浙江省精诚联盟学年高三上学期期末联考数学试题及答案.docx
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浙江省精诚联盟学年高三上学期期末联考数学试题及答案
浙江省精诚联盟2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知点A(1,-1),B(1,2),则直线AB的倾斜角为()
A.0B.
C.
D.
2.在复平面内,复数
对应的点在第()象限.
A.一B.二C.三D.四
3.已知集合
,集合
,则“
”是“
”成立的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段,分别可用向量
代表.若用向量
代表整条手臂,则()
A.
B.
C.
D.
5.若实数x,y满足条件
,则
的最小值为()
A.
B.
C.
D.
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.
πB.πC.
πD.
π
7.根据2021年某地统计资料,该地车主购买甲种保险的概率为0.4,购买乙种保险的概率为0.3,由于两种保险作用类似,因而没有人同时购买,设各车主购买保险相互独立,则估计该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主平均有()人
A.40B.30C.20D.10
8.函数
的图象大致为()
A.
B.
C.
D.
9.已知数列
满足
,对任意
中存在一项是另外两项之和,且
,记数列
的则前
项和为
,则
的最小值为()
A.1361B.1481C.1681D.2021
10.已知函数
的图象恰为椭圆
x轴上方的部分,若
,
,
成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是()
A.线段(不包含端点)B.椭圆一部分
C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分
二、双空题
11.1911年5月,欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文在这篇文章中,他描述了用
粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前,卢瑟福希望
粒子能够通过金箔,就像子弹穿过雪一样,事实上,有极小一部分
粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的
粒子遵循双曲线一支的路径.则该双曲线的离心率为___________,如果
粒子的路径经过(10,5),则该粒子路径的顶点距双曲线的中心___________
.
12.已知圆
,则圆
与圆
的位置关系是___________;若点P在直线l:
上运动,点Q在圆
与圆
的圆周上运动,则|PQ|的最小值为___________.
13.已知二项式
的展开式中,第4项的系数为-32,则n=___________,常数项为___________.
14.在△ABC中,内角
所对的边分别为a,b,c,且
;则角B=___________;a的取值范围为___________.
三、填空题
15.空间四边形ABCD中,
,AD与BC成
角,则异面直线AB与CD所成角的大小为___________.
16.为庆祝建党100周年,某高校选派3位男同学、3位女同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会,在安排节目顺序的时候,要求男同学先讲,3位女同学不能连着讲,则不同的安排顺序共有___________种.
17.如图,已知菱形
,
,沿直线
将
翻折成
,
分别为
的中点,
与平面
所成角的正弦值为
,
为线段
上一点(含端点),则
与平面
所成角的正弦值的最大值为___________.
四、解答题
18.已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间;
(2)已知
,若函数
在区间[0,
]上恰好有两个零点,求a的取值范围.
19.如图,四边形ABCD中,
,
,沿对角线AC将△ACD翻折成△
,使得
.
(1)证明:
;
(2)若
为等边三角形,求二面角
的余弦值.
20.已知等差数列
的前n项和为
,等比数列{
}的前n项和为
,
且
.
(1)求数列
和数列{
}的通项公式;
(2)若数列
满足
,证明:
.
21.已知抛物线
.焦点为F,过
的直线l与抛物线C交于A、B两点,AB中点为M.
(1)若
,求直线l的方程;
(2)过A、B分别作抛物线C的切线,交点记为H.
(i)求点H的轨迹方程;
(ii)直线FH与直线l交于点Q,以MF为直径的圆与直线l的另一个交点为N,判断
是否为定值.若是,求出定值并给予证明,若不是,请说明理由.
22.已知函数
.
(1)若
在
单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若不等式
在
上恒成立,判断函数
在
上的零点个数,并说明理由.
参考答案:
1.D
【解析】
【分析】
由
两点的横坐标相等,得出倾斜角.
【详解】
由题意可知,
两点的横坐标相等,则直线AB的倾斜角为
.
故选:
D
2.A
【解析】
【分析】
化简后根据复数的几何意义可知.
【详解】
,
故选:
A.
3.B
【解析】
【分析】
根据集合运算结合,结合充分不必要条件概念求解即可.
【详解】
解:
因为
,集合
,
所以当
时,
,故成立,
反之,当
时,
不一定成立,例如
,
所以“
”是“
”成立充分不必要条件
故选:
B
4.C
【解析】
【分析】
根据题意得
,进而依次讨论即可得答案.
【详解】
解:
根据题意得
,所以
,
所以由于各向量间的夹角未知,故
,
均不一定成立,
故C选项正确,A,B,D选项错误;
所以C
5.D
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域,由
表示原点到平面区域中点的距离,结合图象得出最值.
【详解】
该不等式组表示的平面区域如下图所示,
表示原点到平面区域中点的距离,因为
,所以
的最小值就是原点到直线
的距离
,即
,故
的最小值为
.
故选:
D
6.C
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体的结构,由此计算出几何体的体积.
【详解】
由三视图可知,该几何体是由半个圆柱,挖掉半个圆锥所得,如图,
所以几何体的体积为
.
故选:
C.
7.B
【解析】
【分析】
根据题意得该地车主中,甲、乙两种保险都不购买的概率为
,进而根据概率估计求解即可.
【详解】
解:
根据题意得,该地车主中,甲、乙两种保险都不购买的概率为
,
所以该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主平均有
人.
故选:
B
8.C
【解析】
【分析】
利用排除法,先判断函数的奇偶性,再利用导数判断函数的单调性即可
【详解】
因为
,
所以
为奇函数,所以其图象关于原点对称,
所以排除A,
当
时,由
,得
,
令
,则
,
所以
在
上为增函数,
所以
,
所以
,
所以
在
上为增函数,
所以排除BD,
故选:
C
9.A
【解析】
【分析】
由题意可知
,要使得
有最小值,则
要尽可能的小,根据题意,利用列举法可知数列
从第九项起,是以3为周期的数列,由此即可求出结果.
【详解】
因为对任意
中存在一项是另外两项之和,
所以
,或
,或
又
,所以
,
要使得
有最小值,则
要尽可能的小;
则根据对任意
中存在一项是另外两项之和,且
要尽可能的小,
利用列举法可知数列
为:
,可知数列
从第九项起,是以3为周期的数列,
又
,
所以
的最小值为
.
故选:
A.
10.A
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质,结合椭圆方程进行求解判断即可.
【详解】
因为函数
的图象恰为椭圆
x轴上方的部分,
所以
,
因为
,
,
成等比数列,
所以有
,且有
成立,
即
成立,
由
,
化简得:
,或
,
当
时,即
,因为
,所以平面上点(s,t)的轨迹是线段(不包含端点);
当
时,即
,
因为
,所以
,而
,所以
不成立,
故选:
A
11.
【解析】
【分析】
由渐近线倾斜角求出
,再由
可得离心率;待定系数法可得a.
【详解】
由图知,双曲线的渐近线的倾斜角为
,所以
,所以
;
由上知双曲线为等轴双曲线,故设双曲线方程为
,则
,得
.
故答案为:
;
.
12.外切;
【解析】
【分析】
根据题意得
,进而得两圆的位置关系;再结合直线
与直线
平行,
得
的最小值为两圆中,任意一个圆的圆心到直线
与半径的差,进而求解得答案.
【详解】
解:
根据题意,圆
的圆心为
,半径为
,圆
的圆心为
,半径为
,
所以
,即圆
与圆
的位置关系为外切.
因为
,
,
所以直线
与直线
平行,由于
所以
的最小值为两圆中,任意一个圆的圆心到直线
与半径的差.
因为圆
的圆心为
到直线
的距离为
所以
的最小值为
故答案为:
外切;
13.4;
24.
【解析】
【分析】
根据二项式展开式的通项公式写出第4项,即可求出n,进而可求出常数项.
【详解】
由二项式
展开式的通项公式
,
得二项式
的通项公式为
,
所以
,
则
,得
,
即
,
所以
的常数项为
.
故答案为:
4;24
14.
【解析】
【分析】
由题意可得
,进而可得
,利用正弦定理化简可得
,即可求出角B;根据诱导公式可得
,结合角C的范围和正弦函数的性质即可得出结果.
【详解】
由
,
所以
,
由正弦定理,得
,
有
,又
,故
;
,
因为
,所以
,则
,
所以
,即
.
故答案为:
;
15.
【解析】
【分析】
由空间向量的运算得出
,进而由余弦定理得出
,最后由向量法得出异面直线AB与CD所成角的大小.
【详解】
,
不妨设
,则
设异面直线AB与CD所成角为
,则
,
.
故答案为:
16.
【解析】
【分析】
根据题意,分3位女同学全部不连着讲和3位女同学有2位连着讲两种情况讨论求解即可.
【详解】
解:
因为3位女同学不能连着讲,故3位女同学的安排情况分为两种,
第一种为3位女同学全部不连着讲,由于男同学先讲,故有
种情况;
第二种为3位女同学有2位连着讲,由于男同学先讲,则先从3位男同学中选一个作为第一个宣讲着,再从3位女同学中选2位同学连着讲,之后再安排剩下的2位男同学,最后将2位连着讲的女同学和另一位女同学插空安排到三个空位上即可,即为
种,
综上,共有
种不同的安排顺序.
故答案为:
17.
【解析】
【分析】
根据题意
,进而得
,再根据底面
为等边三角形,
平分
,进而得
,点
为
的中心,故三棱锥
是棱长为
的正四面体,再建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可.
【详解】
解:
设顶点
在平面
内的射影为点
,
因为
与平面
所成角的正弦值为
,
,所以
,
因为
,所以
,
又因为
,所以,如图1,在平面
中,
为等边三角形,
≌
,
所以
平分
,即
,
所以在
中,
,解得
,
(舍),
所以点
为
的中心,故三棱锥
是棱长为
的正四面体,
故如图2,以
中点
为坐标原点,
分别为
轴建立空间直角坐标
则
,
设
,
则
,
,
设平面
的一个法向量为
,
则
,即
,令
,得
,
因为
,设
与平面
所成角为
,
所以
,
令
,则
,因为函数
在
上单调递增,
所以
在
上单调递减,
所以当
时,
与平面
所成角的正弦值最大,最大值为
故答案为:
18.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由辅助角公式化简解析式,再由正弦函数的性质得出函数f(x)的单调递增区间;
(2)令
,由函数
与
只有两个交点,结合图象得出a的取值范围.
(1)
由
可得,
即函数
的单调递增区间为
(2)
,
,令
函数
在区间[0,
]上恰好有两个零点
函数
与
只有两个交点
由图象可知,
19.
(1)证明过程见解析;
(2)
【解析】
【分析】
(1)作出辅助线,证明线面垂直,进而证明出
,由三线合一得出结论;
(2)作辅助线,找到
为二面角
的平面角,再使用勾股定理及余弦定理求出边长,最终用余弦定理求出二面角的余弦值.
(1)
取
中点F,连接EF,BF,
因为
,所以EF是
的中位线,故
∥
,
因为
,所以
,
又因为
,
,所以
平面BEF,
因为
平面BEF,所以
,
由三线合一得:
(2)
因为
为等边三角性,所以
,由第一问可知:
,从而
,由三线合一得:
,取AB的中点H,过点H作HG⊥AB交AC于点G,连接
,从而
,故
为二面角
的平面角,由勾股定理得:
,从而
,
,由
可得:
,由勾股定理得:
,
因为
,在
中,由余弦定理得:
,故
,又
,在
中,由余弦定理得:
,
故二面角
的余弦值为
.
20.
(1)
;
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)设等差数列
的公差为d,等比数列
的公比为q,根据题意和等差、等比数列的通项公式列出方程组,解之即可得出d和q,进而得出结果;
(2)由
(1)可得
,利用数列的裂项相消法求得数列
的前n项和,即可证明.
(1)
设等差数列
的公差为d,等比数列
的公比为q,
由
,
解得
,所以
;
(2)
由
(1)知,
,
所以
,
所以
,
即
,
.
21.
(1)
(2)(i)
(
或
);(ii)是定值,
,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意,设直线
的方程为
,进而与抛物线联立方程得结合弦长公式与韦达定理得
,
,
,再根据
得
,进而得答案;
(2)(i)根据题意,过点
的切线的方程为
过点
的切线的方程为
,进而联立方程求解即可得点
的轨迹方程为
(
或
);
(ii)结合(i)知
,故
,再根据
得点
到直线
的距离等于
,故
,进而得
(1)
解:
因为抛物线的方程为
,所以
,
设过点
的直线
的方程为
,
联立方程
得
,
设
,则
,
,
所以
,
所以
,
因为
为
的中点,所以
,故
因为
,所以
,整理得
,
所以
,故直线
的方程为
(2)
解:
(i)设交点
,过点
的切线斜率为
,
所以切线方程为
,整理得
,即
,
同理,过点
的切线的方程为
,
联立方程
,消去
得
,
因为
,所以
,当且仅当
时等号成立,
此时
,直线
的方程为
,斜率为
,
另一方面,由于直线
于抛物线有两个交点,故
,
所以当
时,直线
与抛物线相切,不满足题意.
所以
,
所以点
的轨迹方程为
(
或
).
(ii)直线
与直线
的交点为
,
则联立方程
得
,
所以
,
由于
,则直线
的方程为
所以点
到直线
的距离等于
,即
,
所以
.
22.
(1)
(2)1个,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意得
在区间
恒成立,进而根据独立参数法求解即可;
(2)令
,进而得
是函数
的极值点,故
,
,易知
是函数
的一个零点,进而分
和
两种情况讨论函数的零点求解即可.
(1)
解:
因为
,
所以
,
因为
在
单调递增,
所以
在区间
恒成立,
当
时,
显然成立,
所以当
,
恒成立等价于
恒成立,
故令
,
,则
在
恒成立,
所以函数
在
单调递增,
所以
,
所以
在区间
恒成立,则实数a的取值范围时
.
所以实数a的取值范围是
(2)
解:
设
,
易知
,
因为不等式
在
上恒成立,
所以
是函数
的极值点,
因为
,
所以
,解得
.
所以
,
因为
,故
是函数
的一个零点,
①当
时,
,
因为
,
恒成立,
所以
在
上单调递减,
由于
,
所以
在
上单调递增,
所以
,
所以
在区间
上无零点.
②当
时,
,
由于函数
在区间
上均为增函数,
所以
在区间
上为增函数,,
因为
所以存在唯一
,使得
,
所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
因为
所以
,
所以函数
在
上单调递减,
,
所以函数
在区间
上无零点.
综上,断函数
在
上有且只有一个零点.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调区间,零点等问题,考查运算求解能力,逻辑推理能力,分类讨论思想等.本题第二问解题的关键在于根据题意构造函数
,结合不等式恒成立得
;进而根据
是函数
的一个零点,分
和
两类情况讨论求解.
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