概率论与数理统计教案48课时.docx

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概率论与数理统计教案48课时

《概率论与数理统计》课程教案

第一章随机事件及其概率

•本章的教学目标及基本要求

（1）理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；

（2）掌握随机事件之间的关系与运算,;

（3）掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；

（4）理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。

了解概率的公理化定义。

（5）理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。

理解事件的独立性。

•本章的教学内容及学时分配

第节

随机事件及事件之间的关系

第二节

频率与概率

2学时

第三节

等可能概型（古典概型）

2学时

第四节

条件概率

第五节

事件的独立性

2学时

三•本章教学内容的重点和难点

1）随机事件及随机事件之间的关系；

2）古典概型及概率计算；

3）概率的性质；

4）条件概率，全概率公式和Bayes公式

5）独立性、n重伯努利试验和伯努利定理

四•教学过程中应注意的问题

1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；

2）注意让学生理解事件AB,A_•B,A-B,A-B,AB…的具体含义，理解

事件的互斥关系；

3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；

4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组

合，复习排列、组合原理；

5）讲清楚抽样的两种方式一一有放回和无放回；

五.思考题和习题

思考题：

1.集合的并运算-和差运算-是否存在消去律？

2.怎样理解互斥事件和逆事件？

3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？

哪些相同点?

习题：

第二章随机变量及其分布

一•本章的教学目标及基本要求

（1）理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续

型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；

（2）熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；

2.本章的教学内容及学时分配

第一节随机变量

第二节第二节离散型随机变量及其分布

离散随机变量及分布律、分布律的特征

第三节常用的离散型随机变量

常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时

第四节随机变量的分布函数

分布函数的定义和基本性质，公式

第五节连续型随机变量及其分布

连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时

第六节常用的连续型随机变量

常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时

3.本章教学内容的重点和难点

a）随机变量的定义、分布函数及性质；

b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何

事件的概率；

c）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；

4.教学过程中应注意的问题

a）注意分布函数F（x）二P{X:

:

:

x}的特殊值及左连续性概念的理解；

b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；

c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；

d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X=x）=0，其中x为任意实数，同时说明了P（A）=O不能推导A仝』。

e）注意正态分布的标准化以及计算查表问题;

5.思考题和习题

F（x）=F」x"

思考题：

1.函数1-e,X—0是否是某个随机变量的分布函数?

2•分布函数F（x）有两种定义一一P{X：

：

：

x}orP{X

什么？

3.均匀分布与几何概率有何联系？

4.讨论指数分布与泊松分布之间的关系。

5.列举正态分布的应用。

习题：

第三章多维随机变量及其分布

.教学目标及基本要求

（1）了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续

型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。

（2）会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。

（3）掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。

（4）会求两个独立随机变量的简单函数（如函数X+Y,max（X,Y）,min（X,Y））的分布。

.教学内容及学时分配

第一节二维随机变量

二维随机变量及其分布，离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其

密度函数、它们的性质、n维随机变量2学时

第二节边缘分布

边缘分布律、边缘密度函数2学时

第三节条件分布1学时

第四节相互独立的随机变量

两个变量的独立性，n个变量的独立性1学时

第四节二维随机变量的函数的分布

已知（X,Y）的分布率pij或密度函数（x,y），求Z=f（X,Y）的分布律或密度

函数Z（z）。

特别如函数形式：

Z=X-Y,Z二max（X,Y）,Z二min（X,Y）。

2学时

•本章教学内容的重点和难点

a）二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处；

-bo

®x（x）=严（x,y）dy

b）边缘密度函数的计算公式：

-：

：

的运用，特别是积分限的确定和

变量x的取值范围的讨论；

C）随机变量独立性的判定条件以及应用独立性简化计算，如由边缘分布律或密度函数

可以确定联合分布律或联合密度函数；

-be

x）dx

d）推导Z=XY的密度函数的卷积公式：

；，正确使用卷

积公式；

e）在X，Y独立性的条件下，推导Z=max（X,Y）,Z=min（X,Y）的密度函数，注意它们在可靠性方面的应用。

四•教学过程中应注意的问题

a）注意联合分布函数能决定任意随机变量X或Y的分布（边缘分布），反之则不能确

定（X，Y）的联合分布，由正态分布可以说明；

b）在判断两个随机变量是否独立过程中，如果存在某点（x0,yo），使得：

P（X=x°,Y=y°）HP（X=Xo）P（Y=y°）或④（x。

，y。

）式®x他）阶仏），则称变量X与Y不独立；

c）一般计算概率使用如下公式：

P（（X,Y）G厂（x,y）dxdy

（x，y爭G，注意二重积分运算知识点的复习。

d）二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。

五.思考题和习题

思考题：

1•由随机变量X，Y的边缘分布能否决定它们的联合分布？

2.条件分布是否可以由条件概率公式推导？

3.事件的独立性与随机变量的独立性是否一致？

4•如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。

习题：

第四章随机变量的数字特征

.教学目标及基本要求

（1）理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式;

⑵掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用

期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。

（3）熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望

和方差；

⑷了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。

二•教学内容及学时分配

第一节数学期望

离散型、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的应用、数学期望的性质3学时

第二节方差

方差的概念及计算、方差的性质、常见分布的数学期望及方差简单归纳

2学时第三节协方差与相关系数2学时

第四节矩和协方差矩阵1学时

三•本章教学内容的重点和难点

a）数学期望、方差的具体含义；

b）数学期望、方差的性质，使用性质简化计算的技巧；特别是级数的求和运算。

c）期望、方差的应用；

四•本章教学内容的深化和拓宽

将数学期望拓展到数学期望向量和数学期望矩阵；协方差及相关系数概念和公式拓

宽到n维随机变量的协方差矩阵和相关系数矩阵。

五•教学过程中应注意的问题

a）一个随机变量并不一定存在数学期望和方差，也有可能数学期望存在，而方差不存

在，如柯西分布是最著名的例子；

b）数学期望的一个具体的数字，不是函数；

c）由方差的定义知，方差是非负的；

d）独立性和不相关性之间的关系，一般地，X与Y独立，则X与Y不相关，反之则

不然，但对于正态分布，两者却是等价的；

六.思考题和习题

思考题：

1•假定一个系统由5个电子元件组装而成，假定它们独立同服从于指数分布，

将它们串接起来，求系统的平均寿命，若将它们并行连接，其系统的平均寿命是多少？

并比较其优劣。

2.方差的定义为什么不是E|X-EX|?

3.工程上经常遇到计算误差，它是否与方差是同一个概念?

4.协方差与相关系数有什么本质上的区别？

5.随机变量X与Y独立可以推导cov（X,Y）=0,反之呢？

对正态分布又如何呢？

习题：

第五章大数定律和中心极限定理

1.教学目标及基本要求

了解切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。

2.教学内容及学时分配

第一节大数定律

2学时

第二节中心极限定理

3.本章教学内容的重点和难点

大数定律和中心极限定理的含义；

4.本章教学内容的深化和拓宽

中心极限定理的条件拓宽。

5.教学过程中应注意的问题

1）大数定律的变形，大数定律的证明关键是使用了切比契夫不等式;

2）注意中心极限定理的条件和结论，如何使用这一结论解决应用题;习题：

第六章样本及抽样分布

.教学目标及基本要求

（1）理解总体、样本和统计量的概念；了解经验分布函数

（2）掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。

（3）了解卡方分布、t-分布和F分布的定义及性质，了解分位数的概念并会查表计算概率。

（4）掌握在正态总体下样本均值、样本方差、t统计量的分布及性质。

.教学内容及学时分配

第一节总体与样本

2学时

第二节统计量（包括经验分布函数）

第三节几个常用的分布

正态分布，-分布，t-分布，F-分布）、抽样分布定理、分位数2学时

三•本章教学内容的重点和难点

a）数理统计与概率论在研究问题和方法上的根本区别；

b）总体、样本的概念；

c）统计量的定义和常用的统计量；

d）正态分布以及由正态分布导出的三大统计分布，抽样分布定理，分位数的概念。

e）【分布、t-分布和F-分布的定义

四•教学过程中应注意的问题

b）“独立正态变量之和仍为正态变量”和中心极限定理的应用;

c）对三大统计分布定义深入分析，补充例子加以说明，如

Xi,|山X4取自正态总体N（0,22），的一个样本，令

222

丫=a（Xi-2X2）•b（3X3-4X4）,求系数a,b，使丫服从-分布，并求自由度；

d）查常用分布数值表是实际计算中不可缺少的一步，务必掌握；

e）掌握统计学的思想应该从正态总体出发，因为数理统计学的许多基本理论是在正态

总体的假定下建立起来的；

6.思考题和习题

思考题：

1.样本平均值、中位数、众数的定义和区别。

2.样本Xi,|H,Xn是相互独立且具有相同分布的，那么顺序统计量

X

（1）,川，X（n）是否也是独立同分布的？

3.经验分布函数是统计量吗?

4•什么叫上侧分位数？

习题：

第七章参数估计

.本章的教学目标及基本要求

（1）理解总体参数的点估计和区间估计的概念；

（2）掌握求点估计的方法一一矩估计法和极大似然法

⑶了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）

（4）会求单个，两个正态总体的均值和方差的置信区间

•本章的教学内容及学时分配

第