1.5)403036.答案为:
(2,1)或(�2,�1)37.答案为:
1.8;38.答案是(�2,0)或(,).39.解:
如图,由翻折的性质,得AB=AB′,BE=B′E.①当MB′=2,B′N=1时,设EN=x,得B′E=.△B′EN∽△AB′M,=,即=,x2=,BE=B′E==.②当MB′=1,B′N=2时,设EN=x,得B′E=,△B′EN∽△AB′M,=,即=,解得x2=,BE=B′E==,故答案为:
或.40.答案为:
41.证明:
∵∠BAC=90°,点M是BC的中点,∴AM=CM,∴∠C=∠CAM,∵DA⊥AM,∴∠DAM=90°,∴∠DAB=∠CAM,∴∠DAB=∠C,∵∠D=∠D,∴△DBA∽△DAC.42.【解答】解:
(1)∵∠ACD=45°,∠ACD=∠E,∴∠E=45°.
(2)△ACP∽△DEP,理由:
∵∠AED=∠ACD,∠APC=∠DPE,∴△ACP∽△DEP.(3)∵△ACP∽△DEP,∴.∵P为CD边中点,∴DP=CP=1,∵AP=,AC=,∴DE=.43.略44.略45.46.
(1)证明:
∵四边形AFBC内接于圆,∴∠FBC+∠FAC=180°,∵∠CAD+∠FAC=180°,∴∠FBC=∠CAD,∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,∴∠EAD=∠CAD,∵∠EAD=∠FAB,∴∠FAB=∠CAD,又∵∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB;
(2)解:
由
(1)得:
∠FBC=∠FCB,又∵∠FCB=∠FAB,∴∠FAB=∠FBC,∵∠BFA=∠BFD,∴△AFB∽△BFD,∴,∴BF2=FA•FD=12,∴BF=2,∵FA=2,∴FD=6,AD=4,∵AB为圆的直径,∴∠BFA=∠BCA=90°,∴tan∠FBA===,∴∠FBA=30°,又∵∠FDB=∠FBA=30°,∴CD=AD•cos30°=4×=2.47.解:
(1)∵把A(1,0)代入得:
a+2.5�2=0,解得a=-0.5,∴y=-0.5x2+2.5x-2;
(2)相似.∵令�0.5x2+2.5x�2=0,解得x1=1,x2=4,∴A(1,0),B(4,0).∵x=0时,y=�2,∴C(0,�2).∴OC=2,OA=1,OB=4∴==0.5.又∵∠COA=∠BOC=90°,∴△AOC∽△COB;(3)存在.对称轴为x=2.5,交x轴于点Q,顶点坐标为(2.5,9/8).①如图1,AB为对角线,若四边形AMBN为平行四边形,则QM=QN,∴M(2.5,9/8),N(2.5,�9/8);②如图2,AB为一边,若四边形ABMN为平行四边形,则MN∥AB,MN=AB=3,设N(2.5,n)则有M(�0.5,n)或(5.5,n)将M坐标代入解析式:
n=�27/8.综上所述,M(2.5,9/8),N(2.5,�9/8)或M(�0.5,�27/8),N(2.5,�27/8)或M(5.5,�27/8),N(2.5,�27/8).48.(操作1)EP=EQ,证明:
连接BE,根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质,得:
BE=CE,∠PBE=∠C=45°,∵∠BEC=∠FED=90°∴∠BEP=∠CEQ,在△BEP和△CEQ中,∴△BEP≌△CEQ(ASA),∴EP=EQ;如图2,EP:
EQ=EM:
EN=AE:
CE=1:
2,理由是:
作EM⊥AB,EN⊥BC于M,N,∴∠EMP=∠ENC,∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°,∴∠MEP=∠NEF,∴△MEP∽△NEQ,∴EP:
EQ=EM:
EN=AE:
CE=1:
2;如图3,过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,∵在四边形PEQB中,∠B=∠PEQ=90°,∴∠EPB+∠EQB=180°,又∵∠EPB+∠MPE=180°,∴∠MPE=∠EQN,∴Rt△MEP∽Rt△NEQ,∴=,Rt△AME∽Rt△ENC,∴=m=,∴=1:
m=,EP与EQ满足的数量关系式1:
m,即EQ=mEP,∴0<m≤2+,(因为当m>2+时,EF和BC变成不相交).
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